《线性代数》课程习题选解（C）第二章 矩阵与向量

第二章部分习题及解答 1.试用初等行变换将下列矩阵化为阶梯形矩阵及行最简形 「0012-1] (2) 13-22-1 26-457 -1-3405 受 0 012-1 「-1-34051「-1-34051 1 3-22-1F13-22-1 00224 6-457≈2 6 -457004517 -1-3405J L0012-1 0012-1 「-1-34051-1-340 57 00224 00224 00019 -00019 一阶梯形矩阵 0001-30000-12 「13-40-5]「13043] 「1300-33]「13000] 00112 00112 0010-7 00100 00019 00019 00019 -00010 00001」00001寸0000 1 00001 一行最简形 4.判定下列向量组的线性相关性？ (1)(1,2,3,4),(2,1,0,5),(-1,1,2,3) (3)g,=(1a,a,.,a-)i=l2,.,m.其中a,a,an是互不相同的数，m≤n 解(1)考虑前三个分量的向量组的情形，得 1123 210=3≠0向量组1,2,3)，(21,0)，(-112)线性无关， -112 所以原向量组线性无关。 (3)考虑前m个分量的向量组E的情形，得

第二章 部分习题及解答 1．试用初等行变换将下列矩阵化为阶梯形矩阵及行最简形 （2）                   1 3 4 0 5 2 6 4 5 7 1 3 2 2 1 0 0 1 2 1 解：                                                     0 0 1 2 1 0 0 4 5 17 0 0 2 2 4 1 3 4 0 5 ~ 0 0 1 2 1 2 6 4 5 7 1 3 2 2 1 1 3 4 0 5 1 3 4 0 5 2 6 4 5 7 1 3 2 2 1 0 0 1 2 1 ~ 4 r r                               0 0 0 0 12 0 0 0 1 9 0 0 2 2 4 1 3 4 0 5 ~ 0 0 0 1 3 0 0 0 1 9 0 0 2 2 4 1 3 4 0 5 ~ ——阶梯形矩阵                                                     0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 3 0 0 0 ~ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 9 0 0 1 0 7 1 3 0 0 33 ~ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 9 0 0 1 1 2 1 3 0 4 3 ~ 0 0 0 0 1 0 0 0 1 9 0 0 1 1 2 1 3 4 0 5 ~ ——行最简形 4．判定下列向量组的线性相关性？ （1）（1，2，3，4），（2，1，0，5），（-1，1，2，3）； （3） a a a i m a a am m n n i  i i i    (1, , 2 ,  , 1 ), 1,2,  , . 其中 1 , 2 ,  , 是互不相同的数， . 解（1） 考虑前三个分量的向量组的情形，得 3 0, 向量组(1,2,3),(2,1,0),( 1,1,2)线性无关 1 1 2 2 1 0 1 2 3       ， 所以原向量组线性无关。 （3）考虑前 m 个分量的向量组 E 的情形，得

1 1 D a 2-门a-9)t0.e44,4互不相同 aa-.a 即前m个分量的向量组E线性无关，所以原向量组线性无关。 5.问c取何值时，下列向量组线性相关？ (c,-1/2,-1/2),(-1/2,c,-1/2),(-1/2,-1/2,c) c 11 解：要使向量组线性相关，只要行列式；一习引 c￥-0 2 所以C=l成c=-· 6.设B=a,B,=a%+a,B=a+凸2++a,若a,a线性无关 证明向量组R,B.,B亦线性无关。 证明：设kB+kB++k,B=0, 即(k+k+.+k,)a,+(k++k,)a2++(k+k)a,1+k=0, 因为若a,a,a,线性无关，则 [k1+k2+.+k,=0 k+.+k,=0 。 一k=k2=.=k=0. k+k,=0 k.=0 所以向量组B,B,B也线性无关 10.设n维单位坐标向量组6,62，6可由n维向量组4，a,线性表示，证 明向量组a,a2,n线性无关 证明：因为n维单位坐标向量组6,82，.，8n可由n维向量组a,42,.,an线性表示

( ) 0, ( , , , ) 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 i j m互不相同 m i j m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a D                       ， 即前 m 个分量的向量组 E 线性无关，所以原向量组线性无关。 5．问 c 取何值时，下列向量组线性相关？ （c，-1/2，-1/2），（-1/2，c，-1/2），（-1/2，-1/2，c） 解：要使向量组线性相关，只要行列式 0 4 1 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3           C C C C C ， 所以 2 1 C 1或C   。 6． 设1 1 ,2 1 2 ,  ,r 1 2 r .若1，2，，r线性无关 证明向量组1 ,2 ,  ,r亦线性无关。 证明：设 k11  k22  krr  0， 即 (k1  k2  kr )1 (k2  kr )2 (kr1  kr )r1  krr  0， 因为若 1， 2，， r 线性无关，则 0 0 0 0 0 1 2 1 2 1 2                          r r r r r r k k k k k k k k k k k      . 所以向量组    r , , , 1 2  也线性无关 10．设 n 维单位坐标向量组 n  , , , 1 2  可由 n 维向量组   n , , , 1 2  线性表示，证 明向量组   n , , , 1 2  线性无关。 证明：因为 n 维单位坐标向量组 n  , , , 1 2  可由 n 维向量组   n , , , 1 2  线性表示

R6,5,.,6n)≤R(a,a4,.,nb又因为R(6,6,6)=n,所以R(a,a,.,an)=n 即向量组a,a2,an线性无关。 12.已知向量组 [o1「a]「b] %= 2a,=0,a=6与向量组= 2B,=1具有相同的秩，且 -317 -110 B可由向量组a,2,a,线性表示，求a,b的值。 「11「31「91 解：求向量组a=2a=0a-6的秩。 -317 「139]「1391「1397 206-0-6-12-012 R(a,a3)-2 -31701020000 「o1「a]「b1 求向量组B=1B,=2B=1的秩 -11o 0ab1「-110]「-110-110 121121031~031 L-110[0ab[-1a+100b-g 要使秩也为2，必须b=日 (1) 又因B,可由向量组a4,a2,线性表示，设B3=k+kC%,+k,所以 [k+3k2+9k=b 2k1 +6k3=1→b=5 (2 -3k+k2-7k3=0 由(1)、(2)即可求得F15,5。 「1元-12] 15.对于2的不同取值，矩阵A=2-15的秩为多少？ 110-61

则 R( 1 , 2 ,  , n )  R(1 ,2 ,  ,n ),又因为R( 1 , 2 ,  , n )  n,所以R(1 ,2 ,  ,n )  n 即向量组   n , , , 1 2  线性无关。 12．已知向量组                                   7 6 9 , 1 0 3 , 3 2 1 1  2 1 与向量组                                   0 , 1 1 , 2 1 1 0 1 2 3 a b    具有相同的秩，且  3 可由向量组 1 2 3  , , 线性表示，求 a,b 的值。 解：求向量组                                   7 6 9 , 1 0 3 , 3 2 1 1  2 1 的秩， , ( , , ) 2 0 0 0 0 1 2 1 3 9 ~ 0 10 20 0 6 12 1 3 9 ~ 3 1 7 2 0 6 1 3 9  1 2 3                                    R    ； 求向量组                                   0 , 1 1 , 2 1 1 0 1 2 3 a b    的秩， ，                                                 3 0 0 0 3 1 1 1 0 ~ 1 1 0 3 1 1 1 0 ~ 0 1 2 1 1 1 0 ~ 1 1 0 1 2 1 0 a a b a b b a b  要使秩也为 2，必须 3 a b  （1） 又因  3 可由向量组 1 2 3  , , 线性表示，设 3 11 22 33  k  k  k ，所以 5 3 7 0 2 6 1 3 9 1 2 3 1 3 1 2 3                 b k k k k k k k k b （2） 由（1）、（2）即可求得 a=15 ，b=5 。 15．对于  的不同取值，矩阵               1 10 6 1 2 1 5 1 1 2   A 的秩为多少？

12-12]110-611110-61 解：A=2-115~2-1150-211+123 110-611元-1202-1051 0912当2品-2出=对=2 「110-61 0-1051 16.试用矩阵的初等行变换求以下矩阵的列向量组的一个最大无关组，并将其余 向量用最大无关组线性表示 「1021 1201 (2)2130 25-14 1-13-1 「10211「10211「10211 1201 0 2 2 0 0 -1-2 解：2130~0 -1-2-0 2 -2 0 5-14 0 5 -5 2 0 5 -5 2 1-13-10-11-2 0-11-2 「10211102 1 01-1 -2 01-1 -2 -000 4 000 1=B 000 12 000 0 000-4 L0000 所以该矩阵的列向量组的一个最大无关组是心，a,且B的列向量间有线性关 T21 [11「0 1 「21 「11「01 [1 =1 0 =2 0 12 系： 0 20 0+01 3 =22-1 +0 0 0 0 0 0 -125 0 0 31 -1 -1 20.设A与B都是m×n矩阵，证明矩阵A与B等价的充分必要条件是R(4)=R(B)。 证明：”一→”若矩阵A与B等价，即矩阵A通过若干次初等变换转化为矩阵B。由

解：                                          0 10 5 1 0 21 12 3 1 10 6 1 ~ 1 1 2 2 1 5 1 10 6 1 ~ 1 10 6 1 2 1 5 1 1 2       A 3 ( ) 2 1 3 5 12 10 21 0 10 5 1 0 21 12 3 1 10 6 1 ~                        当  时，R A     ； 3 ( ) 3 1 3 5 12 10 21         当  时，R A   。 16．试用矩阵的初等行变换求以下矩阵的列向量组的一个最大无关组，并将其余 向量用最大无关组线性表示 （2）                    1 1 3 1 2 5 1 4 2 1 3 0 1 2 0 1 1 0 2 1 解：                                                                0 1 1 2 0 5 5 2 0 2 2 0 0 1 1 2 1 0 2 1 ~ 0 1 1 2 0 5 5 2 0 1 1 2 0 2 2 0 1 0 2 1 ~ 1 1 3 1 2 5 1 4 2 1 3 0 1 2 0 1 1 0 2 1                     0 0 0 4 0 0 0 12 0 0 0 4 0 1 1 2 1 0 2 1 ~  B                   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 2 1 0 2 1 ~ 所以该矩阵的列向量组的一个最大无关组是 1 2 4  , , ，且 B 的列向量间有线性关 系：                                                                                                                                               1 4 0 1 1 0 1 5 1 2 0 1 2 2 1 1 2 3 1 3 0 2 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 2 20．设 A 与 B 都是 mn 矩阵，证明矩阵 A 与 B 等价的充分必要条件是 R(A)  R(B) 。 证明： "" 若矩阵 A 与 B 等价，即矩阵 A 通过若干次初等变换转化为矩阵 B。由

初等变换的定义可验证矩阵经3种初等变换的任一种，所得矩阵的行或列向量组 均与原矩阵的行或列向量组等价，则矩阵的行或列向量组的秩相同，从而所对应 的矩阵的秩也相等，即R()=R(B)。 若A与B都是mxn矩阵且RA0=RBA)。设R)=r,则A~I=0O 。由等价的性质，A~B,即矩阵A与B等价 21,证明R(A)=r一A中不为零的子式的最高阶数为r 证明："→”设R()=r,则A中任意r+1行向量都线性相关， 因而，A中任意r+1阶子式的行向量都线性相关， 所以A的所有r+1阶子式全为0。 下证至少有一个r阶子式不为0 a.an 设A=.,A中有r个行线性无关， Lanm1.anmJ a1.an 不妨设前r行，令A=.,则A的行秩为r, a1.a,nJ 因而A,的列秩也为r,不妨设前”列无关， 「a1.av 令4=.，则(4)=r,所以4≠0 La1.anJ 即不为零的子式的最高阶数是了。 “仁”由条件A中不为零的子式的最高阶数为”知：A中至少有一个r阶子式不为 0,而所有高于r阶的子式全为0，(*) 令R(4)=1,由必要性知：r≤1.若r〈t,由必要性知A中就有一个1(r〈1)阶 的子式不为零，与(*)矛盾，故只有1=r,即(=

初等变换的定义可验证矩阵经 3 种初等变换的任一种，所得矩阵的行或列向量组 均与原矩阵的行或列向量组等价，则矩阵的行或列向量组的秩相同，从而所对应 的矩阵的秩也相等，即 R(A)  R(B) 。 "" 若 A 与 B 都是 mn 矩阵且 R(A)  R(B) 。设 R(A)  r ，则        0 0 0 ~ Er A I ； 又因 R(B)  r ，则        0 0 0 ~ Er B I 。由等价的性质， A ~ B ，即矩阵 A 与 B 等价。 21，证明 R(A)  r  A 中不为零的子式的最高阶数为 r 证明： "" 设 R(A)  r ，则 A 中任意 r 1 行向量都线性相关， 因而， A 中任意 r 1 阶子式的行向量都线性相关， 所以 A 的所有 r 1 阶子式全为 0。 下证至少有一个 r 阶子式不为 0 设            m mn n a a a a A      1 11 1 ， A 中有 r 个行线性无关， 不妨设前 r 行，令            1 n 11 1 1 r r n a a a a A      ，则 A1 的行秩为 r ， 因而 A1 的列秩也为 r ，不妨设前 r 列无关， 令            r rr r a a a a A      1 11 1 2 ，则 R(A )  r 2 ，所以 A2  0 即不为零的子式的最高阶数是 r 。 "" 由条件 A 中不为零的子式的最高阶数为 r 知： A 中至少有一个 r 阶子式不为 0，而所有高于 r 阶的子式全为 0，（*） 令 R(A)  t ，由必要性知： r  t .若 r < t ，由必要性知 A 中就有一个 t （ r < t ）阶 的子式不为零，与（*）矛盾，故只有 t  r ，即 R(A)  r