清华大学：《微积分》课程教学资源_习题集 第七部分 无穷级数

第七部分无穷级数第6页共20页 分折取n=-1.,=1可以排除选项(),0及0)因为级数∑,∑,都发 散,所以级数∑n,∑rn都发散,因而∑(|+p"n)发散。故选(O) n=1 17.设正项级数∑un收敛,则[ (A)极限Im小于1。 (B)极限Ⅲm小于等于1。 (C)若极限mm存在,其值小于1。()若极限lm“n存在,其值小于等于1。 lIn 分析:根据比值判敛法,若极限m存在,则当其值大于1时,级数∑n发散。 因此选项0)正确。取,=排除选项O。因为正项级数∑,收敛并不能保证极限 lm存在,所以选项(A),(B)不对。 18.下列命题中正确的是[] ()若幂级数∑ax的收敛半径为R≠0,则mn=1 a. R ()若极限m出不存在,则幂级数∑ax没有收敛半径。 (C)若幂级数∑anx的收敛域为[-1,则幂级数∑manx”的收敛域为[-1 (D)若幂级数∑anx的收敛域为[-1,则幂级数∑一,x”的收敛域为[-1 答 分析:极限im n判a=只是收敛半径为R=的一个充分条件,因此选项(A)不对

第七部分 无穷级数 第 6 页 共 20 页 6 分析：取 n v n un n 1 , 1 = − = 可以排除选项(A),(B)及(D)。因为级数   n=1 n u ，  n=1 n v 都发 散，所以级数   n=1 un ，   n=1 n v 都发散，因而   = + 1 ( ) n n n u v 发散。故选(C)。 17．设正项级数   n=1 n u 收敛，则[ ] (A) 极限 n n n u u 1 lim + → 小于 1。 (B) 极限 n n n u u 1 lim + → 小于等于 1。 (C) 若极限 n n n u u 1 lim + → 存在，其值小于 1。(D) 若极限 n n n u u 1 lim + → 存在，其值小于等于 1。 答 D 分析：根据比值判敛法，若极限 n n n u u 1 lim + → 存在，则当其值大于 1 时，级数   n=1 n u 发散。 因此选项(D)正确。取 2 1 n un = 排除选项(C)。因为正项级数   n=1 n u 收敛并不能保证极限 n n n u u 1 lim + → 存在，所以选项(A)，(B)不对。 18．下列命题中正确的是[ ] (A) 若幂级数 n n n a x  =0 的收敛半径为 R  0 ，则 a R a n n n 1 lim 1 = + → 。 (B) 若极限 n n n a a 1 lim + → 不存在，则幂级数 n n n a x  =0 没有收敛半径。 (C) 若幂级数 n n n a x  =0 的收敛域为 [−1,1] ，则幂级数 n n n na x  =1 的收敛域为 [−1,1]。 (D) 若幂级数 n n n a x  =0 的收敛域为 [−1,1] ，则幂级数 n n n x n a   =0 +1 的收敛域为 [−1,1]。 答 D 分析：极限 =  + → n n n a a 1 lim 只是收敛半径为  1 R = 的一个充分条件，因此选项(A)不对

第七部分无穷级数第7页共20页 幂级数罗ax”没有收敛半径存在而且惟一,所以选项(B)不对。取级数可以排除 nel nvn 选项(C)。选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到 19.若幂级数∑an(x-1)”在x=-1处条件收敛,则级数∑an[ (A)条件收敛。(B)绝对收敛。 (C)发散。 ①D)敛散性不能确定 答B 分析:根据收敛半径的定义,x=-1是收敛区间的一个端点,所以原级数的收敛半径 为2。因此幂级数∑an(x-1)”在x=2处绝对收敛,即级数∑an绝对收敛 20.设函数 f(x)=x,x∈[O,1], 而 +∑ a coS nD,x∈(- 其中 a,=2 f(x)cos ndx,n=0,1,2, 则S(-1)的值为[ (A)-1。 答D 分析:+∑ a. cOS n是对函数∫(x)=x2,x∈[01作偶延拓得到的三角级数展开 式,且延拓后得到的函数连续,根据狄里克莱收敛定理,S(-1)=f(1)=1 [解答题] 21.求级数y|h”31 的和 n 解:因为

第七部分 无穷级数 第 7 页 共 20 页 7 幂级数 n n n a x  =0 没有收敛半径存在而且惟一，所以选项(B)不对。取级数   n=1 n n n x 可以排除 选项(C)。选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。 19．若幂级数 n n n a (x 1) 0  −  = 在 x = −1 处条件收敛，则级数   n=0 n a [ ] (A)条件收敛。 (B)绝对收敛。 (C)发散。 (D)敛散性不能确定。 答 B 分析：根据收敛半径的定义， x = −1 是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径 为 2 。因此幂级数 n n n a (x 1) 0  −  = 在 x = 2 处绝对收敛，即级数   n=0 n a 绝对收敛。 20．设函数 ( ) , [0,1] 2 f x = x x  ， 而 cos , ( , ) 2 ( ) 1 0 = +  − +  = a n x x a S x n n  ， 其中 2 ( )cos , 0,1,2, 1 0 = =  an f x nxdx n ， 则 S(−1) 的值为[ ] (A) −1。 (B) 2 1 − 。 (C) 2 1 。 (D) 1。 答 D 分析：   = + 1 0 cos 2 n n a n x a  是对函数 ( ) , [0,1] 2 f x = x x  作偶延拓得到的三角级数展开 式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理， S(−1) = f (1) = 1。 [解答题] 21．求级数   =         + + 1 ( 1) 1 2 ln 3 n n n n n 的和。 解：因为