Pi+m+1的对换，它是经2m+1次相邻对换而成，排列也就改变了2m+1次奇偶性，所以两个排列的奇偶性相反，由于数的乘法是可交换的，所以行列式各项中的元素的顺序也可任意交换，例如四阶行列式中乘积aia2a3a4可以写成a22aia4a，一般n阶行列式中乘积aa2am可以写成apgapgapg.，其中pP,与qiq2q都是n级排列定理2n阶行列式的一般项可以写成(-1)$*T apgapgpa."其中S与T分别是n级排列PP2·P,与qq2q的逆序数证该项中任意两元素互换，行下标与列下标同时对换，由定理1知n级排列pP2Pa与qiq2q,同时改变奇偶性，于是S+T的奇偶性不变，如果将排列pP2P,对换为自然顺序12n逆序数为0)，排列qi92q,也相应对换为jJ2J（逆序数为，则有(-1)$+ apapgapa.=(-1)'ay°2ag."由定理2可知，行列式也可定义为ana2...ana21a22..4E(-1)(/-+(a) aa pg pa.D=(1.5):anan2.am若将行列式中各项的列下标按自然顺序排列，而相应行下标排列为，于是行列式又可定义为a12.ana21a22..azD:=Z (-1)(4)aga,2*-, (1.6)：::i2[anlauan2..s4行列式的性质记aai2.ana21a22.a2nD=:：：aman2am6
6 i m 1 p + + 的对换，它是经 2 1 m+ 次相邻对换而成，排列也就改变了 2 1 m+ 次奇偶性，所以两个 排列的奇偶性相反. 由于数的乘法是可交换的，所以行列式各项中的元素的顺序也可任意交换，例如四阶行 列式中乘积 11 22 33 44 a a a a 可以写成 22 11 44 33 a a a a ，一般 n 阶行列式中乘积 1 2 1 2 n j j nj a a a 可以写 成 1 1 2 2 n n p q p q p q a a a ，其中 1 2 n p p p 与 1 2 n q q q 都是 n 级排列. 定理 2 n 阶行列式的一般项可以写成 1 1 2 2 ( 1) n n S T p q p q p q a a a + − ， 其中 S 与 T 分别是 n 级排列 1 2 n p p p 与 1 2 n q q q 的逆序数. 证 该项中任意两元素互换，行下标与列下标同时对换，由定理 1 知 n 级排列 1 2 n p p p 与 1 2 n q q q 同时改变奇偶性，于是 S+T 的奇偶性不变，如果将排列 1 2 n p p p 对换为自然顺 序 12.n(逆序数为 0)，排列 1 2 n q q q 也相应对换为 1 2 n j j j (逆序数为 J)，则有 1 1 2 2 1 2 1 2 ( 1) ( 1) n n n S T J p q p q p q j j nj a a a a a a + − = − . 由定理 2 可知，行列式也可定义为 1 2 1 2 1 1 2 2 11 12 1 21 22 2 ( ) ( ) 1 2 ( 1) n n n n n n p p p q q q p q p q p q n n nn a a a a a a D a a a a a a + = = − . （1.5） 若将行列式中各项的列下标按自然顺序排列，而相应行下标排列为 1 2 n i i i ，于是行列式 又可定义为 1 2 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 ( ) 1 2 1 2 ( 1) n n n n n i i i i i i n i i i n n nn a a a a a a D a a a a a a = = − . （1.6） §4 行列式的性质 记 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =
ara2ana22an2a12...D':......aina2n.ann行列式D”称为行列式D的转置行烈式性质1行列式与它的转置行列式相等证记bbi2.b.b21b2...banD'=.:bnibh2..bmm即b，=a(i,j-1,2,，n)，按行列式定义D'= Z (-1)r(hin)b,banij.Z (-1)(/)b,bh2=D2-j性质1表明：行列式中行与列的地位是对称的，即行列式中行具有的性质，其列也具有性质2互换行列式的两行（列)，行列式反号证a..aunaipag......aa2na2p...a24...D=:::[anamanpam.++.+交换第p，q两列得行列式/a1...argatp...ain...a2na21a24a2p...D, =:::anl...amangarp...将D与D按(1-6)式计算，对于D中任一项(-1)'agia,2""aippaig""ag其中I为排列ii,…i。i的逆序数，在D,中必有对应一项(-1)aa.a,ga,a（当jp,q时，第j列元素取aj，第p列元素取aig，第q列元素取a,p），其中为排列i…i.ii的逆序数，而7
7 11 21 1 12 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a D a a a = ， 行列式 D′称为行列式 D 的转置行列式. 性质 1 行列式与它的转置行列式相等. 证 记 11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn b b b b b b D b b b = ， 即 ij ij b a = (i,j=1,2,.，n)，按行列式定义 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n j j j j j nj j j j D b b b = − 1 2 1 2 1 2 ( ) 1 2 ( 1) n n n j j j j j j n j j j b b b D = − = . 性质 1 表明：行列式中行与列的地位是对称的，即行列式中行具有的性质，其列也具有. 性质 2 互换行列式的两行(列)，行列式反号. 证 11 1 1 1 21 2 2 2 1 p q n p q n n np nq nn a a a a a a a a D a a a a = ， 交换第 p，q 两列得行列式 11 1 1 1 21 2 2 2 1 1 q p n q p n n nq np nn a a a a a a a a D a a a a = . 将 D 与 D1 按(1-6)式计算，对于 D 中任一项 1 2 1 2 ( 1) p q n I i i i p i q i n − a a a a a 其中 I 为排列 1 pqn i i i i 的逆序数，在 D1 中必有对应一项 1 1 2 1 2 ( 1) q p n I i i i q i p i n − a a a a a （当 j≠p,q 时，第 j 列元素取 j i j a ，第 p 列元素取 q i q a ，第 q 列元素取 p i p a )，其中 1I 为排列 1 q p n i i i i 的逆序数，而
.....与i....,...只经过一次对换，由定理1知，（-1)与（-1)相差一个符号，又因,aag"a,a,=(-1)'a,a2a,paga,m所以对于D中任一项，D,中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又D与D,的项数相同，所以D=-DI.交换行列式i，j两行记作r(i，j)，交换行列式i，j两列，记作c(i，j).推论若行列式有两行（列)元素对应相等，则行列式为零性质3行列式的某一行（列)中所有元素都乘以同一个数k，等于用数k乘以此行列式第i行(列)乘以数k，记作r(i(K)）［c(i(k))推论行列式中某一行（列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号的外面性质4行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零性质5若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如.anai2aina212a2n..::D=a, +d.ia,z2 +a,2am+am:目:anam2am..则行列式D等于下列两个行列式之和：ai...ainaua2ai2...aina21an2azna21a22...a2m......：:...D=aiai2amainaia;2.........::主:[ananm[ananan2an2....*性质 6把行列式某一行(列)的元素乘以数k，加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变例如，以数k乘以第i行（列）上的元素加到第j行（列)对应元素上，记作r(j+i(k)(c(j+i(k),有8
8 1 pqn i i i i 与 1 q p n i i i i 只经过一次对换，由定理 1 知， ( 1)I − 与 1 ( 1)I − 相差一个符号，又因 1 2 1 2 1 2 1 2 ( 1) q p n p q n I i i i q i p i n i i i p i q i n a a a a a a a a a a = − , 所以对于 D 中任一项，D1 中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又 D 与 D１的项数相 同，所以 D=-D1. 交换行列式 i，j 两行记作 r(i，j)，交换行列式 i，j 两列，记作 c(i，j). 推论 若行列式有两行(列)元素对应相等，则行列式为零. 性质 3 行列式的某一行(列)中所有元素都乘以同一个数 k，等于用数 k 乘以此行列式. 第 i 行(列)乘以数 k，记作 r(i(k))［c(i(k))］. 推论 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号的外面. 性质 4 行列式中若有两行元素对应成比例，则此行列式为零. 性质 5 若行列式的某行(列)的元素都是两个数之和，例如 11 12 1 21 22 2 1 1 2 2 1 2 n n i i i i in in n n nn a a a a a a D a a a a a a a a a = + + + ， 则行列式 D 等于下列两个行列式之和： 11 12 1 11 12 1 21 22 2 21 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a = + . 性质 6 把行列式某一行(列)的元素乘以数 k，加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式的值不变. 例如，以数 k 乘以第 i 行（列）上的元素加到第 j 行(列)对应元素上,记作 r j i k ( + ( )) (c j i k ( + ( ))) ，有