「122] 例7设A=246,不解特征方程，求A的特征值和特征向量。 369 解解法一 显然A=0,所以A必有零特征值，求出对应与零特征值的特征向最，解方程组 (A-0)=0得基础解系为： 「-3 由1≤P≤m,知入=0至少是A的二重特征值，故有入=入2=0. 设入是A的另一特征值，由特征值性质知 2+2+元3=m(A) 即 0+0+元3=14 所以入3=14。由(A-14)x=0,可解得元对应的特征向量为C=2 3 解法二同解法一求出入1=入2=0对应的特征向量a,a2。 因为A为实对称矩阵，设A的另一特征值为入，必有乙3≠0（由于实对称矩阵的任 特征值入均满足m=P,故入=0必为二重特征值)，因为入3≠入，入3≠入2故起对应的特 征向量必与a,a,正交.设x=k,,x,则由红a〉=0 在a=0'即 -2x+x2=0 -3x1+x3=0 解得a,=几，2,3为基础解系。考察 「123T11「141「11 Aa=2462=28=142=14a 369L3423 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建m,fineprint..cn
例 7 设 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 3 6 9 2 4 6 1 2 2 A ，不解特征方程，求 A 的特征值和特征向量。 解 解法一 显然 A = 0 ，所以 A 必有零特征值，求出对应与零特征值的特征向量，解方程组 (A - 0 · I) = 0得基础解系为： ú ú ú û ù ê ê ê ë é- = 0 1 2 a1 ， ú ú ú û ù ê ê ê ë é- = 1 0 3 a 。 由 £ rl £ ml 1 知l = 0 至少是 A 的二重特征值，故有 0 l1 = l2 = 。 设l3 是 A 的另一特征值，由特征值性质知 ( ) l1 + l2 + l3 = tr A 即 0 0 14 + + l3 = 所以 14 l3 = 。由(A -14I)x = 0 ，可解得l3 对应的特征向量为 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 3 2 1 a3 。 解法二 同解法一求出 0 l1 = l2 = 对应的特征向量 1 2 a ,a 。 因为 A 为实对称矩阵，设 A 的另一特征值为l3 ，必有 0 l3 ¹ （由于实对称矩阵的任一 特征值l 均满足ml = rl ，故l = 0 必为二重特征值），因为 3 1 3 2 l ¹ l ,l ¹ l 故起对应的特 征向量必与 1 2 a ,a 正交。设 [ ] T x x x 1 2 3 x = , , ，则由 î í ì = = , 0 , 0 1 x 2 x a a ，即 î í ì - + = - + = 3 0 2 0 1 3 1 2 x x x x 解得 [ ] T 1, 2, 3 a3 = 为基础解系。考察 3 14 3 3 2 1 14 42 28 14 3 2 1 3 6 9 2 4 6 1 2 3 a = a ú ú ú û ù ê ê ê ë é = ú ú ú û ù ê ê ê ë é = ú ú ú û ù ê ê ê ë é ú ú ú û ù ê ê ê ë é A = PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
得特征向量α，所对应的特征值为入3=14。 注解法二只适用与实对称矩阵，对于一般矩阵可用解法一。 2)由特征值或特征向量的概念确定矩阵中某些元素 [11 「2117 例8已知向量x=k是矩阵A=121的逆矩阵A的特征向量，试求常数k 112 的值。 解若Ax=x,则Ax=x,故x也是A的特征向量。 由4-川=-（元-1(2-4）=0，可求得A的特征值为21=入2=1，3=4. 由A=x,解得=l。所以2或l。 a-1c1 例9设矩阵A=5b3,其行列式detA=-1,又A的伴随矩阵A'有一 1-c0-a 个特征值入o,属于入的一个特征值向量为a-【l,-1,求a,b,c和2的值。 解据题意可得 AA'=AI=-L,A'a=-a,即 a -1e-[ 05b3-1= Li-c o -al1 1 也即 [2o(-a+1+c)=1 {2(-5-b+3)=1 (c-1-a）=-l 解之得入=1，b=-3,a=c 又由detA=-l和a=c,有 a -1 a 5-33=a-3=-1 1-a0-a 故a=c=2,所以a-2,3,-2,,= PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
得特征向量 a3 所对应的特征值为 14 l3 = 。 注 解法二只适用与实对称矩阵，对于一般矩阵可用解法一。 2) 由特征值或特征向量的概念确定矩阵中某些元素 例 8 已知向量 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 1 x k 是矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 1 2 1 2 1 2 1 1 A 的逆矩阵 1 A - 的特征向量，试求常数 k 的值。 解 若 A x x 1 = l - ，则 Ax x l 1 = ，故 x 也是 A 的特征向量。 由 A - lI = -(l -1)(l - 4) = 0 ，可求得 A 的特征值为 1, 4 l1 = l2 = l3 = 。 由 Ax = x ，解得 k=1。所以 k=-2 或 k=1。 例 9 设矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - = c a b a c 1 0 5 3 1 A ，其行列式det A = -1，又 A 的伴随矩阵 * A 有一 个特征值l0 ，属于l0 的一个特征值向量为 [ ] T a = -1, -1 1 ，求 a，b，c 和l0 的值。 解 据题意可得 = = - a = -a * * AA A I I, A ，即 ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - = - ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - 1 1 1 1 1 1 1 0 5 3 1 0 c a b a c l 也即 ï î ï í ì - - = - - - + = - + + = ( 1 ) 1 ( 5 3) 1 ( 1 ) 1 0 0 0 c a b a c l l l 解之得 = 1,b = -3, a = c l0 。 又由det A = -1和 a=c，有 3 1 1 0 5 3 3 1 = - = - - - - - a a a a a 故 a=c=2，所以 a=2，b=-3，c=2，l0 =1 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
[0011 例10设矩阵A=a1b有3个线形无关的向量，求a与b应满足的条件。 L100 解可求得A-川=-元(2-1)2(2+1)，所以A的特征值为入=人2=1入3=-1。由 于不同的特征值对应的向最线形无关，所以若A有3个线形无关的特征向量，则对应 入=入2=1应有两个线形无关的特征向量，从而(A-)=1,由 「-1011「-1011 A-1=a0b-00a+b L10-1000J 知，当a+0时，(A-)=1,此时A有3个线形无关的特征向量。 3)有关特征向量与特征向量的证明 例设n阶方阵A的特征值为，K2,…,入n,对应的向量分别为a1,2,…,n,若 f(x)=Cox"+Cxm-+…+Cx+Cm,则矩阵多项式 f(A)=CoAm+CAm-+.+cA+cI 的特征值为f2,f(2),…,f(n),对应的特征向量为1,a2,,an· 证由Aa:=入，a可得Aa,=入a,(=1,2,,n:=1,2,,m),所以 f(A)a;=CoAMd,+CAma++,+c =CoA"a,+ca,++cma+ca, =(c"+Cm-+…+cm-入，+cm)a, =f(i)a, 故f(，)是f(A)的特征值，a,是对应的特征向量。 例2设n维实向量a=a,a2,,aJ,证明a是A=aaT的特征值。 证若a=0,则A=aaT=0,显然A有零特征值，此时a=0,故☑是A的特 征值。 若a≠0，则Aa=aa'a=(a'a)a=aa,由定义可知a是A的特征值，对应 PDF文件使用”pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
例 10 设矩阵 ú ú ú û ù ê ê ê ë é = 1 0 0 1 0 0 1 A a b 有 3 个线形无关的向量，求 a 与 b 应满足的条件。 解 可求得 ( 1) ( 1) 2 A - lI = -l l - l + ，所以 A 的特征值为 1, 1 l1 = l2 = l3 = - 。由 于不同的特征值对应的向量线形无关，所以若 A 有 3 个线形无关的特征向量，则对应 1 l1 = l2 = 应有两个线形无关的特征向量，从而 r(A - I) = 1，由 ú ú ú û ù ê ê ê ë é + - ú ú ú û ù ê ê ê ë é - - - = 0 0 0 0 0 1 0 1 ~ 1 0 1 0 1 0 1 A I a b a b 知，当 a+b=0 时， r(A - I) = 1，此时 A 有 3 个线形无关的特征向量。 3) 有关特征向量与特征向量的证明 例 11 设 n 阶方阵 A 的特征值为l k ln , , , 1 2 L ，对应的向量分别为a a an , , , 1 2 L ，若 n m m m f x = c x + c x + + c x + c - - 1 1 0 1 ( ) L ，则矩阵多项式 A A A A I m m 1 m m f = c + c + + c + c - - 0 1 1 ( ) L 的特征值为 ( ), ( ), , ( ) 1 2 n f l f l L f l ，对应的特征向量为a a an , , , 1 2 L 。 证 由 Aai = liai 可得 i k ai = li a k A （i=1，2，…，n；k=1，2，…，m），所以 i i m i m i f a = c a + c a + + c - a + c a - A A A A m m 1 i 0 1 1 ( ) L i m i i m i m i i m i = c l a + c l a + + c - l a + c a - 1 1 0 1 L m i m i m i m i (c l c l c 1l c )a 1 = 0 + 1 + + - + - L i i = f (l )a 故 ( ) i f l 是 f (A) 的特征值，ai 是对应的特征向量。 例 12 设 n 维实向量 [ ] T a a a an , , , = 1 2 L ，证明 2 a 是 A T = aa 的特征值。 证 若a = 0，则 A 0 T = aa = ，显然 A 有零特征值，此时 0 2 a = ，故 2 a 是 A 的特 征值。 若a ¹ 0 ，则 a aa a a a a a a 2 = = ( ) = T T A ，由定义可知 2 a 是 A 的特征值，对应 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
的特征向量为a。 例13设A为n阶矩阵，入和入2是A的两个不同的特征值，51,52是A分别属于入和入 的特征向量，证明51+5，不是A的特征向量。 正（反证）若5，+52是A的特征向量，则存在数入，使 A(51+52)=(5,+52) 又由已知可得 A51=15,A52=,52 所以有 1(51+52)=2,51+入252 即 (元-元)5+(0-2)52=0 因为入≠入2，所以5，与52线形无关，故得 入-入.=0且入-入=0 于是入=入1=入2，这与入≠入2矛盾，故5+52不是A的特征向量 1pp…p] 例14试证：n阶方阵A= p1P…P的最大特征值是 :::: ppp…1J 入=a[1+(n-1)p],其中0<p<1,a2>0。 证A的特征多项式为 la2-aa2pa2p…a2p A-= a2pa2-a2p… a2pa2pa2p…a2- =(a-a2+a2p)-[a-a2+0-na'pj-l0" 于是A的特征值为元1=a[1+(n-1)p],2=元=…=元.=a2(1-p) PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建，fineprint,cn
的特征向量为a 。 例 13 设 A 为 n 阶矩阵，l1 和l2 是 A 的两个不同的特征值， 1 2 x ,x 是 A 分别属于l1 和l2 的特征向量，证明 1 2 x + x 不是 A 的特征向量。 证 （反证）若 1 2 x + x 是 A 的特征向量，则存在数l ，使 ( ) ( ) 2 1 2 x + x = l x + x A 1 又由已知可得 1 1 1 2 2 2 Ax = l x , Ax = l x 所以有 1 2 1 1 2 2 l(x + x ) = l x + l x 即 ( ) ( ) 0 l - l1 x1 + l - l2 x 2 = 因为l1 ¹ l2 ，所以 1 x 与 2 x 线形无关，故得 0 l - l1 = 且 0 l - l2 = 于是 l = l1 = l2 ，这与l1 ¹ l2 矛盾，故 1 2 x +x 不是 A 的特征向量。 例 14 试 证 ： n 阶方阵 ú ú ú ú û ù ê ê ê ê ë é = 1 1 1 L M M M M L L r r r r r r r r r A 的 最 大 特 征 值 是 [1 ( 1) ] 2 l1 = a + n - r ，其中0 1, 0 2 < r < a > 。 证 A 的特征多项式为 r r r l r l r r l r r r l - - - - = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a a a a a a L M M M M L L A I n n ( a a ) [ a (1 n)a ]( 1) 2 2 1 2 2 = - + - + - - - l r l r 于是 A 的特征值为 [1 ( 1) ], (1 ) 2 2 3 2 l1 = a + n - r l = l = L = ln = a - r PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn
由于0<p<1,a2>0,故入>元2=…=元n,即1=a21+(n-1)p]为最大特 征值。 例15设n阶方阵A不可逆，若r(A)<n-1,则A的特征值为零：若(A)=n-1, 则A有一个m-1重特征值零及一个单特征值A,+A2+…+An(A=(ag)mm,Ag是ag的 代数余子式)。 证若(A)<n-1,则(A)=0,故A=0,从而A的特征值为零. 若(A)=n-1,则r(A')=1,故A中所有高于1阶的子式全为零，故由特征多 项式的性质知 A-川=(-l)(2”-(41+A2+…+Am)2m) =(-l)-[2-(A+A2+…+Am】 所以此时A'有一个m-1重特征值零及一个单特征值A,+A2+…+Am。 例16设A为n阶方阵，A≠I,且r(A+3)+r(A-I)=n。证明-3是A的特征值。 证因为A≠I,所以A-I≠0故(A-)>0。由(A+3)+r(A-)=n,得 r(A+3)<n 所以A+3=0,即3是A的特征值。 例17设A,B均为n阶方阵，证明AB与BA具有相同的特征值。 证证法一设入为AB的任一特征值，对应的特征向量为x,即 ABx=x 两边左乘B,得 BABx=ABx 若Bx≠0，则入是BA的特征值，而Bx是对应的特征向量。 若Bx=0,则元x=A(Bx)=0,由x≠0知入=0，即AB有零特征值。故AB=0,从 而BA=AB=O,这表明BA也有零特征值。所以AB与BA有相同的特征值。 证法二 PDF文件使用"pdfFactory Pro”试用版本创建w,fineprint.cn
由于0 < 1 , 0 2 r < a > ，故l1 > l2 = L = ln ，即 [1 ( 1) ] 2 l1 = a + n - r 为最大特 征值。 例 15 设 n 阶方阵 A 不可逆，若r(A) < n -1，则 * A 的特征值为零；若r(A) = n -1， 则 * A 有一个 n-1 重特征值零及一个单特征值 A A Ann aij n n Aij ( ( ) , 11 + 22 +L+ A = ´ 是 aij 的 代数余子式）。 证 若 r(A) < n -1，则 ( ) 0 * r A = ，故 0 * A = ，从而 * A 的特征值为零。 若 r(A) = n -1，则 ( ) 1 * r A = ，故 * A 中所有高于 1 阶的子式全为零，故由特征多 项式的性质知 ( 1) ( ( ) ) 1 11 22 - - = - - + + + n nn n n A lI l A A L A l ( 1) [ ( )] 11 22 1 nn n n = - - A + A + + A l - l L 所以此时 * A 有一个 n-1 重特征值零及一个单特征值 A11 + A22 +L+ Ann 。 例 16 设 A 为 n 阶方阵，A ¹ I ，且r(A + 3I) + r(A - I) = n 。证明-3 是 A 的特征值。 证 因为 A ¹ I ，所以 A - I ¹ 0 故 r(A - I) > 0。由 r(A + 3I) + r(A - I) = n ，得 r(A + 3I) < n 所以 A + 3I = 0，即-3 是 A 的特征值。 例 17 设 A，B 均为 n 阶方阵，证明 AB 与 BA 具有相同的特征值。 证 证法一 设l 为 AB 的任一特征值，对应的特征向量为 x，即 ABx = lx 两边左乘 B，得 BABx = lBx 若Bx ¹ 0 ，则l 是 BA 的特征值，而 Bx 是对应的特征向量。 若Bx = 0，则lx = A(Bx) = 0，由 x ¹ 0 知l = 0 ，即 AB 有零特征值。故 AB = 0 ，从 而 BA = AB = 0 ，这表明 BA 也有零特征值。所以 AB 与 BA 有相同的特征值。 证法二 PDF 文件使用 "pdfFactory Pro" 试用版本创建 www.fineprint.cn