成的角度中，称为2的幅角，记作Argz(中只能确定到相差2π的 任意整数倍；若转动是反时针向，中为正，否则为负).显然有： T=|zl=√+=√2，币=Arg2=Arotg, 名=t+划=r(cosΦ+igin中). 最后一式就是复数名的极坐标表示式，也称三角表示式. 对于名=0，其|z=0,但Ag2无意义；当2≠0时，在其幅角 的一切值中，只有-一值满足 一π<Φ≤n, 此值称为幅角的主值，以小写p=arg2表示.我们有 Arg2=argg+2nπ(n=0,土1，土2，.). (三)关于模、幅角，有下述一些明显性质： |z1z2=22,} -哥a*0, Arg()-Arg+Arg ArArgs:-Argza 这些公式可以推广到任意有限个复数，.，的情形特 别地，令1=2=.=m=名时，则有乘方公式： zn=rm(cosnΦ+isin九Φ) 再令？=1，便得到德摩弗公式： (cosΦ+言sinΦ)"=co9nΦ+isinn中， 例题与习题 1.试求复数片的实部与虚部。 解设2三x上，我们有 名-1_《8-10(a+五_(2-1)（元+1）=28-元+名-1 8+1(a+1)(a+1)1z+1|2 (x+1)2+y2 =（x2+-1)+2g (x+1)2+y2. 、2
则 e格=+m=+影+子 2 2.试证明不等式 21十22≤21l+12,1川1|-|2l川≤|1-22 证因为|21十22=(21十2)(1十22)=(21十2)(1十2) =211十2122十122十22元2， 但 12十元122=2Re{z1元2}，|Rez≤|z 则|a1+名22=|12+2Re{a1元2}+|z22, ≤|a12+2a12l+{a22 =|a112+2a11{2|+|222=(1z11+|2)2 于是引21十2≤|a1十2引.对第二个不等式可类似地证明.（如果 考虑复数的向量表示，那么，上述不等式正好是两个明显的几何事 实，即：三角形两边之和大于第三边，三角形任一边总大于其他两 边之差.) 3.试证明以1，名2,23为顶点的三角形与以01，w2,w3为顶点 的三角形同向相似的充分必要条件是 21w:1 22.021=0 123031 证我们以∠3记顶点在3的那个角，那么，所述的两个三 角形同向相似的充要条件是 ∠g=∠03，而且22二=102-wl 21一23|01-03 =8务=a8监-贵 那么，上述两个条件可合并为 32一23-02-03 312301-03 3●
此即 21w11 22021=0. 133031| 4.若6≠0，试证明 1+co30+c0320+.+co3n0= sin号+sin(a+} 29im2 sin0+sin20+.+sinne= 00 2sin 2 证令名=cos0+isin0,由德摩弗公式，得 zm=cosn0+isinno. 但根据 1+2+22+.十20=1-21 二2，有 1+(cos0+isin0)++(cosne+isinne) =1-[cos(m+1)0+isin(n+1)9] 1-(cos0+isin0) 即 (1+cos0+.+cos%0)+i(sin0+.+sinn0) -[1-cos(n+1)0-isin(n+1)0](1-cos0+isin0) (1-c0s0)2+sin20 f(0) f(0) 2a0co4in(2 f(0)=[1-cos(n+1)0](1-cos0)+sin0sin(n+1)0 +i[sin0(1-co3(n+1)8)-(1-cos0)sin(n+1)0]. 再经一些简单运算，可得 1+cosf+.+cosn0=Rcf(0)） aing} ·4·
sinin) 2sin 0 sin0+.+sinng=Im_f()）=9 0 4sin2 2sin 2 5.我们给出下述定义：适合等式 m=:（n为自然数) 的复数5，称为复数名的%次根，记作5=云、试求一切的5. 解若名=0，则显然5=0；若2≠0，我们令 a=r(cos中+isinΦ)，5=p(cosΨ+isinΨ)， 那么 p"(cosnΨ+isinnΨ)=r(cosΦ+isinΦ). 比较两端的模与幅角，得到 p=T,n亚=p+2kr 即 p=T,华=p+2km 此处/T表示r的n次算术根，p表示主值argz 让k=0,1,2,.,%一1.可见？的2次根共有个，它们可以 表示为： -coiin) 2 显然，它们分布在以原点为中心以”为半径的圆周的一个内接 正？边形的顶点上. 6.试求满足下列关系式的点2的轨迹： Ree=se)层3s1 解(1)因为22=(x2-)+i2x,则 ·5
Re{e2=x2-2. 可见，所求的轨迹是双曲线2一2=a.(当a=0时，退化为一对 直线.) (2)注意到两个复数相减的模，就是相应的两个点之间的距 离。可见经-<1，即12-1<：+1的轨迹显然是包括嘘轴 在内的右半平面Rez≥0. 7.若ao,a,c是不超过9的非负整数，>1，aw>l,求证 多项式 an2+.十a1名十00 的零点或者在Re<0内，或者在2<+型内. 2 证若令f(z)=am2"+.+a12+ao,那么，当Re2≥0，|2 >1时，我们有Re(合)>0，面且 >。+8g-箭-器-品 >a+}品品之1-2可 9 现以r-1+今巫表示2-r=9的正根，则1到>r时，1-2a 9 >0;可见，当Re≥0，|z≥r时，()≠0.这就证明了f(2)的 零点或者在Re<0内，或者在1<上+团内. 8.试求下列各式的x与y(x、y都是实数)： (1)(1+2i)x+(3-5)划=1-3； (②)e+g-号-=-y+5(c+i-9 (3)x十iy=√a+ib. 。6·