AEBF只需将DE平移到BC边上去，使得BF一DE，再证明C-C就可以了（图33.2-5).只要过点E作EF/AB，交BC于点F，BF就是平移DE所得的线段先证明两个三角形的角分别相等如图33.2-5，在△ADE与△ABC中，A=ZA.: DE//BC..: ZADE=/B, ZAED=C.再证明两个三角形的边成比例过点E作EF/AB，交BC于点F.DE//BC.EF//AB..AD AE BFAEABACBCAC:.RF四边形DBFE是平行四边形:.DE-BF.图33.2-5DE_AE:BCAC.ADAEDEABACBC这样，我们证明了△ADE和△ABC的角分别相等，边成比例，所以△ADES△ABC.因此，我们有如下判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似练习1.如图，AB//CD/EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1.DF5BC*CE长的值。（第2题）(第1题）2.如图，在△ABC中，DE//BC，且AD=3，DB=2.写出图中的相似三角形，并指出其相似比第三十三章相似9
!"#"$%&' 只需将犇犈平移到犅犆边上去，使得犅犉＝犇犈，再证明犃犈 犃犆＝犅犉 犅犆就可以了 （图 ３３．２５）．只要过点犈作犈犉∥犃犅，交犅犆于点犉，犅犉就是平移犇犈所得的线段． 先证明两个三角形的角分别相等． 如图３３．２５，在△犃犇犈与△犃犅犆中，∠犃＝∠犃． ∵ 犇犈∥犅犆， ∴ ∠犃犇犈＝∠犅，∠犃犈犇＝∠犆． 再证明两个三角形的边成比例． A D E B F C 图３３．２５ 过点犈作犈犉∥犃犅，交犅犆于点犉． ∵ 犇犈∥犅犆，犈犉∥犃犅， ∴ 犃犇 犃犅＝犃犈 犃犆，犅犉 犅犆＝犃犈 犃犆． ∵ 四边形犇犅犉犈是平行四边形， ∴ 犇犈＝犅犉． ∴ 犇犈 犅犆＝犃犈 犃犆． ∴ 犃犇 犃犅＝犃犈 犃犆＝犇犈 犅犆． 这样，我们证明了△犃犇犈 和△犃犅犆 的角分别相等，边成比例，所以 △犃犇犈∽△犃犅犆．因此，我们有如下判定三角形相似的定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． A B E F C D G （第１题） A B C D E （第２题） １．如图，犃犅∥犆犇∥犈犉，犃犉与犅犈 相交于点犌，且犃犌＝２，犌犇＝１，犇犉＝５， 求犅犆 犆犈的值． ２．如图，在△犃犅犆中，犇犈∥犅犆，且犃犇＝３，犇犅＝２．写出图中的相似三角形， 并指出其相似比． ９
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？探究任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k倍，度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。可以发现，这两个三角形相似，我们可以利用上面的定理进行证明ABBCAC如图33.2-6，在△ABC和△A"B'C中，A=BC=AC，求证AABCSAA'B'C"BB"图33.2-6*证明：在线段A'B（或它的延长线）上截取AD=AB，过点D作DE/B'C'，交A'C'于点E.根据前面的定理，可得△A'DES△A'B'CA'DDEA'E.ACA'B'B'C△A'DE是证明ABBCAC又A'D-AB,-BC=AC，的中介，它把△ABCA'B"与ABC联系起来DEBCA'EAC.AC-ACB'C"-B'C，:.DE-BC,A'E-AC..AA'DE△ABC...AABCSAA'B'C'*相似三角形判定定理的证明都是选学内容10第三十三章相似
!"#"$%&' 类似于判定三角形全等的ＳＳＳ方法，我们能不能通过三边来判定两个三 角形相似呢？ 任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形 各边长的犽倍．度量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形 相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论． 可以发现，这两个三角形相似．我们可以利用上面的定理进行证明． 如图３３．２６，在△犃犅犆 和△犃′犅′犆′中， 犃犅 犃′犅′＝ 犅犆 犅′犆′＝ 犃犆 犃′犆′，求证 △犃犅犆∽△犃′犅′犆′． A B C D E C A B 图３３．２６ 证明：在线段犃′犅′（或它的延长线）上截取犃′犇＝犃犅，过点犇 作犇犈∥ 犅′犆′，交犃′犆′于点犈．根据前面的定理，可得△犃′犇犈∽△犃′犅′犆′． △犃′犇犈 是证明 的中介，它把△犃犅犆 与△犃′犅′犆′联系起来． ∴ 犃′犇 犃′犅′＝犇犈 犅′犆′＝犃′犈 犃′犆′． 又 犃犅 犃′犅′＝犅犆 犅′犆′＝犃犆 犃′犆′，犃′犇＝犃犅， ∴ 犇犈 犅′犆′＝犅犆 犅′犆′，犃′犈 犃′犆′＝犃犆 犃′犆′． ∴ 犇犈＝犅犆，犃′犈＝犃犆． ∴ △犃′犇犈≌△犃犅犆． ∴ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′． ０１ 相似三角形判定定理的证明都是选学内容．
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理（图33.2-7）：ABBCACA'B"-B'C-A'CBVB图33.2-7AABCS△A'B'C'三边成比例的两个三角形相似类似于判定三角形全等的SAS方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形相似呢？事实上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理（图33.2-8)：44NABACAB=AC,ZA=LA"BVRAABCSAA'B'C'图33.2-8两边成比例且夹角相等的两个三角形相似怎样证明这个定理呢？它的证明思路与证明前面定理的思路类似，先用同样的方法作一个与△A'B'C'相似的三角形，再用相似三角形对应边成比例和已知条件证明所作三角形与△ABC全等.思考ABAC对于△ABC 和△A"BC，如果一AC，ZB=ZB，这两个三角形一定相似吗？试着画画看例1根据下列条件，判断△ABC与△A'BC是否相似，并说明理由：(1)AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,A'B'=12cm,B'C=18cm,A'C'=24cm;(2)/A=120°AB=7cm，AC=14cm,第三十三章相似11
!"#"$%&' 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理 （图３３．２７）： A B C C A B 图３３．２７ 犃犅 犃′犅′＝犅犆 犅′犆′＝犃犆 犃′犆′ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′ 三边成比例的两个三角形相似． 类似于判定三角形全等的ＳＡＳ方法，能不能通过两边和夹角来判定两个三角形 相似呢？事实上，我们有利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理 （图３３．２８）： A B C C A B 图３３．２８ 犃犅 犃′犅′＝犃犆 犃′犆′，∠犃＝∠犃′ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 怎样证明这个定理呢？它的证明思路与证明前面定理的思路类似．先用同 样的方法作一个与△犃′犅′犆′相似的三角形，再用相似三角形对应边成比例和 已知条件证明所作三角形与△犃犅犆全等． 对于△犃犅犆和△犃′犅′犆′，如果犃犅 犃′犅′＝犃犆 犃′犆′，∠犅＝∠犅′，这两个三角形 一定相似吗？试着画画看． 例１ 根据下列条件，判断△犃犅犆与△犃′犅′犆′是否相似，并说明理由： （１）犃犅＝４ｃｍ，犅犆＝６ｃｍ，犃犆＝８ｃｍ， 犃′犅′＝１２ｃｍ，犅′犆′＝１８ｃｍ，犃′犆′＝２４ｃｍ； （２）∠Ａ＝１２０°，犃犅＝７ｃｍ，犃犆＝１４ｃｍ， １１
/A'-120°A'B'=3cm,A'c'=6cmAB4_1解：（1)：这两个三角形AB=12-3'的相似比是多少？BC61BC=18=3AC_8_1AC-24=3'ABBCAC:-ACA'B'B'C"-.AABCSAA'B'C":.AB7AC147(2)6=3'A'B3'ACABAC..ACAB又 A=ZA',AABCSAA'B'C'.练习1.根据下列条件，判断△ABC与△A'B'C是否相似，并说明理由：(1)/A=40°AB=8 cm,AC=15cm,ZA'=40°AB-16cm,AC-30cm;(2)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm,AB'=16 cm,B'C'-12.8 cm,A'C'=25.6 cm.2.图中的两个三角形是否相似？为什么？B362720S5436E302545D(1)(2)（第2题）3要制作两个形状相同的三角形框架其中一个三角形框架的三边长分别为4cm，5cm和6cm，另一个三角形框架的一边长为2cm，它的另外两条边长应当是多少？你有几种制作方案？12第三十三章相似
!"#"$%&' ∠犃′＝１２０°，犃′犅′＝３ｃｍ，犃′犆′＝６ｃｍ． 这两个三角形 的相似比是多少？ 解：（１）∵ 犃犅 犃′犅′＝４ １２＝１ ３， 犅犆 犅′犆′＝６ １８＝１ ３， 犃犆 犃′犆′＝８ ２４＝１ ３， ∴ 犃犅 犃′犅′＝犅犆 犅′犆′＝犃犆 犃′犆′． ∴ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′． （２）∵ 犃犅 犃′犅′＝７ ３，犃犆 犃′犆′＝１４ ６＝７ ３， ∴ 犃犅 犃′犅′＝犃犆 犃′犆′． 又 ∠犃＝∠犃′， ∴ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′． B 54 A C E D 45 36 30 45 27 36 20 25 15 （１） （２） （第２题） １．根据下列条件，判断△犃犅犆与△犃′犅′犆′是否相似，并说明理由： （１）∠犃＝４０°，犃犅＝８ｃｍ，犃犆＝１５ｃｍ， ∠犃′＝４０°，犃′犅′＝１６ｃｍ，犃′犆′＝３０ｃｍ； （２）犃犅＝１０ｃｍ，犅犆＝８ｃｍ，犃犆＝１６ｃｍ， 犃′犅′＝１６ｃｍ，犅′犆′＝１２．８ｃｍ，犃′犆′＝２５．６ｃｍ． ２．图中的两个三角形是否相似？为什么？ ３．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为 ４ｃｍ，５ｃｍ和６ｃｍ，另一个三角形框架的一边长为２ｃｍ，它的另外两条边长 应当是多少？你有几种制作方案？ ２１
观察两副三角尺（图33.2-9），其中有同样两个锐角（30°与60°，或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的图33.2-9般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理（图33.2-10）：1ZA=/A',/B=/BV△ABCSAA'B'C'RL图33.2-10两角分别相等的两个三角形相似这个定理的证明方法与前面两个定理的证明方法类似。试一试，如何完成证明.例2如图33.2-11，Rt△ABC中，/C=90，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，EDIAB，垂足为D.求AD的长解：：EDIAB,..ZEDA=90°又 ZC=90°，ZA=ZA,:△AEDS△ABC.DAD_AE：ACAB图 33.2-11AC·AE_8X5ADAAB10由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似第三十三章相似13
!"#"$%&' 观察两副三角尺 （图３３．２９），其中有同样两个锐角 （３０°与６０°，或４５° 与４５°）的两个三角尺大小可能不同，但它们看起来是相似的． 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 图３３．２９ 一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理 （图３３．２１０）： A B C C A B 图３３．２１０ ∠犃＝∠犃′，∠犅＝∠犅′ △犃犅犆∽△犃′犅′犆′ 两角分别相等的两个三角形相似． 这个定理的证明方法与前面两个定理的证明方法类似．试一试，如何完成 证明． 例２ 如图３３．２１１，Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅＝１０，犃犆＝８．犈 是 犃犆上一点，犃犈＝５，犈犇⊥犃犅，垂足为犇．求犃犇 的长． A B C D E 图３３．２１１ 解：∵ 犈犇⊥犃犅， ∴ ∠犈犇犃＝９０°． 又 ∠犆＝９０°，∠犃＝∠犃， ∴ △犃犈犇∽△犃犅犆． ∴ 犃犇 犃犆＝犃犈 犃犅． ∴ 犃犇＝犃犆·犃犈 犃犅 ＝８×５ １０ ＝４． 由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两 组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似． ３１