2.定义.设∑为光滑的有向曲面，在∑上定义了一个 向量场A=(P(x,y,z),Q(x,y,2),R(x,y,),若对Σ的任 意分割和在局部面元上任意取点，下列极限都存在 lim 2-→0 ∑P(5,7,5,AS,)2 i=1 +Q(5,7,5(△S,)Ex+R(5,n1,5i)△S)xy] 则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积 分，或第二类曲面积分.记作 Pdyd=+Qdzdx+Rdxdy 卫Q,R叫做被积函数，Σ叫做积分曲面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上 下页返回结束
设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, = n i 1 i i i i zx + Q( , , )(S ) 分, Pdy d z + Qd z d x + Rdx dy 记作 P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 A = (P(x, y,z), Q(x, y,z), R(x, y,z)), 若对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义. 机动 目录 上页 下页 返回 结束
Pdydz称为P在有向曲面2上对y,的曲面积分： 八Qdzdx称为Q在有向曲面上对：，x的曲面积分， 儿Rdxdy称为R在有向曲面Σ上对x,y的曲面积分. 引例中，流过有向曲面Σ的流体的流量为 Φ=j∬Pdyd=+Qddx+Rdxdy 若记∑正侧的单位法向量为n=(cosa,cosB,cosy) 令 ds=nds=(dydz,dzdx,dxdy) (有向曲面元） 4=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,=)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 Pd y d z 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分; Rd x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分. 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分; = Pdy d z + Qd z d x + Rdx dy 若记 正侧的单位法向量为 令 n = ( cos , cos , cos ) d S = n d S = (d yd z, d zd x, d x d y) A = (P(x, y,z),Q(x, y,z), R(x, y,z)) 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （有向曲面元）
Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =八3有nds=j2.ds 3.性质 (1)若∑=U∑，且∑，之间无公共内点，则 =] 儿不s-儿3Ads (2)用Σ表示Σ的反向曲面，则 儿了ds-儿不d HIGH EDUCATION PRESS 机动目 是上页下页返回结束
3. 性质 (1) 若 之间无公共内点, 则 (2) 用 ˉ 表示 的反向曲面, 则 Ad S i A d S Pd y d z + Qd z d x + Rd x d y = A nd S = Ad S 机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、对坐标的曲面积分的计算法 定理：设光滑曲面∑：z=z(x,y),(x,y)∈Dxy取上侧 R(x,y,z)是∑上的连续函数，则 JsR(x,y,a)dxdy=J∬DR(x,y(x,y)》dxdy 证：R)dxdy=m∑R5n5△S,y i=1 ,∑取上侧(AS)y=(Ao)xy 5,=z(5,7,) lim 2→0 ∑R5,n,z(5,n,)(△o)y i=1 =川 R(x,y,=(x,y))dxdy HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 取上侧, 是 上的连续函数, 则 R(x, y,z)d x d y ( , , ) = D x y R x y z(x, y) d x d y 证: 0 lim → = = n i 1 i x y (S ) i x y ∵ 取上侧 = ( ) , ( , ) i i i = z 0 lim → = = n i 1 ( , , ) R i i i x y ( ) R x y z x,y x y Dx y ( , , ( ))d d = R(x, y,z)d x d y 机动 目录 上页 下页 返回 结束