二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 定义：设Fx)是随机变量X的分布函数，若存在非负 可积函数x),使得对任意实数x,有 F(x)=f()dr 称X为连续型随机变量，称x)为X的概率密度函数，或 密度函数，也称概率密度。 2024年8月27日星期二 6 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 定义：设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负 可积函数f(x),使得对任意实数x，有 ( ) ( )d x F x f t t − = 称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，或 密度函数，也称概率密度
性质：1.f(x)≥0 2∫fx=l f(x) 从图形上来看，性质1表示X的概率密度f孔x)位于x轴上方， 性质2表示x)与x轴所围区域面积等于1. 2024年8月27日星期二 7 目录○ 上页>（下页 返回
2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 性质：1. f x( ) 0 2. ( )d 1 + − = f x x O x y 1 f x( ) 1 O x y 1 f x( ) 1 从图形上来看，性质1表示X的概率密度f(x)位于x轴上方， 性质2表示f(x)与x轴所围区域面积等于1
3.对于任意实数x,x2,(x<x2),有 P(x<X≤x)=F(x)-F(x)=∫fx)dx 从图形上来看，性质3表示 X落在区域(x,x2]的概率 等于相应的曲边梯形的面 0x2 x积。 4.若孔x)在点x处连续，则F'(x)=f(x) 对于连续型随机变量X来说，通过Fx)求导得x), 2024年湧减型分得Fx)。8 目录○ 上页 下页 返回
2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 3.对于任意实数 x x x x 1 2 1 2 , ,( ) ，有 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )d = − = x x P x X x F x F x f x x O x y 1 f x( ) 1 x 2 O x x y 1 f x( ) 1 x 2 x 从图形上来看，性质3表示 X落在区域 的概率 等于相应的曲边梯形的面 积。 1 2 ( , ] x x 4.若f(x)在点x处连续，则 F x f x ( ) ( ) = 对于连续型随机变量X 来说，通过F(x)求导得f(x) ， 通过f(x)积分得F(x)
5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零. 即 P{X=x}=0 由性质5，易得： P(x<X≤x2)=P(x≤X≤x2)=P(x1<X<x2) =P(x≤X<x)=∫f(x)dx 注：对离散型随机变量，上式不成立。 2024年8月27日星期二 9 目录○ 上页> 下页 返回
2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零． 即 P X x = = 0 0 由性质5，易得： 1 2 1 2 1 2 P x X x P x X x P x X x ( ) ( ) ( ) = = 2 1 1 2 = = ( ) ( )d x x P x X x f x x 注：对离散型随机变量，上式不成立
例：若随机变量的概率密度为 f- C(4x-2x2),0<x<2, 10, 其它 (1)求C的值；(2)X的分布函数；(3)P{X1} 解：()油于fxr=1,有 C04x-2r2x=1 得 c= 3 8 2024年8月27日星期二 10 目录○ 、上页 下页 、返回
2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 例：若随机变量X的概率密度为 2 (4 2 ), 0 2, ( ) 0, C x x x f x − = 其它. (1)求C的值； (2)X的分布函数；(3)P{X>1}. 解：(1)由于 ( )d 1 ，有 + − = f x x 2 2 0 C x x x (4 2 )d 1 − = 得 3 8 C =