定义3设随机试验E的样本空间为2，对E的每一个 事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率， 如果集合函数P(A)满足下列三条公理： 公理一（非负性）：对任意事件A,有P()≥0； 公理二（规范性）：对必然事件2，有P(2)=1; 公理三（可数可加性（也称完全可加性）)：对于可 数个两两互斥的事件A，A,.,An,.,有 PUA)=∑P(4). 2024年8月27日星期二 12 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 12 目录 上页 下页 返回 定义 3 设随机试验 E 的样本空间为 ，对 E 的每一个 事件 A 赋予一个实数，记为 P A( )，称为事件 A 的概率， 如果集合函数 P A( )满足下列三条公理： 公理一(非负性)：对任意事件 A ，有 P A( ) 0 ； 公理二(规范性)：对必然事件 ，有 P( ) 1 = ； 公理三(可数可加性(也称完全可加性))：对于可 数个两两互斥的事件 A1 ， A2 ，.， A n ，.，有 1 1 ( ) ( ) i i i i P A P A = = = ．
概率的性质 1、P(Φ)=0. 证明因为Φ=ΦUΦUUΦU·,由公理三有 P(Φ)=P(Φ)+.+P(Φ)+.， 又P(Φ)为非负实数，所以P(Φ)=0. 2、有限可加性：若A,A,，.,An两两互不相 容，即44=①，≠)，则有PU4)=∑P(4). 2024年8月27日星期二 13 目录○ 、上页>下页 返回
2024年8月27日星期二 13 目录 上页 下页 返回 概率的性质 1、 P( ) 0 = ． 证明 因为 = ，由公理三有 P P P ( ) ( ) ( ) = + + + ， 又 P( ) 为非负实数，所以 P( ) 0 = ． 2、有限可加性：若 A1 ， A2 ，.， A n 两两互不相 容，即 ,( ) A A i j i j = ，则有 1 1 ( ) ( ) n n i i i i P A P A = = = ．
概率的性质 2、有限可加性：若A,A,.,An两两互不相 容，即A4,=①，≠)，则有PU4)=∑P4). 证明因为U4=U4UΦUΦU,所以 P心4)=P04UU)=P4)++P4)+P+-P4W 特别地，若AB=Φ，则P(AUB)=P(A)+P(B). 2024年8月27日星期二 14 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 14 目录 上页 下页 返回 概率的性质 2、有限可加性：若 A1 ， A2 ，.， A n 两两互不相 容，即 ,( ) A A i j i j = ，则有 1 1 ( ) ( ) n n i i i i P A P A = = = ． 证明 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n i i n i i i i P A P A P A P A P P A = = = = = + + + + = 因为 1 n i i A = ＝ 1 n i i A = ，所以 特别地，若 AB = ，则 P A B P A P B ( ) ( ) ( ) = + ．
概率的性质 3、对任意事件A,有P()=1-P(A). 证明因为AUA=2,AA=Φ，所以 P(A)+P(A)=P(AUA)=P(2)=1, 移项即得公式成立。 2024年8月27日星期二 15 目录○ 上页>下页 返回
2024年8月27日星期二 15 目录 上页 下页 返回 概率的性质 3、对任意事件 A ，有 P A P A ( ) 1 ( ) = − ． 证明 因为 A A AA = = , ，所以 P A P A P A A P ( ) ( ) ( ) ( ) 1 + = = = ， 移项即得公式成立
概率的性质 4、P(A-B)=P(A)-P(AB).特别，若BCA, 则P(A-B)=P(A)-P(B)且P(B)≤P(A. 证明因为A=(A-B)UAB且(A-B)∩AB=Φ，所 以 P(A)=P((A-B)AB)=P(A-B)+P(AB), 移项即证.又由概率的非负性知P(A-B)≥0，所 以 P(B)≤P(A. 2024年8月27日星期二 16 目录○ 、上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 16 目录 上页 下页 返回 概率的性质 4、 P A B P A P AB ( ) ( ) ( ) − = − ．特别，若 B A ， 则P( ) ( ) ( ) A B P A P B − − ＝ 且 P B P A ( ) ( ) ． 证明 因为 A A B AB ＝( ) − 且 ( ) A B AB − ＝ ，所 以 P A P A B AB P A B P AB ( ) (( ) ) ( ) ( ) ＝ − = − + ， 移项即证．又由概率的非负性知 P A B ( ) 0 − ，所 以 P B P A ( ) ( )