为方便起见,我们常把p记为1+an,则定理951的(1)又可表 达为:如果无穷乘积∏(+an)收敛,则iman=0。 定理9.51的(1)可类比于级数收敛的必要条件:通项趋于0。作 为无穷乘积收敛的必要条件,它可以用于判断某些无穷乘积的发散。 例如,设p 2n 2 ,则无穷乘 2 n+ n+1 n+1 积∏pn,∏qn,∏n都是发散的
为方便起见，我们常把 pn 记为 1 + an ，则定理 9.5.1 的(1)又可表 达为：如果无穷乘积 = + 1 (1 ) n an 收敛，则lim n→ an = 0。 定理 9.5.1 的(1)可类比于级数收敛的必要条件：通项趋于 0。作 为无穷乘积收敛的必要条件，它可以用于判断某些无穷乘积的发散。 例如，设 pn= 2n +1 n ，qn = 1 2 n + n ，r2n = 2n +1 n ， 2n−1 r = 1 2 n + n ，则无穷乘 积 n=1 pn ， n=1 qn ， n=1 n r 都是发散的
例95.1设p (n=1,2,…),则部分积 n+1 k=1 123 234 n+ n+ 由血mP=0,可知无穷乘积∏1 发散于0 n=1 n+1
例 9.5.1 设 n p = 1 1 1 + − n （n = 1，2，…），则部分积 Pn = = + − n k 1 k 1 1 1 = = + n k k k 1 1 = 4 1 3 3 2 2 1 + n n = 1 1 n + ， 由 n n P → lim = 0，可知无穷乘积 = + − 1 1 1 1 n n 发散于 0
例9.5.2设pn=1 ,n=1,2,…,则部分积 (2m) (2k-1)(2k+1) (2k) 2k·2k 1·3·3·5·5·7…(2n-1)(2n+1) 2·2.4·46·6…(2n)2n) [(2n-1) (2n+1) (2n)! 为了判断部分积数列{P}的收敛性,考虑积分 sin"xdx 由例73.8,我们知道 (2 2n)! (2m)!2 2n+1
例 9.5.2 设 pn = 2 (2 ) 1 1 n − ，n = 1,2,…，则部分积 Pn == − n k 1 k 2 (2 ) 1 1 == − + n k k k k k 1 2 2 (2 1)(2 1) = 2 2 4 4 6 6 (2 )(2 ) 1 3 3 5 5 7 (2 1)(2 1) n n n n − + = 2 2 [(2 )!!] [(2 1)!!] n n − (2n +1)。 为了判断部分积数列｛ Pn｝的收敛性，考虑积分 I n = π 2 0 sin d n x x ， 由例 7.3.8，我们知道n I 2 = − (2 )!! (2 1)!! n n π 2 ， 2n+1 I = (2 1)!! (2 )!! n + n
因此 P 2n+1 由于12n1<2n<l2n1,可得 因为m2m=lm2n+1=1,由数列极限的夹逼性, lim p=lin 2n+1 于是得到无穷乘积门1-1]的收敛性,并且 (2n)
因此 π 2 P n = 2 1 2 n+ n I I 。 由于I 2n+1 I 2n 2n−1 I ，可得 2 +1 2 1 n n I I 2 1 2 1 + − n n I I ， 因为n→ lim 2 1 2 1 + − n n I I = n→ lim n n 2 2 +1 = 1，由数列极限的夹逼性， lim n→ Pn = lim n→ 2 2 1 2 π n n I I + = 2 π ， 于是得到无穷乘积 = − 1 2 (2 ) 1 1 n n 的收敛性，并且 = − 1 2 (2 ) 1 1 n n = 2 π
将上式换一个形式表示,就得到著名的 Wallice公式 丌224466 2n 2n 2 33557 2n-12n+1
将上式换一个形式表示，就得到著名的 Wallice 公式 π 2 = 1 2 3 2 3 4 5 4 5 6 7 6 − 2 1 2 n n 2 +1 2 n n