-I A2I AAB-2I 0 01B1B 两边取行列式得 rgB-通 弋 I A I AI 0 B 10 -21B BA-21 两边取行列式得 ←ah-g-通 所以 AB-I =BA-I=BA-2I 即AB与BA有相同的特征值。 正法三若A≠O,则BA=AABA,故AB与BA相似，所以AB与BA有相同的特 征值。 若A=0,由于A-川只有有限个根，因此存在无数1，使A-川≠0，由上可知 (A-)B与B(A-)有相同的特征值，即 AB-/B-I=BA-/B-2I 令f)=AB-B-川-BA-B-I,则f)可视作关于1的n次多项式，由于有无 数个1使f()=0成立，因而它必须为零多项式，从而在0时∫()=0仍成立，即有 AB-AI=BA-AI 亦即AB与BA有相同的特征值。 例18设A和B均为n阶非零矩阵，且满足A2+A=0,B2+B=0,AB=BA=0, 证明： (1)入=-1必是A,B的特征值。 (2)若a1,a2分别是A,B对应的特征值入=-1的特征向量，则41，a2线性无关。 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint,cn
B I AB I 0 B I I A 0 I I A l - l = - 两边取行列式得 AB I B I I A l l - = - n ( 1) 又 B BA I I 0 0 I I A B I I A l l l l - = - 两边取行列式得 BA I B I I A l l l -l = - n n ( ) 所以 AB - lI = BA - lI = BA - lI 即 AB 与 BA 有相同的特征值。 证法三 若 A ¹ 0 ，则BA A ABA -1 = ，故 AB 与 BA 相似，所以 AB 与 BA 有相同的特 征值。 若 A = 0 ，由于 A - lI 只有有限个根，因此存在无数 t，使 A - tI ¹ 0 ，由上可知 (A - tI)B 与B(A - tI) 有相同的特征值，即 AB - tB - lI = BA - tB - lI 令 f (t) = AB - tB - lI - BA - tB - lI ，则 f (t) 可视作关于 t 的 n 次多项式，由于有无 数个 t 使 f (t) = 0 成立，因而它必须为零多项式，从而在 t=0 时 f (t) = 0 仍成立，即有 AB - lI = BA - lI 亦即 AB 与 BA 有相同的特征值。 例 18 设 A 和 B 均为 n 阶非零矩阵，且满足A A 0 B B 0 AB BA 0 2 2 + = , + = , = = , 证明： （1）l = -1必是 A,B 的特征值。 （2）若 1 2 a ,a 分别是 A,B 对应的特征值l = -1的特征向量，则 1 2 a ,a 线性无关。 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
证(1)因为A2+A=(A+)A=0,A≠0.所以(A+Dx=0有非零解，从而 A+1=0,即入=-1是A的特征值。 同理入=-1也是B的特征值。 (2)因Aa1=-1,故-Ba1=BAa1=0a1=0a1,即 Ba:=0d 可见入是B对应入=0的特征向量。 由于a1,a2是B分别对应于入=0和入=-1的特征向量，故它们线性无关。 4)利用特征值证明矩阵的可逆性 (1)A可逆一A无零特征值。 (2)讨论形如A一1的矩阵的可逆性时，有时利用矩阵的特征值来讨论。 A-可逆白A-≠0台k不是A的特征值 A-kI不可逆台A-I=0台k是A的特征值。 例19设A为n阶方阵，且(A+)"=0,m为正整数，证明A可逆。 证设入为A的任意特征值，为对应的特征向量，则 (A+ID5=(2+1)5 从而 (A+)"5=(2+1)号 因为(A+I)"=0,且5≠0，所以有（久+1）=0，得入=-1。放A得任一特征值 都为一1，因此 A=(-I)°≠0 即可知A可逆。 例20己知n阶方阵A和B,B得特征多项试为f(2),求证f(A)可逆得充要条件是B 得任一特征值都不是A得特征值。 证设B得特征值为元，(i=1,2,…,m),则 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint.cn
证 （1）因为 A A A I A 0 A 0 2 + = ( + ) = , ¹ .所以 (A + I)x = 0 有非零解，从而 A + I = 0 ,即l = -1是 A 的特征值。 同理l = -1也是 B 的特征值。 （2）因 Aa1 = -1 ,故 1 1 - Ba1 = BAa1 = 0a = 0a ,即 1 Ba1 = 0a 可见l1 是 B 对应l = 0 的特征向量。 由于 1 2 a ,a 是 B 分别对应于l = 0 和l = -1的特征向量，故它们线性无关。 4）利用特征值证明矩阵的可逆性 （1）A 可逆Û A 无零特征值。 （2）讨论形如 A - kI 的矩阵的可逆性时，有时利用矩阵的特征值来讨论。 A - kI 可逆Û A - kI ¹ 0 Û k 不是 A 的特征值。 A - kI 不可逆Û A - kI = 0 Û k 是 A 的特征值。 例 19 设 A 为 n 阶方阵，且( + ) = 0 m A I ，m 为正整数，证明 A 可逆。 证 设l 为 A 的任意特征值，x 为对应的特征向量，则 (A + I)x = (l +1)x 从而 x l x m ( + ) = ( +1) m A I 因为( + ) = 0 m A I ，且x ¹ 0，所以有( +1) = 0 m l ，得l = -1。故 A 得 任一特征值 都为－1，因此 = (-1) ¹ 0 n A 即可知 A 可逆。 例 20 已知 n 阶方阵 A 和 B，B 得特征多项试为 f (l) ，求证 f (A) 可逆得充要条件是 B 得任一特征值都不是 A 得特征值。 证 设 B 得特征值为 (i 1,2, , n) li = L ，则 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn