问题:当n无限增大时,x是否无限接近于某 确定的数值?如果是,如何确定? 通过上面演示实验的观察: 当n无限增大时,x=1+(-1)”无限接近于1
问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? n n x 1. ( 1) , 1 1 当 无限增大时 无限接近于 n n x n n − − = + 通过上面演示实验的观察:
◆数列极限的通俗定义 当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项x,无限接近 于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收 敛a,记为 lim x=a n→>00 例如im lim n+G n n→>0n+1 0 n-02n 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它
例如 当n无限增大时, 如果数列{xn }的一般项xn无限接近 于常数a, 则常数a称为数列{xn }的极限, 或称数列{xn }收 敛a, 记为 xn a n = → lim . ❖数列极限的通俗定义 1 1 lim = → n+ n n , 0 2 1 lim = → n n , 1 ( 1) lim 1 = + − − → n n n n 1 . 1 lim = → n+ n n , 0 2 1 lim = → n n , 1 ( 1) lim 1 = + − − → n n n n . 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言 刻划它
当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于常数a,则数列{x}收敛a °分析 当n无限增大时,x,无限接近于a 台当n无限增大时,xna无限接近于0 分→当n无限增大时,xn-a可以任意小,要多小航能有多小 台→当n增大到一定程度以后,xna能小于事先给定的任意 小的正数 因此,如果n增大到一定程度以后,n-al能小于事先 给定的任意小的正数,则当n无限增大时,x,无限接近于常 数
当n无限增大时, xn无限接近于a . 当n无限增大时, |xn−a|无限接近于0 . 当n无限增大时, |xn−a|可以任意小, 要多小就能有多小. 当n增大到一定程度以后, |xn−a|能小于事先给定的任意 小的正数. •分析 因此, 如果 n 增大到一定程度以后, |xn−a|能小于事先 给定的任意小的正数, 则当n无限增大时, xn无限接近于常 数a. 当n无限增大时, 如果数列{xn }的一般项xn无限接近 于常数a, 则数列{xn }收敛a
如上例 xn-1=(-1) 给定 由 100 100 只要n>100时,有xn-1 100 给定 1000 只要n>1000时,有xn-1< 1000 给定 1000要n>100,有x-1-101 给定>0,只要n>N(=[)时,有xn-1<8成立
, 100 1 给定 , 100 1 1 n 由 只要 n 100时, , 100 1 有 xn − 1 , 1000 1 给定 只要 n 1000时, , 10000 1 , 有 xn − 1 10000 1 给定 只要 n 10000时, , 1000 1 有 xn − 1 给定 0, ]) , 1 只要 ( [ 时 n N = 有 − 1 成立. xn xn − 1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = − 如上例
◇数列极限的精确定义 设{xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定的正 数E,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式 na k8 总成立,则称常数a是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收 敛于a,记为 inxn=a或xna(n->∞) n→)0 如果不存在这样的常数a,就说数列{xn}没有极限 或说数列{xn}是发散的,习惯上也说imxn不存在 n→>0 极限定义的简记形式 imxn=a<VE>0,3NeN,当n>N时,有 xn-aks n→>00
❖数列极限的精确定义 设{xn }为一数列, 如果存在常数a, 对于任意给定的正 数 , 总存在正整数N, 使得当n>N 时, 不等式 |xn−a |< 总成立, 则称常数a是数列{xn }的极限, 或者称数列{xn }收 敛于a, 记为 如果不存在这样的常数a, 就说数列{xn }没有极限, xn a n = → lim 或 xn→a (n→). 或说数列{xn }是发散的, 习惯上也说 n n x → lim 不存在. 0, NN+ , 当nN时, 有|x x a n−a| . n n = → lim •极限定义的简记形式