复旦大学：《高等数学》课程精选教案_平面与直线

教案 平面和直线 教学内容 平面和直线是几何学中最基本的研究对象,是一些向量空间和几何空间中某 些对象的最基本原型。由于曲线在局部可以用它的切线来近似,曲面在局部可以 用它的切平面来近似,所以平面和直线也是几何和分析中“以直代曲”的最基本 元素。因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要,而且是必须要 掌握的数学工具。在本节中主要讲解以下几方面的内容: (1)平面和直线的代数表示,即它们的方程的形式如何?以及如何用向量 的运算方法来建立这些方程 (2)平面与平面,平面与直线、直线与直线,以及点与这些对象的位置关 系,如距离、夹角等,以及如何利用代数方法来处理。 教学思路和要求 (1)首先讲解平面的方程、直线的方程、以及建立这些方程的方法 (2)讲解点与平面的距离、点与直线的距离公式的建立和运用。 (3)讲解平面与平面,平面与直线、直线与直线的夹角概念与计算方法; (4)进一步,利用这些工具讲解一些具有某些特性的直线或平面的方程的具 体计算方法 教学安排 平面方程的几种形式 在R3中,给定了与平面垂直的方向和平面上的一个点,就可以唯一决定这 个平面。 与平面垂直的方向称为这个平面的法向量。设所求平面的法向量为 (,B,C),而且平面过点P(x0y=0)。对平面上的任何一点P(x,y,z),P 与P的连线依然在平面上,因而PP=(x-x0,y-y,2-0)与n垂直,即 H·PP=0 用分量表示,就是 A(x-x0)+B(y-y0)+C(=-20)=0 这个关系式称为平面的点法式方程 Po 记常数D=-(Ax0+Bya+C=0),则上述方程可以 写成 Ax+ By+C=+D=0 这个关系式称为平面的一般方程。 例6.2.1求过原点O0,0,0)和点P(6,-3,2),且 图62.1 与平面4x-y+2z=8垂直的平面方程。 解记所求平面为丌。因为过原点O(0,0,0)和点P(6,-3,2),所以其法向 量n应与OP=(6,-3,2)垂直。又m垂直于平面4x-y+2=8,所以n应与向量

教 案 平面和直线 教学内容 平面和直线是几何学中最基本的研究对象，是一些向量空间和几何空间中某 些对象的最基本原型。由于曲线在局部可以用它的切线来近似，曲面在局部可以 用它的切平面来近似，所以平面和直线也是几何和分析中“以直代曲”的最基本 元素。因此学习空间解析几何中处理平面与直线的方法非常重要，而且是必须要 掌握的数学工具。在本节中主要讲解以下几方面的内容： （1）平面和直线的代数表示，即它们的方程的形式如何？以及如何用向量 的运算方法来建立这些方程； （2）平面与平面，平面与直线、直线与直线，以及点与这些对象的位置关 系，如距离、夹角等，以及如何利用代数方法来处理。 教学思路和要求 （1）首先讲解平面的方程、直线的方程、以及建立这些方程的方法。 （2）讲解点与平面的距离、点与直线的距离公式的建立和运用。 （3）讲解平面与平面，平面与直线、直线与直线的夹角概念与计算方法； （4）进一步，利用这些工具讲解一些具有某些特性的直线或平面的方程的具 体计算方法。 教学安排 一． 平面方程的几种形式 在 3 R 中，给定了与平面垂直的方向和平面上的一个点，就可以唯一决定这 个平面。 与平面垂直的方向称为这个平面的法向量。设所求平面  的法向量为 n(A, B, C) ，而且平面过点 P0 ( 0 0 0 x , y , z )。对平面  上的任何一点 P(x, y,z) ，P 与 P0 的连线依然在平面上，因而 ( , , ) 0 0 0 0 P P  x  x y  y z  z 与 n 垂直，即 n  P0P = 0。 用分量表示，就是 A(x  x0 )  B( y  y0 )  C(z  z0 )  0， 这个关系式称为平面的点法式方程。 记常数 ( ) D   Ax0  By0  Cz0 ，则上述方程可以 写成 Ax  By Cz  D  0， 这个关系式称为平面的一般方程。 例 6.2.1 求过原点 O(0, 0, 0) 和点 P(6, 3, 2) ，且 与平面 4x  y  2z  8 垂直的平面方程。 解 记所求平面为  。因为  过原点 O(0, 0, 0) 和点 P(6, 3, 2) ，所以其法向 量 n 应与 OP  (6,  3, 2) 垂直。又  垂直于平面 4x  y  2z  8 ，所以 n 应与向量 z n P0 P  O y x 图 6.2.1

几1=(4,-1,2)垂直。故可取 n=OPxn1=6-32=-4-4j+6k。 利用平面的点法式方程,所求平面方程为 4x-4y+6z=0 即 2x+2y-3==0。 确定平面的另一类条件是,不在一条直线上的3个点唯一决定一张平面。设 平面x所过的3个点为f(x0,y0,=0),P(x,y,1),P(x2,y2,z2),因此P和 PP2与平面的法向量n垂直,即可以取法向量 n=PP×PP2, 设P(x,y,z)是平面上的任何一点,则有 n:P0P=(B01×PP2)·PP=0 这称为平面的三点式方程。容易看出,它正好就是四点共面的条件 X-xo y1-y x2-x0y2-y022-20 由行列式的性质,上式展开后一定是 Ax+ By+C=+D=o 形式,因此实际计算时不必死记公式,可以将P,P,P2的坐标直接代入平面 的一般式方程,用待定系数法解出A,B,C,D。 特别地,将平面所过的3个点取为过坐标轴的点 B(a,0,0,P(0,b,0),P2(0,0,c),代入三点式(00,c) 方程,就有 (0,b,0) 展开整理后,得 (1)当a、b、c均不为0时,平面方程为 图622 b 它称为平面的截距式方程(见图622),其中a,b,c依次称为该平面在x,y, z轴上的截距。此时平面的法向为 (2)当a,b,c中只有一个为0时,所决定的平面是坐标平面, 当a=0时,就是Oyz平面x=0, 当b=0时,就是Ozx平面y=0, c=0时,就是Oxy平面z=0

(4, 1, 2) n1   垂直。故可取 i j k i j k n n 4 4 6 4 1 2 1 6 3 2       OP   。 利用平面的点法式方程，所求平面方程为  4x  4y  6z  0， 即 2x  2y 3z  0。 确定平面的另一类条件是，不在一条直线上的 3 个点唯一决定一张平面。设 平面  所过的 3 个点为 P0 ( 0 0 0 x , y , z )， ( , , ) 1 1 1 1 P x y z ， ( , , ) 2 2 2 2 P x y z ，因此 P0P1 和 P0P2 与平面的法向量 n 垂直，即可以取法向量 n  P0P1  P0P2 ， 设 P(x，y，z)是平面上的任何一点，则有 n P0P  (P0P1  P0P2 ) P0P  0。 这称为平面的三点式方程。容易看出，它正好就是四点共面的条件 0 2 0 2 0 2 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0           x x y y z z x x y y z z x x y y z z 。 由行列式的性质，上式展开后一定是 Ax  By Cz  D  0 形式，因此实际计算时不必死记公式，可以将 P0 ， P1 ， P2 的坐标直接代入平面 的一般式方程，用待定系数法解出 A，B，C，D。 特别地，将平面所过的 3 个点取为过坐标轴的点 P0 (a，0，0)，P1 (0，b，0 )，P2 (0，0，c )，代入三点式 方程，就有 a c a b x a y z 0 0    = 0， 展开整理后，得 （1）当 a、b、c 均不为 0 时，平面方程为    1 c z b y a x ， 它称为平面的截距式方程（见图 6.2.2），其中 a，b，c 依次称为该平面在 x，y， z 轴上的截距。此时平面的法向为        a b c 1 , 1 , 1 n 。 （2）当 a，b，c 中只有一个为 0 时，所决定的平面是坐标平面， 0. 0; 0; 0 0 0       z y x c Oxy b Ozx a Oyz z (0,0, c ) n O y (0,b,0) (a,0,0) x 图 6.2.2

例6.22求过点(3,2,1),(0,1,0),(-1,0,2)的平面方程。 解将三点的坐标代入平面的一般方程 Ax By+C=+D=0 得到关于A、B、C、D的方程组 3A+2B+C+D=0 B+D=0, A+2C+D=0. 它的一组解为扫=3,B=-7,C=-2,D=7(此方程组有无穷多个解,只取一个 解就可以了),于是所求的平面方程为 3x-7y-2+7=0 二.直线方程的几种形式 与平面类似,要确定空间中的一条直线,主要条 件也有两类。一类是确定直线的方向和直线上的一个 点,另一类是确定直线上的两个点 设直线L的方向向量为v,m,n),它过点 P(x0,ya,=0)。于是,直线L上任何一点P(x,y,z)与P 的连线与ν平行,即PP∥v(见图62.3),按分量写 开,就是 图623 x-x 它称为直线的对称式方程或点向式方程 注意,若l,m,n中有等于0的,例如,当l=0,m,n≠0时,则应将上述 方程理解为 x=Mo, 当l=m=0,n≠0时,则应将上述方程理解为 ly =y0 例6.23求过点(2,1,-4),方向向量为 3,-1,1)的直线方程 解直接代入直线的对称式方程,便得所求的 直线方程为 2 4 若给定了直线上的两个点P0(x0,y,0)和 P(x1,n1,=1),则PB的方向就是v的方向向量(见 图624),代入直线的对称式方程,即得到直线的x 两点式方程 图624

例 6.2.2 求过点 (3, 2,1) ，(0,1, 0) ，(1, 0, 2) 的平面方程。 解 将三点的坐标代入平面的一般方程 Ax  By Cz  D  0， 得到关于 A、B、C、D 的方程组                2 0. 0, 3 2 0, A C D B D A B C D 它的一组解为 A= 3，B = -7，C= -2，D =7（此方程组有无穷多个解，只取一个 解就可以了），于是所求的平面方程为 3x -7y -2z + 7 = 0。 二．直线方程的几种形式 与平面类似，要确定空间中的一条直线，主要条 件也有两类。一类是确定直线的方向和直线上的一个 点，另一类是确定直线上的两个点。 设直线 L 的 方 向 向 量 为 v(l, m, n) ，它过点 P0 ( 0 0 0 x , y , z )。于是，直线 L 上任何一点 P(x, y,z) 与 P0 的连线与 v 平行，即 // v P0P （见图 6.2.3），按分量写 开，就是 n z z m y y l x x0 0  0     ， 它称为直线的对称式方程或点向式方程。 注意，若 l，m，n 中有等于 0 的，例如，当 l  0 ，m,n  0 时，则应将上述 方程理解为         . , 0 0 0 n z z m y y x x 当 l  m  0 ，n  0 时，则应将上述方程理解为      . , 0 0 y y x x 例 6.2.3 求过 点 (2,1,  4) ，方向向量为 (3, 1,1) 的直线方程。 解 直接代入直线的对称式方程，便得所求的 直线方程为 1 4 1 1 3 2      x  y z 。 若给定了直线上的两个点 P0 ( 0 0 0 x , y , z )和 ( , , ) 1 1 1 1 P x y z ，则 P0P1 的方向就是 v 的方向向量（见 图 6.2.4），代入直线的对称式方程，即得到直线的 两点式方程 z v P0 O P y x 图 6.2.3 z v P1 P0 O y P x 图 6.2.4

若在直线的对称式方程中记xx=y-=三-50=1,将等式写开,便得 到 y=yo +I m, 它称为直线的参数方程,其中t是参数 参数方程对于求解某些具体问题很有效。 例6.24求直线-2,3=-4 2与平面2x++二-6=0的交点。 解这就是求方程x-2、=-4与2x+y+2-6=0的公共解 将直线方程写成参数方程 3+1 其中t是参数。代入平面的方程,便得到 2(2+1)+(3+1)+(4+21) 0. 解得t=-1。代入直线的参数方程,得到x=1,y=2,z=2。即,交点为(1,2,2) 另外,如果给定了空间中两张互不平行的平面丌1:A1x+B1y+C1z+D1=0和 丌2:A2x+B2y+C2+D2=0,那么这两张平面交于一条直线。也就是说,这两 个平面的联立方程 A,x+B,y+C2+D,=0 A2x+B2y+C2+D2=0 同样表示一条直线,它称为直线的一般方程。 直线的一般方程看起来不太直观,用起来有时也 不太方便。由于x1的法向量为m1(A1,B,C1),z2的m1 法向量为n2(A2,B2,C2),由立体几何知识,直线的 方向向量v与n1和n2都垂直(见图62.5),因此 图625 可以取 n1×n2 再从联立方程中求出一组解(x0,y0,=0),也就是直线上的一个定点的坐标,这样 就可以将它化成对称式方程了 例6.2.5将直线的一般方程 2x+y-二+1=0 x+2z+4=0 化成对称式方程 解取直线的方向向量为

1 0 0 1 0 0 1 0 0 z z z z y y y y x x x x         。 若在直线的对称式方程中记 t n z z m y y l x x       0 0 0 ，将等式写开，便得 到            , , , 0 0 0 z z t n y y t m x x t l 它称为直线的参数方程，其中 t 是参数。 参数方程对于求解某些具体问题很有效。 例 6.2.4 求直线 2 4 1 3 1 2     x  y z 与平面 2x  y  z  6  0 的交点。 解 这就是求方程 2 4 1 3 1 2     x  y z 与 2x  y  z  6  0 的公共解。 将直线方程写成参数方程            4 2 , 3 , 2 , z t y t x t 其中 t 是参数。代入平面的方程，便得到 2 (2+ t) + (3+ t) + (4 + 2 t) - 6 = 0， 解得 t = -1。代入直线的参数方程，得到 x 1, y  2, z  2 。即，交点为(1, 2, 2)。 另外，如果给定了空间中两张互不平行的平面  1 ： A1 x  B1 y C1 z  D1  0 和  2 ： A2 x  B2 y C2 z  D2  0 ，那么这两张平面交于一条直线。也就是说，这两 个平面的联立方程            0 0, 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 同样表示一条直线，它称为直线的一般方程。 直线的一般方程看起来不太直观，用起来有时也 不太方便。由于  1 的法向量为 n1 ( 1 1 1 A ,B ,C )， 2 的 法向量为 n2 ( 2 2 2 A ,B ,C )，由立体几何知识，直线的 方向向量 v 与 n1 和 n2 都垂直（见图 6.2.5），因此， 可以取 v  n1  n2 ， 再从联立方程中求出一组解( 0 0 0 x , y , z )，也就是直线上的一个定点的坐标，这样 就可以将它化成对称式方程了。 例 6.2.5 将直线的一般方程           2 4 0 2 1 0, x z x y z 化成对称式方程。 解 取直线的方向向量为 v n1 n2  2  1 图 6.2.5

ij k n1×n2=21-1|=2i-5j-k, 102 再在平面上任意取一个公共点,如令x0=0,代入方程, 二+1=0, 则可以解出y0=-3,0=-2。 于是,直线的对称式方程为 x J 例6.2.6求过点M0(0,0,-2),与直线L1 相交,而且平行于平面丌1: 的直线方程。 解设所求直线为L。其方向向量为v(XY,Z)。显然M1(,3,0)是直线L1上 的点,v(4,-2,1)是L1的方向向量。由于L过点M0(0,0.-2),且与直线L相交, 因此向量MM1,v和ν共面,因此(M0M1xv1)·v=0,这就是说 X Y 03-00-(-2)=0 X+Y-2Z=0 又因为L与平面x1平行,所以vx,H,Z)与丌1的法向量m(3,-1,2)垂直,因此 0,即 X-Y+2Z=0。 联立上述各方程可解得X=0,y=2Z,取Z=1得Y=2。因此直线L的方程为 x y 2+2 021 2 x=0 本例也可先求过M0且平行于1的平面x2的方程,再求兀2与直线L1的交点 M,最后求出过M和M的直线方程。读者不妨自行计算。 平面束 空间直线L的一般方程为 A,x+B,y+C,2+D,=0 A2x+B2y+C2+D2=0. 对于任意一组不同时为零的常数A,,方程

v  n1  n2  1 0 2 2 1 1 i j k = 2i 5 j  k ， 再在平面上任意取一个公共点，如令 x0  0 ，代入方程，         2 4 0 1 0, z y z 则可以解出 y0  3， z0  2。 于是，直线的对称式方程为 1 2 5 3 2       x y z 。 例 6.2.6 求过点 (0, 0, 2) M0  ，与直线 L1 ： 2 1 3 4 x 1 y z      相交，而且平行于平面  1 ： 3x  y  2z 1  0 的直线方程。 解 设所求直线为 L 。其方向向量为 v(X,Y,Z) 。显然 (1, 3, 0) M1 是直线 L1 上 的点， (4, 2, 1) v1  是 L1 的方向向量。由于 L 过点 (0, 0, 2) M0  ，且与直线 L1 相交， 因此向量 M 0M1 ， 1 v 和 v 共面，因此 (M0M1  v1 ) v  0 ，这就是说 0 4 2 1 1 0 3 0 0 ( 2)       X Y Z ， 即 X  Y  2Z  0。 又因为 L 与平面  1 平行，所以 v(X,Y,Z) 与  1 的法向量 n(3, 1, 2) 垂直，因此 v  n  0 ，即 3X Y  2Z  0 。 联立上述各方程可解得 X  0, Y  2Z ，取 Z  1 得 Y  2 。因此直线 L 的方程为 1 2 0 2    x y z ， 即       0. 2 4, x y z 本例也可先求过 M 0 且平行于  1 的平面  2 的方程，再求  2 与直线 L1 的交点 M1 ，最后求出过 M 0 和 M1 的直线方程。读者不妨自行计算。 三．平面束 空间直线 L 的一般方程为            0. 0, 2 2 2 2 1 1 1 1 A x B y C z D A x B y C z D 对于任意一组不同时为零的常数 , ，方程