意义1极限符号可以与函数符号互换; 2变量代换=φ(x)理论依据 例1求lm In(1+x) x→0 解原式= limIn(1+x) x→0 In lim(1+x)=Ine=1 x→>0 上一页下一页返回
意义 1.极限符号可以与函数符号互换; 2.变量代换(u = (x))的理论依据. 例1 . ln(1 ) lim 0 x x x + → 求 = 1. x x x 1 0 = limln(1+ ) 原式 → ln[lim(1 ) ] 1 0 x x = + x → = lne 解
例2求lm x→>0x 解令e-1=y,则x=ln(1+y 当x→0时,y→0. 原式=lim.J=lim y→0ln(1+y)y>0 In(1+y 同理可得mNna 上一页下一页返回
例2 . 1 lim 0 x e x x − → 求 解 e 1 y, x 令 − = 则 x = ln(1 + y), = 1. ln(1 ) lim 0 y y y + = → 原式当x → 0时, y → 0. y y y 1 0 ln(1 ) 1 lim + = → 同理可得 ln . 1 lim 0 a x a x x = − →
定理4设函数u=(x)在点x=x连续,且 q(x)=u,而函数y=∫(u)在点l=L连续, 则复合函数y=∫|q(x)在点x=x也连续 注意定理4是定理3的特殊情况 例如,=在(-∞,0)(0,+)内连续 y=sinu在(-∞,+∞)内连续, y=sin-在(-0,0)∪(0,+∞内连续 上一页下一页返回
则复合函数 在点 也连续. 而函数 在点 连续 设函数 在点 连续, 且 0 0 0 0 0 [ ( )] ( ) , ( ) , ( ) y f x x x x u y f u u u u x x x = = = = = = = 定理4 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, ( , 0) (0, ) , 1 = 在 − + 内连续 x u y = sinu 在(−, + )内连续, ( , 0) (0, ) . 1 = sin 在 − + 内连续 x y
3、初等函数的连续性 1)三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的 (2)指数函数y=a(a>0,a≠1) 在(-0,+)内单调且连续 (3)对数函数y=logx(a>0,a≠1) 在(0,+∞)内单调且连续; 上一页下一页返回
三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. （1） y = a (a 0, a 1) 指数函数 x 在(−,+)内单调且连续; （2） y = log x (a 0, a 1) 对数函数 a 在(0,+)内单调且连续; （3） 3、初等函数的连续性
(4)y=x=auloga →y=a",u= ulog x 在(0,+∞)内连续,讨论不同值, (均在其定义域内连续) 定理5基本初等函数在定义域内是连续的 定理6一切初等函数在其定义区间内都是连 续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 上一页下一页返回
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. y = x a x a log = , u y = a u log x. = a 在(0, + )内连续, 讨论不同值, (均在其定义域内连续 ) （4）