复旦大学：《高等数学》课程精选教案_Green公式和Stokes公式

教案 Green公式和 Stokes公式 教学内容 Gren公式、 Stokes公式和 Gauss公式都反映了某“区域”上的积分与其边 界上的积分之间关系。无论是结论的形式,抑或推导的过程,它们与 Newton-Leibniz公式是一脉相承的,而且最终可以表成统一的形式;同时,它们 也和 Newton-Leibniz公式一样,在各类理论或实际问题中有着广泛的应用。本节 介绍 Green公式 Stokes公式,具体内容如下 (1) Green公式及其证明; (2) Stokes公式及其证明; (3)利用 Green公式和 Stokes公式计算曲线积分 教学思路和要求 (1)首先介绍区域或曲面边界的诱导定向的概念,进而引出 Green公式和 Stokes公式,这是课程的重点 (2)对简单形式的区域证明Gren公式和; (3)对简单形式的有向曲面证明 Stokes公式; (4)讲解利用 Green公式和 Stokes公式计算曲线积分的方法,这也是课程 的重点。 教学安排 一, Green公式 先介绍单连通区域的概念。设D为一平面区域。如果D内任何一条闭曲线 都可以在不触及边界的过程中连续地收缩成一点,就称D为单连通区域;否则, 称为复连通区域。通俗地说,单连通区域就是不含有“洞”的区域,复连通区域 中含有“洞”。例如,单位圆盘{(x,y)x2+y2<l}是单连通的,而圆环 (x,y)1<x2+y2<2}是复连通的。 对于平面区域D,其边界OD的正向规定如下:当观察者沿OD的这个方向行 进时,区域D在他近旁的部分总是处于他的左侧。例如,对于圆环 D={(x,y)1<x2+y2<2},aD的一部分:{(x,y)x2+y2=2}的正向是逆时针 方向;另一部分:{(x,y)x2+y2=1l}的正向则是顺时针方向 定理8.8.1(Gren公式)设平面有界闭区域D的边界由有限段光滑的曲 线构成,二元函数P,Q在D上具有连续一阶偏导数,则有 Pdx+ody= 其中∂D取正向。 证先讨论单连通区域的情况。如果区域D同时可以表示为以下两种形式 D={(x,y)y1(x)≤y≤y2(x),a≤x≤b}

教 案 Green 公式和 Stokes 公式 教学内容 Green 公式、Stokes 公式和 Gauss 公式都反映了某“区域”上的积分与其边 界上的积分之间关系。无论是结论的形式，抑或推导的过程，它们与 Newton-Leibniz 公式是一脉相承的，而且最终可以表成统一的形式；同时，它们 也和 Newton-Leibniz 公式一样，在各类理论或实际问题中有着广泛的应用。本节 介绍 Green 公式 Stokes 公式，具体内容如下： （1） Green 公式及其证明； （2） Stokes 公式及其证明； （3） 利用 Green 公式和 Stokes 公式计算曲线积分。 教学思路和要求 （1）首先介绍区域或曲面边界的诱导定向的概念，进而引出 Green 公式和 Stokes 公式，这是课程的重点； （2）对简单形式的区域证明 Green 公式和； （3）对简单形式的有向曲面证明 Stokes 公式； （4）讲解利用 Green 公式和 Stokes 公式计算曲线积分的方法，这也是课程 的重点。 教学安排 一．Green 公式 先介绍单连通区域的概念。设 D 为一平面区域。如果 D 内任何一条闭曲线 都可以在不触及边界的过程中连续地收缩成一点，就称 D 为单连通区域；否则， 称为复连通区域。通俗地说，单连通区域就是不含有“洞”的区域，复连通区域 中 含 有 “ 洞 ”。 例 如， 单 位 圆 盘 {( , )| 1} 2 2 x y x  y  是 单 连通 的 ， 而 圆 环 {( , )|1 2} 2 2 x y  x  y  是复连通的。 对于平面区域 D ，其边界 D 的正向规定如下：当观察者沿 D 的这个方向行 进时，区域 D 在 他 近 旁 的 部 分 总 是 处 于 他 的 左 侧 。 例 如 ， 对 于 圆 环 {( , )|1 2} 2 2 D  x y  x  y  ，D 的一部分： {( , )| 2} 2 2 x y x  y  的正向是逆时针 方向；另一部分： {( , )| 1} 2 2 x y x  y  的正向则是顺时针方向。 定理 8.8.1（Green 公式） 设平面有界闭区域 D 的边界由有限段光滑的曲 线构成，二元函数 P ，Q 在 D 上具有连续一阶偏导数，则有                  D D dxdy y P x Q Pdx Qdy ， 其中  D 取正向。 证 先讨论单连通区域的情况。如果区域 D 同时可以表示为以下两种形式： {( , ) | ( ) ( ), } D  x y y1 x  y  y2 x a  x  b

={(x,y)|x1(y)≤x≤x2(y)c≤y≤d 则称这类区域为“标准区域”(见图88.1) C 图8.8. 图882 此时,由计算可得 ∫4J P(x, y2())-P(x, y(x))ldx ∫P(x,n(x)k-J"Pxy2(x)dk=-于P(xy)d 同理可得 x2(v)aO dxdy ∫(x(Oy)y)-(x(m)y ∫。x()y)+∫0(x()y=xy) 两式合并就得到所需求的结果。 般地,可以把由分段光滑曲线围成的单连通区域分割为有限个“标准区域” 的并。例如,图882所示的区域可由光滑曲线AB将D分割成“标准区域”D1与 D2的并。由对“标准区域”证得的Gren公式得到 a0 aP dy=∮Pdx+Qdy, a0 aP 上M dadu 注意D1与D2的公共边界AB的方向:作为aD1的一部分 是从A到B,作为OD2的一部分是从B到A,两个方向 恰好相反。将上面两式的两端分别相加,便得 a0 aP dxdy=Pdx+ody ax ay 图883 当D须分为更多个“标准区域”的情况可以类似证得,不再赘述。 再设D是有有限个洞的复连通区域,例如,图8.8.3所示的区域。以光滑曲

{( , ) | ( ) ( ), }  x y x1 y  x  x2 y c  y  d ， 则称这类区域为“标准区域”（见图 8.8.1）。 y d ( ) 2 y  y x ( ) 1 x  x y ( ) 2 x  x y c ( ) 1 y  y x O a b x 此时，由计算可得         D y x y x b a dy y P dxdy dx y P ( ) ( ) 2 1    b a [P(x, y (x)) P(x, y (x))]dx 2 1      a b b a P(x, y (x))dx P(x, y (x))dx 1 2     D P(x, y)dx。 同理可得         D x y x y d c dx x Q dxdy dy x Q ( ) ( ) 2 1    d c [Q(x (y), y) Q(x (y), y)]dy 2 1     c d d c Q(x (y), y)dy Q(x (y), y)dy 2 1    D Q(x, y)dy 。 两式合并就得到所需求的结果。 一般地，可以把由分段光滑曲线围成的单连通区域分割为有限个“标准区域” 的并。例如，图 8.8.2 所示的区域可由光滑曲线 AB 将 D 分割成“标准区域” D1 与 D2 的并。由对“标准区域”证得的 Green 公式得到                   D1 D1 dxdy Pdx Qdy y P x Q ，                   D2 D2 dxdy Pdx Qdy y P x Q 。 注意 D1 与 D2 的公共边界 AB 的方向：作为 D1  的一部分 是从 A 到 B ，作为 D2  的一部分是从 B 到 A ，两个方向 恰好相反。将上面两式的两端分别相加，便得                   D D dxdy Pdx Qdy y P x Q 。 当 D 须分为更多个“标准区域”的情况可以类似证得，不再赘述。 再设 D 是有有限个洞的复连通区域，例如，图 8.8.3 所示的区域。以光滑曲 M N L l 图 8.8.3 y x O A D1 B D2 图 8.8.2 图 8.8.1

线连结其外边界L上的点M和内边界l上的点N,它把D割成一个单连通区域。 沿其边界的正向作积分,利用单连通区域的 Green公式 +odi ∫+b=nh+Qb 当D中有更多个“洞”的情况也可类似证得,不再赘述 证毕 Green公式的一个直接应用,是可以由它导出用曲线积分计算平面区域面积 的关系式。 推论8.8.1设D为一有界平面区域,其边界为分段光滑的闭曲线,则D的 面积为 A=xdy d dy-ydx, 其中OD取正向。 例8.8.1计算椭圆x+=1(a>0,b>0)所围区域的面积 解椭圆L: 1的参数方程为 x=acos e 0≤b<2丌, y=bsin 8 设其定向取逆时针方向。于是, A=lxdy-ydx (abcs 0+absin 0)de b d0= nab 例8.8.2计算曲线积分 y 其中L是圆周x2+y2=4,定向取逆时针方向 解由Gren公式 (4y-x+x+1)dx+(8x-e os)dy (8x-ey)a(4y-√x3+x+1) Cx =‖(8-4)ddy=16丌。 例8.8.3计算e-dxdy,其中D是以OO,0),A(,1),B(O,1)为顶点的 三角形区域(图8.84) 解令P=0,O=xe-)2,则

线连结其外边界 L 上的点 M 和内边界 l 上的点 N ，它把 D 割成一个单连通区域。 沿其边界的正向作积分，利用单连通区域的 Green 公式                                D L M N l NM dxdy Pdx Qdy y P x Q                  L l D Pdx Qdy Pdx Qdy。 当 D 中有更多个“洞”的情况也可类似证得，不再赘述。 证毕 Green 公式的一个直接应用，是可以由它导出用曲线积分计算平面区域面积 的关系式。 推论 8.8.1 设 D 为一有界平面区域，其边界为分段光滑的闭曲线，则 D 的 面积为            D D D A xdy ydx xdy ydx 2 1 ， 其中 D 取正向。 例 8.8.1 计算椭圆 1 2 2 2 2   b y a x （ a  0 ，b  0 ）所围区域的面积。 解 椭圆 L ： 1 2 2 2 2   b y a x 的参数方程为      sin , cos ,   y b x a 0    2 ， 设其定向取逆时针方向。于是，           2 0 2 2 ( cos sin ) 2 1 2 1 A xdy ydx ab ab d L d ab ab       2 2 0 。 例 8.8.2 计算曲线积分 y x x dx x e dy y L (4 1) (8 ) 3 cos       ， 其中 L 是圆周 4 2 2 x  y  ，定向取逆时针方向。 解 由 Green 公式 y x x dx x e dy y L (4 1) (8 ) 3 cos                            4 cos 3 2 2 (8 ) (4 1) x y y dxdy y y x x x x e = (8 4) 16 4 2 2    x y  dxdy 。 例 8.8.3 计算   D y e dxdy 2 ，其中 D 是以 O(0, 0)， A(1,1) ， B(0, 1) 为顶点的 三角形区域（图 8.8.4）。 解 令 P  0， 2 y Q xe   ，则

取∂D的定向逆时针方向,则由 Green公式得 xav= e O 例8.8.4计算第二类曲线积分 图884 ∫e'smy-m)+(2cosy-m 其中L为圆(x-a)2+y2=a2(a>0)的上半圆周部分,方向为从点A2a,0), 到原点O0,0)(图885)。 解为了使用 Green公式以简化运算,作自O至A的有向线段OA,把L与 OA合并就得一条定向为逆时针方向的有向闭曲线, 记其所围区域为D。利用 Green公式可得 (e sin y-mry )dx +(e cos y-m)a (e cos y-m)-(e sin y-mry) dxdy =middy= 图885 再计算沿OA的曲线积分,因为OA的方程为y=0,x:0→2a,所以 ∫esmy-m)k+( (e cos y-m)hy=。0d+0=0 代入前面的式子即得 mza I(e sin y-mmy )dx+(e cos y-m)dy= 例885计算曲线积分/=的二,其中L为一条分段光滑,且不经 过原点的简单闭曲线(即不自交的闭曲线),方向为正向。 解记P= 。当x2+y2≠0时,P,Q及其一阶偏导 数均连续,且 L所围的区域D不包含原点时,由 Green公式知,I=0。 当L所围的区域D包含原点时,取适当小的r>0,使圆周l:x2+y2=r2位 于D内,以逆时针方向作为l的正向。于是,由L和/所围的复连通区域D1不包 含原点。D1的边界是有向闭曲线L∪,其中与l方向相反。由 Green公式

2 y e y P x Q        。 取 D 的定向逆时针方向，则由 Green 公式得       D D y y e dxdy xe dy 2 2 xe dy OA y    2            e xe dx x 1 1 2 1 1 0 2 。 例 8.8.4 计算第二类曲线积分     L x x (e sin y my)dx (e cos y m)dy， 其中 L 为圆 2 2 2 (x  a)  y  a （ a  0 ）的上半圆周部分，方向为从点 A(2a, 0)， 到原点 O(0, 0) （图 8.8.5）。 解 为了使用 Green 公式以简化运算，作自 O 至 A 的有向线段 OA ，把 L 与 OA 合并就得一条定向为逆时针方向的有向闭曲线， 记其所围区域为 D 。利用 Green 公式可得 e y my dx e y m dy x x L O A ( sin  )  ( cos  )                          D x x e y my dxdy y e y m x ( cos ) ( sin )    D m a m dxdy 2 2  。 再计算沿 OA 的曲线积分，因为 OA 的方程为 y  0， x : 0  2a ，所以     O A x x (e sin y my)dx (e cos y m)dy= 0 0 0 2 0    a dx 。 代入前面的式子即得 2 ( sin ) ( cos ) 2 m a e y my dx e y m dy L x x       。 例 8.8.5 计算曲线积分     L x y xdy ydx I 2 2 ，其中 L 为一条分段光滑，且不经 过原点的简单闭曲线（即不自交的闭曲线），方向为正向。 解 记 2 2 x y y P    ， 2 2 x y x Q   。当 0 2 2 x  y  时， P ，Q 及其一阶偏导 数均连续，且 y P x y y x x Q         2 2 2 2 2 ( ) 。 当 L 所围的区域 D 不包含原点时，由 Green 公式知， I  0。 当 L 所围的区域 D 包含原点时，取适当小的 r  0 ，使圆周 l ： 2 2 2 x  y  r 位 于 D 内，以逆时针方向作为 l 的正向。于是，由 L 和 l 所围的复连通区域 D1 不包 含原点。 D1 的边界是有向闭曲线  L l ，其中  l 与 l 方向相反。由 Green 公式， y B A O x 图 8.8.4 x O y A 图 8.8.5

因为l的参数方程为x= rcos t,y=rsnt,所以 xdy-ydx r xdy- ydx 2x rcost.rcost-rsin t(-rsint) coS t+r- t 在这个例子中利用 Green公式来改变积分路径的方法,在下一节还将加以讨 论 Green公式可以看作 Newton- Leibniz公式在二维空间的推广。为说明这一点 设∫在[ab]上具有连续导函数,g=[a,b×[0,1(其图形的四个定点依次记为A, B,C,D,见图886)。利用 Green公式可得 ∫f(x)y=jf(x)y 即得 ∫(x)dx=dJ,f(xk ff(x)dy 图8.86 If(x )dy ∫。)h+∫;f(a)b=f(b)-f(a) 这就是 Newton- Leibniz公式 二. Stokes公式 在 Green公式基础上建立起来的 Stokes公式,揭示了第二类曲面积分与以 该曲面边界曲线为路径的第二类曲线积分之间的内在关系,可视作 Green公式的 个自然推 设∑是具有分段光滑边界的光滑的有向曲面,今按右手规则确定∑的边界 DΣ的定向:即右手的四指按Σ的正向弯曲时,姆指指向Σ的法向。称DΣ的这 个定向为∑的诱导定向 定理8.8.2( Stokes公式)设Σ为光滑的有向曲面,其边界∂Σ为分段光滑 闭曲线。如果三元函数P,Q,R在Σ及其边界上具有连续一阶偏导数,则 「Pdx+Qh+R dyd=+ d=dx+og dxdy

0 2 2               x y xdy ydx L l ， 即          L l x y xdy ydx x y xdy ydx 2 2 2 2     l x y xdy ydx 2 2 。 因为 l 的参数方程为 x  r cost ， y  rsin t ，所以        L l x y xdy ydx x y xdy ydx 2 2 2 2 dt r t r t r t r t r t r t       2 0 2 2 2 2 cos sin cos cos sin ( sin )   2 2 0    dt 。 在这个例子中利用 Green 公式来改变积分路径的方法，在下一节还将加以讨 论。 Green 公式可以看作 Newton-Leibniz 公式在二维空间的推广。为说明这一点， 设 f 在 [a,b] 上具有连续导函数，   [a, b][0,1] （其图形的四个定点依次记为 A ， B ，C ， D ，见图 8.8.6）。利用 Green 公式可得     f (x)dxdy  f (x)dy， 即得       b a b a f (x)dx dy f (x)dx 1 0 f x dy AB BC CD DA ( )                 f x dy BC DA ( )                0 1 1 0 f (b)dy f (a)dy  f (b)  f (a) 。 这就是 Newton-Leibniz 公式。 二．Stokes 公式 在 Green 公式基础上建立起来的 Stokes 公式，揭示了第二类曲面积分与以 该曲面边界曲线为路径的第二类曲线积分之间的内在关系，可视作 Green 公式的 一个自然推广。 设  是具有分段光滑边界的光滑的有向曲面，今按右手规则确定  的边界  的定向：即右手的四指按  的正向弯曲时，姆指指向  的法向。称  的这 个定向为  的诱导定向。 定理 8.8.2 (Stokes 公式) 设  为光滑的有向曲面，其边界  为分段光滑 闭曲线。如果三元函数 P ，Q， R 在  及其边界上具有连续一阶偏导数，则   Pdx  Qdy  Rdz                                           dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R y O x D C A B 图 8.8.6