下面我们研究特殊的相似图形一一相似多边形，两个边数相同的多边形，如果它们的角分别对于四条线段a,相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多b，c，d，如果其中两边形（similarpolygons）.相似多边形对应边的比条线段的比（即它们长叫做相似比（similarityratio）.度的比）与另两条线段例如，图33.1-4中的两个大小不同的四边形C的比相等，如兴=6-dABCD和四边形A,B,CD中，（即ad=bc），我们就说/A=ZAZB=/BZC=/CL这四条线段成比例./D =/D1,ABBCCDDAA,BB,C-CiDDiA,两个大小不同因此四边形ABCD与四边形A,B,CD,相似的正方形相似吗？D为什么？4Bi图33.1-4由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例，例如图33.1-5，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度HYD118°D212418278°832coF图 33. 1-5解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应角相等，由此可得α=ZC=83°ZA=/E=118°在四边形ABCD中，β=360-(78°+83+118)=81°因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得4第三十三章相似
!"#"$%&' 对于四条线段犪， 犫，犮，犱，如果其中两 条线段的比 （即它们长 度的比）与另两条线段 的比相等，如犪 犫＝犮 犱 （即犪犱＝犫犮），我们就说 这四条线段成比例． 下面我们研究特殊的相似图形———相似多边 形．两个边数相同的多边形，如果它们的角分别 相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多 边形 （ｓｉｍｉｌａｒｐｏｌｙｇｏｎｓ）．相似多边形对应边的比 叫做相似比 （ｓｉｍｉｌａｒｉｔｙｒａｔｉｏ）． 例如，图３３．１４中的两个大小不同的四边形 犃犅犆犇 和四边形犃１犅１犆１犇１中， ∠犃 ＝ ∠犃１，∠犅 ＝ ∠犅１，∠犆 ＝ ∠犆１， ∠犇 ＝∠犇１， 两个大小不同 的正方形相似吗？ 为什么？ 犃犅 犃１犅１ ＝ 犅犆 犅１犆１ ＝犆犇 犆１犇１ ＝ 犇犃 犇１犃１ ， 因此四边形犃犅犆犇 与四边形犃１犅１犆１犇１相似． A B C D A1 B1 C1 D1 图３３．１４ 由相似多边形的定义可知，相似多边形的对应角相等，对应边成比例． 例 如图３３．１５，四边形犃犅犆犇 和犈犉犌犎 相似，求角α，β的大小和 犈犎 的长度狓． A B C 18 21 78e 83e β D H α 24 E F G 118e x 图３３．１５ 解：因为四边形犃犅犆犇和犈犉犌犎 相似，所以它们的对应角相等，由此可得 α＝∠犆＝８３°，∠犃＝∠犈＝１１８°． 在四边形犃犅犆犇 中， β＝３６０°－（７８°＋８３°＋１１８°）＝８１°． 因为四边形犃犅犆犇 和犈犉犌犎 相似，所以它们的对应边成比例，由此可得 ４
EHEF24即元一1ABAD解得r=28.练习1.在比例尺为1：10000000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30cm，求两地的实际距离。2.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？10107.5（第2题）（第3题）3.如图所示的两个五边形相似，求a，b，c，d的值。习题33.1复习巩固1.两地的实际距离是2000m，在地图上量得这两地的距离为2cm，这幅地图的比例尺是多少？2：任意两个矩形相似吗？为什么？23.如图，△ABC与△DEF相似，求工，的值B8综合运用（第3题）4.如图，试着在方格纸中画出与原图形相似的图形你用的是什么方法？与同学交流一下（第4题）5第三十三章相似
!"#"$%&' 犈犎 犃犇＝犈犉 犃犅，即狓 ２１＝２４ １８． 解得 狓＝２８． １．在比例尺为１∶１０００００００的地图上，量得甲、乙两地的距离是３０ｃｍ，求两地 的实际距离． ２．如图所示的两个三角形相似吗？为什么？ 10 10 5 5 3 c d 5 2 b a 6 9 7.5 （第２题） （第３题） ３．如图所示的两个五边形相似，求犪，犫，犮，犱的值． 习题３３．１ A y 7 B C 12 8 x F E 4 D （第３题） １．两地的实际距离是２０００ｍ，在地图上量得这两地的 距离为２ｃｍ，这幅地图的比例尺是多少？ ２．任意两个矩形相似吗？为什么？ ３．如图，△犃犅犆与△犇犈犉相似，求狓，狔的值． ４．如图，试着在方格纸中画出与原图形相似的图形． 你用的是什么方法？与同学交流一下． （第４题） ５
ADAEDE5.如图，DE//BC，(1)*AB的值；（2）证明△ADE与△ABC相似AC,BCA2.52DB9（第6题）（第5题）6.如图，矩形草坪长30m、宽20m沿草坪四周有1m宽的环行小路，小路内外边缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由，7.如果两个多边形仅有角分别相等，它们相似吗？如果仅有边成比例呢？若不一定相似，请举出反例.拓广探索8.如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸如此再对折下去，得到的矩形都相似吗？（第8题）R人版6第三十三章相似
书 !"#"$%&' ５．如图，犇犈∥犅犆，（１）求犃犇 犃犅，犃犈 犃犆，犇犈 犅犆 的值；（２）证明△犃犇犈与△犃犅犆相似． A B C 9 D E 5 2 2.5 3 4 （第５题） （第６题） ６．如图，矩形草坪长３０ｍ、宽２０ｍ．沿草坪四周有１ｍ宽的环行小路，小路内外边 缘形成的两个矩形相似吗？说出你的理由． ７．如果两个多边形仅有角分别相等，它们相似吗？如果仅有边成比例呢？若不一定 相似，请举出反例． ８．如图，将一张矩形纸片沿较长边的中点对折，如果得到的两个矩形都和原来的矩 形相似，那么原来矩形的长宽比是多少？将这张纸如此再对折下去，得到的矩形 都相似吗？ （第８题） ６
33.2相似三角形33.2.1相似三角形的判定在相似多边形中，最简单的就是相似三角形（similartriangles）.如图33.2-1，在ABC和A'B'C中，如果图33.2-1ZA=ZA',ZB=/B',ZC=/C',如果k=1，这AB_BCAC两个三角形有怎样AB=BC=AC=k,的关系？即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说△ABC与△A'B'C相似，相似比为k.相似用符号“”表示，读作“相似于”△ABC与△A'B'C'相似记作“AABCAA'B'C'”△A'B'C' 与△ABC判定两个三角形全等时，除了可以验证它们的相似比为亡所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判k定方法（SSS，SAS，ASA，AAS).类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？我们先来探究下面的问题探究2如图33.2-2，任意画两条直线11，12，再画13三条与11，12都相交的平行线13，14，15.分别度AD14B量l3，14，l，在l上截得的两条线段AB，BC和ABF-1sC与在12上截得的两条线段DE，EF的长度，BC图33.2-2DEABLDE器相等吗？ 任意平移 1，还相等吗？与EFBC7第三十三章相似
!"#"$%&' ３３．２ 相似三角形 C A B B C A 图３３．２１ ３３．２．１ 相似三角形的判定 在相似多边形中，最简单的就是相似三 角 形 （ｓｉｍｉｌａｒｔｒｉａｎｇｌｅｓ）．如 图 ３３．２１，在 △犃犅犆和△犃′犅′犆′中，如果 如果犽＝１，这 两个三角形有怎样 的关系？ ∠犃＝∠犃′，∠犅＝∠犅′，∠犆＝∠犆′， 犃犅 犃′犅′＝犅犆 犅′犆′＝犃犆 犃′犆′＝犽， △犃′犅′犆′与△犃犅犆 的相似比为１ 犽． 即三个角分别相等，三条边成比例，我们就说 △犃犅犆与△犃′犅′犆′相似，相似比为犽．相似用符 号 “∽”表 示，读 作 “相 似 于”．△犃犅犆 与 △犃′犅′犆′相似记作 “△犃犅犆∽△犃′犅′犆′”． 判定两个三角形全等时，除了可以验证它们 所有的角和边分别相等外，还可以使用简便的判 定方法 （ＳＳＳ，ＳＡＳ，ＡＳＡ，ＡＡＳ）．类似地，判 定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定 方法呢？我们先来探究下面的问题． A B E C F D l1 l2 l3 l4 l5 图３３．２２ 如图３３．２２，任意画两条直线犾１，犾２，再画 三条与犾１，犾２都相交的平行线犾３，犾４，犾５．分别度 量犾３，犾４，犾５在犾１上截得的两条线段犃犅，犅犆和 在犾２ 上截得的两条线段犇犈，犈犉 的长度，犃犅 犅犆与 犇犈 犈犉相等吗？任意平移犾５，犃犅 犅犆与犇犈 犈犉还相等吗？ ７
ABDEBCEFABDE可以发现，当13//14// 1s时，有BCDFEF'ABDE'ACBC_EF等.AC-DF等一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况（图33.2-3)DBB(1)(2)图33.2-3在图33.2-3（1）中，把l4看成平行于△ABC的边BC的直线；在图33.2-3（2）中，把l3看成平行于△ABC的边BC的直线，那么我们可以得到结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.思考如图33.2-4，在△ABC中，DE/BC，且DE分别交AB，AC于点D，E，△ADE与△ABC有什么关系？图 33. 2-4直觉告诉我们，△ADE与△ABC相似，我们通过相似的定义证明它，即证明ADAEDE/A=/A./ADE=/B./AED=/C.由前面的结论可得，ABACBCAD AEDE中的DE不在△ABC的边BC上，不能直接利用前面的结论，但而BCABAC.AEDE从要证的可以看出，除DE外，AE，AC，BC都在AABC的边上，因此AC8第三十三章相似
!"#"$%&' 可以发现，当犾３ ∥犾４ ∥犾５ 时，有犃犅 犅犆＝犇犈 犈犉，犅犆 犃犅＝犈犉 犇犈，犃犅 犃犆＝犇犈 犇犉， 犅犆 犃犆＝犈犉 犇犉等． 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，会出现下面两种情况 （图３３．２３）． A B E C D l1 l2 l3 l4 l5 A B E C D l1 l2 l3 l4 l5 （１） （２） 图３３．２３ 在图３３．２３（１）中，把犾４看成平行于△犃犅犆的边犅犆的直线；在图３３．２３ （２）中，把犾３看成平行于△犃犅犆的边犅犆的直线，那么我们可以得到结论： 平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边的延长线），所得的对应线 段成比例． A D E B C 图３３．２４ 如图 ３３．２４，在 △犃犅犆 中，犇犈 ∥犅犆，且 犇犈 分 别 交 犃犅，犃犆 于 点 犇，犈，△犃犇犈 与 △犃犅犆有什么关系？ 直觉告诉我们，△犃犇犈与△犃犅犆相似，我们通过相似的定义证明它，即证明 ∠犃＝∠犃，∠犃犇犈＝∠犅，∠犃犈犇＝∠犆，犃犇 犃犅＝犃犈 犃犆＝犇犈 犅犆．由前面的结论可得， 犃犇 犃犅＝犃犈 犃犆．而犇犈 犅犆中的犇犈不在△犃犅犆的边犅犆上，不能直接利用前面的结论．但 从要证的犃犈 犃犆＝犇犈 犅犆可以看出，除犇犈外，犃犈，犃犆，犅犆都在△犃犅犆的边上，因此 ８