I型线性相位滤波器的特性 下面分别四种类型进行推导： 1.类型I,系数对称，N奇数 序列h的下标n从0起算，到N-1为止，中点位置是 L=N-1)/2。h(L)是一个孤项，其他可配成L对 系数。将它们的符幅特性加起来，得到： 立2 Kn)-cwiw:--et=oe 16
16 I型线性相位滤波器的特性 下面分别四种类型进行推导： 1．类型I，系数对称，N奇数 序列h的下标n从0起算，到N-1为止，中点位置是 L=(N-1)/2。h(L)是一个孤项，其他可配成L对 系数。将它们的符幅特性加起来，得到： 1 ( 1)/ 2 0 0 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) cos( ( )) ( ) ( ) L j j N n n L j j n H e A h L e h n n h L e A e − − − = − − = = + − − =
I型线性相位滤波器的特性 为了使四种类型滤波器的公式简明统一，引进两 个参数。一个是令x=(N-1)/2,它就是(7.1.5) 式中的τ值，用以反映延迟的样本数或群延迟， 它可以是分数。另一个是 L=(W)殿把 τ值向下取整，因为要把L用作下标，它必须 是整数。当N为奇数时，t=L。 在推导中，还注意前一个求和号是从0到L-1,后 一个求和号是从0到L,那是把孤项也当成成对 项求和，然后再减去一个孤项h(L)。这样做的 目的也是使四种类型滤波器的公式统一。 17
17 I型线性相位滤波器的特性 为了使四种类型滤波器的公式简明统一，引进两 个参数。一个是令 ，它就是(7.1.5) 式中的τ值，用以反映延迟的样本数或群延迟， 它可以是分数。另一个是 。即把 τ值向下取整，因为要把L用作下标，它必须 是整数。当N为奇数时，τ=L。 在推导中，还注意前一个求和号是从0到L-1,后 一个求和号是从0到L,那是把孤项也当成成对 项求和，然后再减去一个孤项h(L)。这样做的 目的也是使四种类型滤波器的公式统一。 = (N −1)/ 2 L = (N −1)/ 2
工型线性相位滤波器的特性 显然，eor为相角项，相角-wT,它与ow成严 格的线性关系；A(ω)就是符幅项。 A(@)=>2h(n).cos[@(r-n)]-h(L)@=[0~2x] n=0 可见，其符幅特性由L+1个余弦项叠加组成。=0 时的符幅项为2h(0)cos(Lo),在w=[0~2T]频 段间波动L个周期；余弦函数在ω=0，T和2 处都不等于零，因此类型I线性相位滤波器既 可以用作低通滤波器（在⊙=0处，幅特性不为 零)：也可以用作高通滤波器（在ω=处，幅 特性不为零)；且可用作带通和带阻滤波器。 18
18 I型线性相位滤波器的特性 显然， 为相角项，相角-ωτ,它与ω成严 格的线性关系；A(ω)就是符幅项。 可见，其符幅特性由L+1个余弦项叠加组成。n=0 时的符幅项为2h(0)cos(Lω)，在ω=[0~2π]频 段间波动L个周期；余弦函数在ω=0，π和2π 处都不等于零，因此类型I线性相位滤波器既 可以用作低通滤波器(在ω=0处，幅特性不为 零)；也可以用作高通滤波器(在ω=π处，幅 特性不为零)；且可用作带通和带阻滤波器。 j e − 0 ( ) 2 ( ) cos[ ( )] ( ) 0 ~ 2 L n A h n n h L = = − − =
工I型线性相位滤波器的特性 类型II,系数对称，N偶数 如果N为偶数，那末全部系数都可以配对，不会 出现中心点的单项，一共有N2组对称出现的 系数，频率特性就成为 N/2-1 H(ej0)= 2m-ost(-/2-w]eara =A(@)e-jo(N-1)12 此时τ=(N-1)/2将不是整数，也就是说，对称中 心将在两个样本点的中间。其相角特性仍为 θ（ω）=-ωT,它仍与ω成严格的线性关系。 19
19 II型线性相位滤波器的特性 类型II，系数对称，N偶数 如果N为偶数，那末全部系数都可以配对，不会 出现中心点的单项，一共有N/2组对称出现的 系数，频率特性就成为 此时τ=(N-1)/2将不是整数, 也就是说，对称中 心将在两个样本点的中间。其相角特性仍为 θ(ω)= -ωτ,它仍与ω成严格的线性关系。 / 2 1 ( 1)/ 2 0 ( 1)/ 2 ( ) 2 ( ) cos[ (( 1) / 2 )] ( ) N j j N n j N H e h n N n e A e − − − = − − = − − =
II型线性相位滤波器的特性 用整数L=(N-1)/2=N/2-1来表示求和号的 上限。得出其符幅特性的表达式 A(@)=>2h(n)-cos[@(r-n) 0=[0~2π] n=0 可见，它的符幅特性也由L+1个余弦分量构成。 这样，不管N为奇数或偶数时，L都是整数，求 和的项数都是L+1。由于t=N-1)/2是分数，所 有余弦分量cos((t-n)o)中都含一个0.5w。 在ω=T处，就会出现符幅特性必定为零的情 况。所以类型II不能用作高通和带阻滤波器。 20
20 II型线性相位滤波器的特性 用整数 来表示求和号的 上限。得出其符幅特性的表达式 可见，它的符幅特性也由L+1个余弦分量构成。 这样，不管N为奇数或偶数时，L都是整数，求 和的项数都是L+1。由于τ=(N-1)/2是分数，所 有余弦分量cos((τ-n)ω) 中都含一个0.5ω。 在ω=π处，就会出现符幅特性必定为零的情 况。所以类型II不能用作高通和带阻滤波器。 L = (N −1)/ 2 = N / 2−1 0 ( ) 2 ( ) cos[ ( )], [0 ~ 2 ] L n A h n n = = − =