高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 例如f(x)={e ≠0 0,x=0 在x=0点任意可导,且∫(0)=0(n=0,1,2,…) f(x)麦氏级数为∑0x 该级数在(-0,+0)内和函数(x)≡0.可见 除s=0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于∫(x) Http://www.heut.edu.cn
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 定理到∫(x)在点x的泰勒级数,在U6(x)内收 敛于f(x)冷冷在U(x0)内lmRn(x)=0 证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数, f(x)=∑ o(x-xo)+r,(x) i=0 i! Rn(x)=∫(x)-Sn+1(x), lim s+1(x)=∫(x) n→>0 lim r,(x)=limlf(x)-Sn+1(x)=0 n→0 Http://www.heut.edu.cn
f ( x)在点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内收 敛于 f ( x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0; 定理2
高数课程妥媒血课件 镭理工大理>> 充分性∵f(x)-Sn(x)=Rn(x) limlf(x)-smu(x)l=lim r,(x)=0, 即imSn1(x)=f(x) n→0 f(x)的泰勒级数收敛于f(x) 理3_设f(x)在U(x)上有定义,彐M>0,对 Vx∈(x-R,x+R,恒有f(x)≤M (n=0,1,2,),则f(x)在(x0-R,x0+R)内可展 开成点x的泰勒级数 Http://www.heut.edu.cn
= 0, 充分性 ( ) ( ) ( ), f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − lim R (x) n n→ = lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 设 f ( x) 在 ( ) U x0 上 有 定 义 , M 0 , 对 ( , ) x x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2,),则 f ( x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数. 定理3