2 4 5 6 … 19 20 21 22 甲 500 500 600 600 700 700 … 1400 1400 1500 1500 300 360 420 480540600 1380 1440 1500 1560 到第10个月，乙岗的薪酬就超过了甲岗。 (2)魏尔斯特拉斯的极限定义用ε-N（或ε-6)对“两个无限”进行了 严格的数量刻画，便于进行逻辑演绎和推理。 我们以数列极限iman=A的ε-N定义来说明。 定义设{an}为一数列.若存在一常数A∈R,对于任意给定的s>0,存在 正整数W;使当n>N时，恒有不等式 la-Ak8 成立，则称{a}的极限存在，称A为它的极限，简写成 ma.=A6>0,NeN,使当m>N时，恒有利a,-AKc 在这个定义中，利用ε>0的任意性（即它可以任意小，要多小就多小）和 不等式|an-Ak6来刻画an与A能任意接近，“无限接近”。为了保证|a,-Ak6, 必须由此不等式求N∈N,使得n>N时，恒有|an-Aks.因此，n>N是保 证此不等式成立所需要的n变大的程度，它刻画了n“无限增大”。这样就用ε和 N以及不等式an-Ake(n>N)刻画了an无限接近A,以A为极限这个事实。 数列极限的上述定义有鲜明的几何意义： 1)在数轴上，|an-A表示数列{an}的通项与A之间的距离，若记为 p(an,A),则上述定义也可以写成 man=A=ε>0,3N∈N,使当n>N时，恒有p(a,A)<e 这样，距离p(an,A)的大小，就刻画了an与A的接近程度，s的任意性与不等式 p(an,)<s就刻画了an与A能“无限接近”，只要n充分大，n>N。 2)在数轴上，|an-Ak6也可表示为以A为中心，ε为半径的开区间 (A-E,A+),若记为U(A,e)(A的ε邻域)，则上述定义还可以写成 Iman=A=e>0,3N∈N,使当n>N时，恒有an∈U(A,&) 它表示，对于任给的8>0，总存在正整数N,使{an}中从N+1项开始的所有各 6
6 1 2 3 4 5 6 … 19 20 21 22 … 甲 500 500 600 600 700 700 … 1400 1400 1500 1500 … 乙 300 360 420 480 540 600 … 1380 1440 1500 1560 … 到第 10 个月，乙岗的薪酬就超过了甲岗。 （2）魏尔斯特拉斯的极限定义用 − N （或 − ）对“两个无限”进行了 严格的数量刻画，便于进行逻辑演绎和推理。 我们以数列极限 an A n = → lim 的 − N 定义来说明。 定义 设 { }n a 为一数列. 若存在一常数 A R ，对于任意给定的 0 ，存在 正整数 N ；使当 n N 时，恒有不等式 | a − A| n 成立，则称 { }n a 的极限存在，称 A 为它的极限，简写成 + → a = A= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 | a − A| . n 在这个定义中，利用 0 的任意性（即它可以任意小，要多小就多小）和 不等式 | a − A| n 来刻画 n a 与 A 能任意接近，“无限接近”。为了保证 | a − A| n ， 必须由此不等式求 N N+ ，使得 n N 时，恒有 | a − A| n . 因此， n N 是保 证此不等式成立所需要的 n 变大的程度，它刻画了 n “无限增大”。这样就用 和 N 以及不等式 | a − A| n (n N) 刻画了 n a 无限接近 A ，以 A 为极限这个事实。 数列极限的上述定义有鲜明的几何意义： 1 。）在数轴上， | a A| n − 表示数列 { }n a 的通项与 A 之间的距离，若记为 (a , A) n ，则上述定义也可以写成 + → a = A= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 (a , A) . n 这样，距离 (a , A) n 的大小，就刻画了 n a 与 A 的接近程度， 的任意性与不等式 ( , ) n a A 就刻画了 n a 与 A 能“无限接近”，只要 n 充分大， n N 。 2 。）在数轴上， | a − A| n 也可表示为以 A 为中心， 为半径的开区间 (A − , A + ) ，若记为 U(A, ) （ A 的 邻域），则上述定义还可以写成 + → a = A= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 a U(A, ). n 它表示，对于任给的 0 ，总存在正整数 N ，使 { }n a 中从 N +1 项开始的所有各
项全部落在A的ε邻域中，在此邻域外最多只有{an}的前N项，这也刻画了只要 n充分大，a,能“无限接近”于A。这里，用邻域U(A,)的大小刻画an与A接 近的过程，用ε的任意性与an∈U(A,s)刻画an与A能“无限接近”，只要n>N。 (3)极限的ε-N和ε-δ定义，将极限这个无限变化过程（动态过程)划 分为无限多个有限过程（静态过程），揭示了无限与有限之间的内在联系，体现 了通过有限认识无限的科学思维方法。 极限定义中的ε>0是任意给定的，具有两熏性一一：意性和鲶定性魏尔 斯特拉斯的极限定义正是利用ε的这种两重性将极限的无限变化的动态过程划 分为无限多个有限的静态过程，实现“分析的算术化。” 事实上，由于ε的任意性，极限的ε-N(或ε-6)定义才能刻画极限的无 限过程。然而，一旦ε给定以后，它就是一个确定的有限常数，因此，求N∈N,, 使n>N时，恒有不等式|an-Akε成立就是一个确定的有限过程。再给一个更 小的ε，求相应的N,又得到另一个有限过程。由于ε的任意性，这种有限过程 就有无限个，从而就将极限的无限过程划分为无限多个有限过程。在每个有限过 程中，由于ε是一个确定的有限常数，因此，能用算术（代数）的方法（解不等 式)求得使|an-Ak的有限的N∈N,,从而完成这个有限过程。这样，利用8 的任意性，在ε不断变小的过程中就完成对整个无限过程的刻画。 问题3数列极限概念的推广—高维空间点列的极限 (1)有限维空间Rm(m>1,m∈N)中点列极限的定义 空间Rm中点列极限的定义是一维空间R中数列极限定义的直接推广。类比 于一维空间R的距离不等式p(an,A)an-AK,Rm中的距离不等式应为 类比于R中的邻域（开区间）U(A,ε)={x∈R|x-Ak},Rm中点a的ε邻域应 定义为 U(a,e)={x∈R"Ix-<}, (它表示Rm中的一个开球)，从而，Rm空间中点列{x}的极限可定义如下表所 示： >
7 项全部落在 A 的 邻域中，在此邻域外最多只有 { }n a 的前 N 项，这也刻画了只要 n 充分大， n a 能“无限接近”于 A 。这里，用邻域 U A( , ) 的大小刻画 n a 与 A 接 近的过程，用 的任意性与 ( , ) n a U A 刻画 n a 与 A 能“无限接近”，只要 n N 。 （3）极限的 − N 和 − 定义，将极限这个无限变化过程（动态过程）划 分为无限多个有限过程（静态过程），揭示了无限与有限之间的内在联系，体现 了通过有限认识无限的科学思维方法。 极限定义中的 0 是任意给定的，具有两重性——任意性和给定性. 魏尔 斯特拉斯的极限定义正是利用 的这种两重性将极限的无限变化的动态过程划 分为无限多个有限的静态过程，实现“分析的算术化。” 事实上，由于 的任意性，极限的 − N （或 − ）定义才能刻画极限的无 限过程。然而，一旦 给定以后，它就是一个确定的有限常数，因此，求 N N+ ， 使 n N 时，恒有不等式 | a − A| n 成立就是一个确定的有限过程。再给一个更 小的 ，求相应的 N ，又得到另一个有限过程。由于 的任意性，这种有限过程 就有无限个，从而就将极限的无限过程划分为无限多个有限过程。在每个有限过 程中，由于 是一个确定的有限常数，因此，能用算术（代数）的方法（解不等 式）求得使 | a − A| n 的有限的 N N+ ，从而完成这个有限过程。这样，利用 的任意性，在 不断变小的过程中就完成对整个无限过程的刻画。 问题 3 数列极限概念的推广——高维空间点列的极限 （1）有限维空间 ( 1, ) R m m N+ m 中点列极限的定义 空间 m R 中点列极限的定义是一维空间 R 中数列极限定义的直接推广。类比 于一维空间 R 的距离不等式 (a , A) =| a − A| n n ， m R 中的距离不等式应为 , ( , ) ( - )2 i =1 x a x a m n n n i i = − = x a ； 类比于 R 中的邻域（开区间） U(A, ) = {x R | x − A| }， m R 中点 a 的 ε 邻域应 定义为 ( , ) { | } m U a x R x a ε = − ε ， （它表示 m R 中的一个开球），从而， m R 空间中点列 { }n x 的极限可定义如下表所 示：
R中数列极限的定义 Rm中点列极限的定义 iman=A=&>0,3NeN.,使当 lmxn=a=Vg>0,3N∈N,使当 1 1→中 n>N时，恒有p(an,A)<s n>N时，恒有pxn,a)=kn-d<s. lman=A=Ve>0,3N∈N,使当 lmxn=a=s>0,3N∈N,,使当 1→中 打→ n>N时，恒有an∈U(A,&), n>N时，恒有 xn∈U(a,s)={x∈R"Ix-a啡<e 注1'直接用m中点列极限的定义讨论点列的收敛性和求极限问题显得很 繁杂，下面的定理将这些问题转化为R中数列的相应问题（化高维为一维的思 想)，从而收敛数列的许多性质可以推广到Rm中的收敛点列，也可以解决Rm中 点列极限的计算问题。 定理imxn=a台i=1,2,,m,都有immx,=a I+00 1→00 注2由于R"中的每个元素都是m维向量，如：x。=(x,xn2,,xnm)厂， a=(a,a2,…,am)',向量不能比较大小，也不能进行除法运算，所以数列极限中 的某些运算法则（例如除法）和性质（例如单调性、保序性、夹逼性及有关的审 敛准则等)不能推广到Rm中。 (2)无限维空间中点列极限的定义 上面看到，在有限维空间中，利用距离和邻域都可以刻画点列“无限趋近” 于某点，从而可以定义点列的极限，而且这种定义并不依赖于距离和邻域的具体 表达式。因此，在无限维空间中只要能定义距离和邻域的概念，就可以定义其中 点列的极限（或点列的收敛性），从而建立无限维空间上的分析学一一泛函分析。 例如，度量空间(X,)中就是利用公理来定义距离的，称满足下列条件的映 射p:X×X→R: 非负性：p(x,y)≥0，且p(x,y)=0台x=y; 对称性：p(x,y)=py,x): 三角不等式：p(x,y)≤p(x,)+p(,y) 为非空集X上的距离，具有距离结构的集合(X,P),称为度量空间。从而定义空 间(X,p)中点列{xn}的极限为： 8
8 R 中数列极限的定义 m R 中点列极限的定义 + → a = A= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 (a , A) . n + → x = a= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 (x ,a) = x − a . n n + → a = A= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 a U(A, ). n + → x = a= N N d n n lim 0, ，使当 n N 时，恒有 x (a,) ={x R | x − a } . m n U 注 1 。 直接用 m R 中点列极限的定义讨论点列的收敛性和求极限问题显得很 繁杂，下面的定理将这些问题转化为 R 中数列的相应问题（化高维为一维的思 想），从而收敛数列的许多性质可以推广到 m R 中的收敛点列，也可以解决 m R 中 点列极限的计算问题。 定理 lim = 1,2, , n x a n i m → = ，都有 lim . n,i i n x = a → 注 2 。 由于 m R 中的每个元素都是 m 维向量，如： ( , , , ) , ,1 ,2 , T n n n n m x = x x x T a a am ( , , , ) a = 1 2 ，向量不能比较大小，也不能进行除法运算，所以数列极限中 的某些运算法则（例如除法）和性质（例如单调性、保序性、夹逼性及有关的审 敛准则等）不能推广到 m R 中。 （2）无限维空间中点列极限的定义 上面看到，在有限维空间中，利用距离和邻域都可以刻画点列“无限趋近” 于某点，从而可以定义点列的极限，而且这种定义并不依赖于距离和邻域的具体 表达式。因此，在无限维空间中只要能定义距离和邻域的概念，就可以定义其中 点列的极限（或点列的收敛性），从而建立无限维空间上的分析学——泛函分析。 例如，度量空间 (X,) 中就是利用公理来定义距离的，称满足下列条件的映 射 : X X → R ： 非负性： (x, y) 0 ，且 (x, y) = 0 x = y ； 对称性： (x, y) = ( y, x) ； 三角不等式： (x, y) (x,z) + (z, y) 为非空集 X 上的距离，具有距离结构的集合 (X,) ，称为度量空间。从而定义空 间 (X,) 中点列 { }n x 的极限为：
lmxn=a=s>0,3N∈N,当n>N时，恒有 p(xn,a)<E（或xn∈U(xm,)={x∈X|p(x,a)<s}). 此时称点列{x}按距离p收敛 点列按距离收敛的内涵是非常广泛的。 例1空间C[a,b]中点列{xn()}按距离 px,)=max l x(0-y)}(其中x,yeC[a,b]) te a.b 收敛一{x(t)}在[a,b]上一致收敛。 例2空间L[a,b]中点列{x,(t)}按距离 pxy=(x0-0rd月 收敛一{x(t)}在[a,b]上均方收敛。 然而，按距离收敛不能刻画数学中的所有收敛性（如黎曼积分中的和式极限， 各种弱收敛等)。现代分析中还利用邻域公理或开集公理来定义拓扑空间，从而 定义许多更广泛的收敛（极限）概念。 问题4重极限概念中几个值得注意的问题（以二重极限为例） (1)两种不同定义的比较 现行的大学数学教材中，对于二重（多重)极限大体上有两种定义方法： 定义1设f是定义在点B(x,)的某去心邻域U(B)内的二元函数，a∈R 为一常数.若Ve>0,36=6(e)>0,使得当P(x,y)∈U(P,δ)时，恒有 f(x,y)-a<8, 则称a为f(x,y)当(x,y)→(x,)时的二重极限 定义2设f是定义在集合AcR上的二元函数，B(x,%)是A的一个聚 点，a∈R为一常数，若Hε>0,3δ=6(e)>0,使得当P(x,y)∈U(P,δ)∩A时， 恒有 f(x,y)-a4<8, 9
9 + → x = a= N N d n n lim 0, ，当 n N 时，恒有 (x ,a) n （或 x U(x , ) ={x X | (x,a) } n n ）. 此时称点列 { }n x 按距离 收敛. 点列按距离收敛的内涵是非常广泛的。 例 1 空间 C[a,b] 中点列 {x (t)} n 按距离 ( , ) max{| ( ) ( )|} [ , ] x y x t y t t a b = − （其中 x, y C[a,b] ） 收敛 {x (t)} n 在 [a,b] 上一致收敛。 例 2 空间 [ , ] 2 L a b 中点列 {x (t)} n 按距离 2 1 2 ( , ) | ( ) ( ) | = − b a x y x t y t dt 收敛 {x (t)} n 在 [a,b] 上均方收敛。 然而，按距离收敛不能刻画数学中的所有收敛性（如黎曼积分中的和式极限， 各种弱收敛等）。现代分析中还利用邻域公理或开集公理来定义拓扑空间，从而 定义许多更广泛的收敛（极限）概念。 问题 4 重极限概念中几个值得注意的问题（以二重极限为例） （1）两种不同定义的比较 现行的大学数学教材中，对于二重（多重）极限大体上有两种定义方法： 定义 1 设 f 是定义在点 ( , ) 0 0 0 P x y 的某去心邻域 ( ) U P0 内的二元函数， aR 为一常数. 若 0, = ( ) 0 ，使得当 ( , ) ( , ) P x y U P0 时，恒有 f (x, y) − a ， 则称 a 为 f (x, y) 当 ( , ) ( , ) 0 0 x y → x y 时的二重极限. 定义 2 设 f 是定义在集合 2 A R 上的二元函数， ( , ) 0 0 0 P x y 是 A 的一个聚 点， aR 为一常数，若 0, = ( ) 0 ，使得当 P(x, y)U(P0 , ) A 时， 恒有 f (x, y) − a
则称a为f(x,y)当(x,y)→(x,)时的二重极限 两种定义的比较： 1)定义1是一元函数极限定义的直接推广，要求函数∫在P的去心邻域 U(P)内每一点都要有定义，并且，对于U(P)中每一点，都满足不等式 f(x,y)-a<,要求太强，使用范围小！ 2)定义2要求函数f定义在一个集合AsR上，允许在P的任一去心邻域 内存在使∫无定义的点，并且仅要求在去心邻域U(P,δ)内使∫有定义的点满足 f(x,y)-d<6.比定义1要求弱，适用范围大！ 例1设 sin xy xy≠0， f(x,y)= XV 1, x2+y2=0, 求oax, 按定义1，此极限无意义。但因(0,0)是f(x,y)定义域的一个聚点，故可按定 义2求得 -nc1-00) 不但极限存在，而且f在(0,0)连续. 例2求“十字架”函数f(xy)=1,Df)={(xy)川xy=0}当(x,y)→(0,0)时 的极限。 易见，按定义1，此极限无意义。但因(0,0)是D(f)的聚点，故可用定义2 求得oofx,)=l，且/在(0,0)连续 例3求m sin xy (x,y(0,0)X 二种错误解法m。ms如=0（因如s如少） (x,y0,0)xy y 正确方法：用定义2，由夹逼准则 9
10 则称 a 为 f (x, y) 当 ( , ) ( , ) 0 0 x y → x y 时的二重极限. 两种定义的比较： 1）定义 1 是一元函数极限定义的直接推广，要求函数 f 在 P0 的去心邻域 ( ) U P0 内每一点都要有定义，并且，对于 ( ) U P0 中每一点，都满足不等式 f (x, y) − a ，要求太强，使用范围小！ 2）定义 2 要求函数 f 定义在一个集合 2 A R 上，允许在 P0 的任一去心邻域 内存在使 f 无定义的点，并且仅要求在去心邻域 ( , ) U P0 内使 f 有定义的点满足 f (x, y) − a . 比定义 1 要求弱，适用范围大！ 例 1 设 + = = 1, 0, , 0, sin ( , ) 2 2 x y xy xy xy f x y 求 lim ( , ). ( , ) (0,0) f x y x y → 按定义 1，此极限无意义。但因 (0,0) 是 f (x, y) 定义域的一个聚点，故可按定 义 2 求得 1 (0,0) sin lim ( , ) lim ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) f x y x y f x y x y x y = = = → → . 不但极限存在，而且 f 在 (0,0) 连续. 例 2 求“十字架”函数 f (x, y) =1,D( f ) = {( x, y) | x y = 0} 当 (x, y) → (0,0) 时 的极限。 易见，按定义 1，此极限无意义。但因 (0,0) 是 D( f ) 的聚点，故可用定义 2 求得 lim ( , ) 1 ( , ) (0,0) = → f x y x y ，且 f 在 (0,0) 连续. 例 3 求 . sin lim ( , ) (0,0) x xy x y → 一种错误解法： 0 sin lim sin lim ( , ) (0,0) ( , ) (0,0) = = → → y x y x y x x y x y x y . （因 y xy xy x xy sin sin ） 正确方法：用定义 2，由夹逼准则