《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第8章 多元函数微分学及其应用 Ch 8-3 复合函数与隐含数微分法

例5.设u=f(x,y)二阶偏导数连续,求下列表达式在a2ua"u极坐标系下的形式(1)YX解:已知x=rcosθ,y=rsinθ,则Vx? +y2, = arctan uxHOu 00OuOu Or(1)AAax00 0xOr OxxyxyOr00xOxox+OuduOu xOu sin QycosA00r2Or rar01O00X机动自录上页下页返回结束

(当  在二、三象限时, )  = + x y arctan 例5. 设 二阶偏导数连续,求下列表达式在 解: 已知 u r  x y x y 极坐标系下的形式 x r r u     = x u   (1) , 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 r u r u    sin cos   −   =

u 00Ou Ordu00oyOr Oydi002Ououyxu00r2OrrHouou cosAsinex yx y00Orrauad0dxolo0x题目目录上页下页返回结束

y u   y r r u     = 2 2 2 1 1 ( ) , x y x r y y y r x y x + = + =   =    r u r u    cos sin   +   = y u     +   2 2 2 2 2 ( ) 1 ( ) ( ) ( )   +   =   +    u r r u y u x u 题目 目录 上页 下页 返回 结束 r y r u   = 2 r u x   + u r  x y x y

aWsinauou已知cosA00axOrox0dusinaaCauu0r(2)COS>^00axOrr0xaxxyxyaouQu sinQcos ACOSH注意利用Or00arr已有公式aouOu sinsin0cosA0000Orrrα?usincos0a-1u26COS0020r00Or.21r0Ou sinQu 2 sinOcosXOr00ro1o0x机动自录上页下页返回结束

已知 r   sin ( )   − r u r u    sin cos   −   ( ) x u x     = 2 2 (2) x u   r u r u x u    sin cos   −   =   u r  x y x y    = ( ) r x u   ( )   − x u   r u r u    sin cos   −   2 sin cos r u     + cos r sin x u   2 r r u  2 sin   + 2 ( ) cos   = r 注意利用 已有公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

a?u02α?uu sincos06usinCOSax200220.2Or00r10Ou sin?Ou2sin0cos02Or00rV同理可得a"uu sincosaOucos-eC2sinr2002avar00raOu cos? Ou 2sin0cos0200Orr21oua?u1uuOr.2002r Ordoua1OrOr00o1o0x题目目录上页下页返回结束

2 2 y u   =   +    2 2 2 2 y u x u  2 1 r = 2 2 x u   r r u r u     2 2 2sin cos sin   +   + r r u r u     2 2 2sin cos cos   +   − 同理可得 2 2 r u   2 2 2 1   + u r  2 2 ( )   +     u r u r r r 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos sin 2 r u r r u r u         +    +   = 题目 目录 上页 下页 返回 结束