《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第8章 多元函数微分学及其应用 Ch 8-3 复合函数与隐含数微分法

情形2)的特例: z= f(x,v)，=(x,)Z11azafafOv>= f" + f2yiaxaxOvOxx1OvOzaff2y2xyOvoyayazaf与不同，这里注意：axaxafaz表示固定对x求导表示固定v对x求导0xaxz=3)中间变量仅有一个例如: z=f(u), u=β(x,y)uazdz OuOuOzdzxdu0xoyoyOxduoeo0x机动目录上页下页返回结束

情形2)的特例: z = f (x,v), v = (x, y) x z   1 21 = f  + f   y z   2 2 = f   注意: 这里 x z   x f   x z   表示固定 y 对 x 求导, x f   表示固定 v 对 x 求导 x f   = 与 不同, z = f x x y v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) 中间变量仅有一个. z = f x y 例如: z = f (u), u x, y = ( ) u x z   y z  

Ozz例1.设z=e"sinv,u=xy，=x+y,求ax'ayOzOuazOzOv解：0xOxOuOv Ox=eu sinv·y +e" cosv.l7exy[y · sin(x + y)+ cos(x + y))uOz Ou.Oz OvOzxyyxOu OyOv Qyoy=e" sinv·x +e" cosv·l= e*y[x ·sin(x+ y)+ cos(x+ y)]o1o0x机动目录上页下页返回结束

例1. 设 z e sin v, u xy , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解: x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

OuOu=xsiny, 求例2. u= f(x,y,zax' ayafOzafOu解：Ozax0x0xu2xsiny+x4 sin2= 2 x(1 + 22 xsin1xy1OuafazafxyayOzayoy2sinX= 2(y+ x4 sin ycos y)oooX机动目录上页下页返回结束

例2. ( , , ) , sin , 2 2 2 2 u f x y z e z x y x y z = = = + + y u x u     求 , 解: x u   2 2 2 2 x y z xe + + = x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + = + x y z x y u y u   2 2 2 2 x y z ye + + = x y x y y x y y e 2 2 4 2 4 sin 2( sin cos ) + + = + x f   = 2 2 2 2 x y z ze + + + y f   = y z z f      + 2 2 2 2 x y z ze + + +  2 xsin y x cos y 2  机动 目录 上页 下页 返回 结束

dz例3.设z=uv+sint,u=et,v=cost,求全导数dtOzdzOzdudvOz解：XdtoudtvatdtZvet-usint +costuV=et(cost -sint)+costtt注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解的问题中经常遇到，下列两人例题有助于掌握这方面问题的求导技巧与常用导数符号oleoloex机动目录上页下页返回结束

例3. 设 z = uv + sint , . d d t z z u v t t t t z d d t = v e e t t t t = (cos − sin ) + cos t u u z d d    = t z   + u = e t , v = cost , 求全导数 解: + cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动 目录 上页 下页 返回 结束 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号

例4.设w=f(x+y+z,xyz)，f具有二阶连续偏导数a?wOw求w,fi',f2Ox"OxOz1解： 令u= x+y+z,v= xyz, 则u12不不w= f(u,v)xyzxyzow= f"-1 + f2· yzax= f'(x+y+z, xyz) + yz f2(x+ y+z, xyz)a?w= Jii·1+ Ji2 ·xy + y f2 + yz[ 2i-1+ f22 ·xy]OxOz= fii + y(x+ z)fi2 + xy?z f22 + y f2oleolo0x机动目录上页下页返回结束

为简便起见 , 引入记号 , , 2 1 12 u v f f u f f     =    = 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 , . 2 x z w x w      解: 令 u = x + y + z , v = xyz, x w   w u v x y z x y z w = f (u, v) + f   yz 2 ( , ) 2 + y z f  x + y + z xyz 则 x z w    2 22 2 2 11 12 = f  + y(x + z) f  + xy z f  + y f  + f   xy 12 + f   x y 221 2 , f  , f  机动 目录 上页 下页 返回 结束