运用傅氏变换的线性性质,微分性质以及积分 性质,可以把线性常系数微分方程转化为代数 方程,通过解代数方程与求傅氏逆变换,就可 以得到此微分方程的解.另外,傅氏变换还是 求解数学物理方程的方法之
11 运用傅氏变换的线性性质, 微分性质以及积分 性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数 方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可 以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是 求解数学物理方程的方法之一
此外还有 若x[f()=F(o),则还成立 对称性质 [F()]=2m(-) 相似性质 If(a=F(a≠0) 翻转性质 f(-t)=F(-)
12 此外还有 [ ( )] ( ) : ( 0) | | 1 [ ( )] : [ ( )] 2 ( ) : [ ( )] ( ), w w w w - = - = = - = f t F a a F a f at F t f f t F F F F F 翻转性质 相似性质 对称性质 若 则还成立
性质小结:若,[f)=F(o),[g(t)]=G(o 线性:c(t)+g()4aF(o)+BG(o) 位移:f(t-t0 < F(oe o f(t)e >F(O-00) 导数:f( < JOF(O) 积分:f()dt 2() 对称:F() 2m(-0) 相似:f(a)(a≠0)、F C 翻转:f(-1) >F(-O)
13 性质小结: 若F [f(t)]=F(w), F [g(t)]=G(w) : ( ) ( ) | | 1 : ( ) ( 0) : ( ) 2 ( ) ( ) 1 : ( )d : ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) e : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 j 0 0 0 w w w w w w w w w w a b a w b w w w - - - - - + + - - f t F a F a f at a F t f F j f t t f t j F f t e F f t t F f t g t F G t j t t 翻转 相似 对称 积分 导数 位移 线性
乘积定理若F(ω)=[切),G(ω)=[g(),则 f(t)g(t)dt 2兀 F()G(o)do(1.20) 证|f()g()dt + 」。O)az! G(Oo) dt 2兀 G(o f(t)eo da 2丌 G(OF(Odo
14 乘积定理 若F(w)=F [f(t)], G(w)=F [g(t)], 则 + - + - + - + - + - + - + - + - = = = = w w w w w w w w w w w w ( ) ( )d 2 1 ( ) ( ) e d d 2 1 ( ) e d d 2 1 ( ) ( ) ( )d ( ) ( )d (1.20) 2 1 ( ) ( )d j j G F G f t t f t G t f t g t t f t g t t F G t t 证
能量积分若F(o)=[f(,则有 f(ti dt F(o)do(.21) 这一等式又称为帕塞瓦尔( Parserva)等式 证在(1.20)式中,令()=g(,则 T toDt=L F(OF(o)do 1cF(o)do=2zJ∞ + Soda 2 其中S(a)=|F(a)称为能量谱密度函数
15 能量积分 若F(w)=F [f(t)], 则有 ( ) (1.21) 2 1 ( ) d 2 2 + - + - = w w f t t F d ( ) ( ) . ( )d 2 1 ( ) d 2 1 ( ) ( )d 2 1 ( ) d 2 2 2 其中 w w 称为能量谱密度函数 w w w w w w w S F F S f t t F F = = = = + - + - + - + - 这一等式又称为帕塞瓦尔(Parserval)等式 证 在(1.20)式中, 令f(t)=g(t), 则