S8-4磁场的高斯定理和安培环路定理一、磁场的高斯定理(Gausstheorem ofmagnetic field)根据毕奥-萨伐尔定律，电流元的磁场以其为轴对称分布，垂直于电流元的平面内的磁感线是头尾相接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零由叠加原理，整个电流回路的磁Idl场中任意闭合曲面的磁通量必定都等于零，这就是磁场的高斯定理BF,B:ds =0
1 §8-4 磁场的高斯定理和安培环路定理 一、磁场的高斯定理(Gauss’theorem of magnetic field) 根据毕奥-萨伐尔定律，电流元的磁场以其为轴对 称分布，垂直于电流元的平面内的磁感线是头尾相 接的闭合同心圆，穿入或穿出闭合曲面的磁感应线 的净条数必等于零，任意闭合曲面的都为零。 由叠加原理，整个电流回路的磁 场中任意闭合曲面的磁通量必定都 等于零，这就是磁场的高斯定理。 S B dS = 0 B Idl
一、安培环路定理(Ampere's circulation theorem)1.安培环路定理的表述恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路的积分等于此环路所包围的电流代数和的μ.倍f,B.di = μoZI表达式n+1符号规定：若穿过回路L的电n+k流方向与L的环绕方向服从右手关系，则I为正，否则为负。不穿过回路边界所围面积的电流不计在内
2 二、安培环路定理(Ampere’s circulation theorem) 1. 安培环路定理的表述： 恒定电流磁场中，磁感应强度沿任意闭合环路 的积分等于此环路所包围的电流代数和的 0倍。 表达式 = i i L B l I d 0 符号规定：若穿过回路L的电 流方向与L的环绕方向服从右手 关系，则I为正，否则为负。 不穿过回路边界所围面积的电流不计在内。 1 I i I n+1 I n k I + 2 I
2.安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路LB.di = Brdp1NdodBf B-ar-1 do-o51在围绕单根载流导线的dl垂直平面内的任一回路：LdB7B.dl = Brdpdpf.B-ar-1.r-rdp = μol. y
3 2. 安培环路定理的证明：无限长直电流的磁场 在围绕单根载流导线的 垂直平面内的任一回路： 在围绕单根载流导线的垂直平面内的圆回路： I L B d d Bdl = Brd r I r I B l L L 0 0 d 2π d = = I L B d Bdl = Brd r I r I B l L L 0 0 d 2π d = = d l d r
闭合路径L不包围电流，在垂直平面内的任一回路1f, B.dI = J, B. di + [, B. dlOLMolL[β+(-β)]= 02元L2围绕单根载流导线的任一回路L：对L，每个线元dl以过垂直导线平面作参考，分解为分量dl,和垂直于该平面的分量dl，有B.dl=dli·B=0(df, B.di = f. B.dln: f, B. d/ = f,B. dl, = μol证明步骤同上
4 I L1 L2 闭合路径L不包围电流 ，在垂直平面内的任一回路： = + 1 2 d d d L L L B l B l B l [ ( )] 0 2π 0 = + − = I 围绕单根载流导线的任一回路 L： 对L，每个线元 以过垂直导线平面作参考，分 解为分量 和垂直于该平面的分量 ，有 l d d // l l ⊥ d ⊥ ⊥ = + L L L B l B l B l d d d // // d = 0 l ⊥ B B l B l I L L // 0 // d = d = 证明步骤同上
围绕多根载流导线的任一回路L：设I,I,,...,I,电流过回路,In+1,In+2,··,In+k电流不穿过回路L。令 B,B,,..,B,+ 分别为单根导线产生的磁场，则有f, B, - d/ = μol, .... f Br+ d/ = 0所有电流的总场f, B, dl = μgin., f, B.k - di = o穿过回路f, B.di = μoZl的电流JL任意回路
5 围绕多根载流导线的任一回路 L： n I ,I , ,I 1 2 n n n k I I I + + + , , , 设 电流过回路， 1 2 电流不穿过回路L。令 分别为单根 导线产生的磁场，则有 B B Bn+k , , , 1 2 d , , 1 0 1 = B l I L d , , 0 = n L n B l I 1 d = 0 + L n B l d = 0 + L n k B l = i i L B l I d 0 所有电流的总场 穿过回路 的电流 任意回路