很大的气瓶相连，气瓶内压力保持在定压P，并和大气压非常接近。将活门打开，让氢气缓慢地、绝热地流入气瓶内，直到活门两边的压力相等为止，试证：n,ni)hu,=(1-u,-n.n,其中n，是留在金属容器内的氨的摩尔数，u,是金属容器内1摩尔氢的初始内能，u，是它的最后内能，h是气瓶内1摩尔氢的恰。15，1摩尔范德瓦尔斯气体的内能为u=cT-α/V（a,c为常数），计算C,和CpR（答案：C=C：Cp=c+1_ 2a(V-b)2RTV316，对理想顺磁体，试求其比热差C-CM，其中C.和CM为磁场强度不变和磁化强度不变的比热（答案：Cn-CM=H'ocH_HoM?_HoMHT2Tc17，假设地球的大气没有对流、风等因素的影响，也无重力变化，而且是完全绝热的气体，证明大气的温度随高度线性减小。（提示：考虑截面为A，在z-z+dz之间的空气圆柱体受到的上方和下方的压力和气体的重力三个力之间的平衡，如图：）12p(z+dz) *Az+dzP(z)gAdz(重力）AP(2)AdT(-)y-1mg<0）（答案：dznRy18，单原子固体的物态方程是：pV+G=yU，U为内能，G只是V的函数，则是一个常数证明：αV1CyK式中α是等压膨胀系数，K为等温压缩系数。19，处于0C的理想气体，绝热膨胀到原来体积的10倍，计算气体温度的变化。(答案：△T=(10--1)×273.15K)20，理想气体经历下列循环过程：V(a）经一个多方过程pV"=C由体积V，变到V3（b为常数），b（b）体积不变，冷却到原来的温度（c）等温膨胀到原来的体积。试证明在循环过程中，气体所作的功与压缩过程中所作的功之比为：1- (n-1i)in bb n-l 121，证明：当为常数时，一个理想气体在某一过程中的热容量若是常数，则此过程是多方过程。6
6 很大的气瓶相连，气瓶内压力保持在定压 P0 ，并和大气压非常接近。将活门打开，让氦气缓 慢地、绝热地流入气瓶内，直到活门两边的压力相等为止，试证： u n n u n n i h f i f f i − = (1− ) 其中 n f 是留在金属容器内的氦的摩尔数， ui 是金属容器内1摩尔氦的初始内能, u f 是它的最 后内能， h 是气瓶内1摩尔氦的焓。 15， 1摩尔范德瓦尔斯气体的内能为 u = cT − a /V （ a,c 为常数），计算 Cv 和 CP . （答案： C c v = ； ( ) 3 2 2 1 RTV a V b R C c P − − = + ） 16， 对理想顺磁体，试求其比热差 CH − CM ，其中 CH 和 CM 为磁场强度不变和磁化强度不变的 比热. （答案： T MH c M T cH CH CM 0 2 0 2 2 0 − = = = ） 17， 假设地球的大气没有对流、风等因素的影响，也无重力变化，而且是完全绝热的气体，证明 大气的温度随高度线性减小。 （提示：考虑截面为A，在z→z+dz之间的空气圆柱体受到的上方和下方的压力和气体的重力三 个力之间的平衡，如图：） （答案： ( ) nR mg dz dT z −1 = − <0 ） 18， 单原子固体的物态方程是： pV + G = U ，U 为内能， G 只是 V 的函数， 则是一个常数， 证明： CV V = ， 式中 是等压膨胀系数， 为等温压缩系数。 19， 处于 C 0 0 的理想气体，绝热膨胀到原来体积的10倍，计算气体温度的变化。 （答案： T (10 1) 273.15K 1 = − − ） 20， 理想气体经历下列循环过程： （a）经一个多方过程 pV C n = 由体积 V2 变到 b V V 2 1 = （ b 为常数）， （b）体积不变，冷却到原来的温度， （c） 等温膨胀到原来的体积。 试证明在循环过程中，气体所作的功与压缩过程中所作的功之比为： ( ) 1 1 ln 1 1 − − − n− b n b 。 21， 证明：当 为常数时，一个理想气体在某一过程中的热容量若是常数，则此过程是多方过程
Op22.，声音在气体中传播的速度为Cp为气体的密度，设气体的分子量为M，证明1摩p尔气体的内能和焰为：MC2MC?h=u=>-1y(y-1)假设气体可以作为理想气体。23，有一热泵在温度为T的物体和温度为To的热源间工作，热泵消耗功率为W，物体每秒散热为α(T-T.)，求平衡温度（α为常数）。W(4αT1+（答案：平衡温度T=T。+/1+2αlWV24，试用卡诺循环方法证明黑体辐射能量密度UαT4。（提示：用微卡诺循环）第三章热力学第二定律1，把盛有1mole理想气体的容器等分成100个小格，如果分子在容器中任何一个区域内的概率都相等。试计算所有分子都跑进一个小格中的概率。并由此说明自由膨胀过程的不可逆性。（答案：P%=10-12x102）auop(g),-[(%)-1]=TI2，利用关系式-p，证明焦一汤系数μ=op(av)r(aT)3，1mole范德瓦尔斯气体，体积从V等温膨胀到V，，求其内能的变化。(11（答案：△U=α)4，一理想气体的表示为：n(UVS=la+5Rng+2Rn-2Lnn式中n为摩尔数，a为常数，R为气体常数，U为内能，V为体积。（a）计算其定容热容量C,和定压热容量C,：（b）如果有一间漏风的屋子，开始的温度与屋外平衡，为0℃℃，生炉子后3小时达到21°℃，假定屋内空气满足上述方程，求屋内气体的内能变化和的变化。5InE7二nR:C=nR,(b)AU=0,AS=n（n为0时的摩（答案：（a)Cy=pT"T22尔数）Q5，1mole某气体的物态方程为：pV=RT-，其摩尔比热Cy为常数，求该气体的摩尔内能u，V(答案；u(T, V)=c,T-只+uo)V6，从范德瓦尔斯方程（nmole）和定容热容量Cy导出气体的下列热力学函数的表达式：[dT + nRn(V-nb)+ So(a)摘：S(T,V)=T7
7 22.，声音在气体中传播的速度为 C P = S ( ) , 为气体的密度，设气体的分子量为M，证明1摩 尔气体的内能和焓为： u MC = − 2 ( 1) ， h MC = − 2 1 假设气体可以作为理想气体。 23，有一热泵在温度为T的物体和温度为T0的热源间工作，热泵消耗功率为W，物体每秒散热为 ( ) T −T0 ，求平衡温度（ 为常数）。 （答案：平衡温度 = + + + W W T T e T 0 0 4 1 1 2 ） 24，试用卡诺循环方法证明黑体辐射能量密度 4 U T 。（提示：用微卡诺循环） 第三章 热力学第二定律 1，把盛有 1mole 理想气体的容器等分成100个小格，如果分子在容器中任何一个区域内的概率都 相等。试计算所有分子都跑进一个小格中的概率。并由此说明自由膨胀过程的不可逆性。 （答案： 23 12 10 10− PN = ） 2，利用关系式 p T p T V U T V − = ，证明焦—汤系数 − = = V T V T p C T H p p 1 。 3，1mole 范德瓦尔斯气体，体积从 V1 等温膨胀到 V2 ，求其内能的变化。 （答案： = − 1 2 1 1 V V U a ） 4，一理想气体的熵表示为： = + + n V R n U a R n S 5 ln 2 ln 2 ， 式中 n 为摩尔数， a 为常数， R 为气体常数， U 为内能， V 为体积。 （a）计算其定容热容量 CV 和定压热容量 C p ； （b）如果有一间漏风的屋子，开始的温度与屋外平衡，为 C 0 0 ，生炉子后3小时达到 C 0 21 ，假 定屋内空气满足上述熵方程，求屋内气体的内能变化和熵的变化。 （答案：（a） CV nR 2 5 = ； Cp nR 2 7 = ，（b） U = 0， 1 2 2 1 ln T T T T S = ni （ i n 为 C 0 0 时的摩 尔数） 5，1mole 某气体的物态方程为： V a pV = RT − ，其摩尔比热 V c 为常数，求该气体的摩尔内能 u . (答案： ( ) u0 V a u T，V = cV T − + ) 6，从范德瓦尔斯方程（n mole）和定容热容量 CV 导出气体的下列热力学函数的表达式： （a）熵： ( ) ( ) 0 0 dT nRln V nb S T C S T V T T V = + − + ，
nadTa-nRT In(V-nb)+F(b）自由能：F(T，V)=U-TS=[Cv|1VT'T.（c）吉布斯函数：aT'+ nRTV_2n'aTa-nRT In(V -nb)+GoG(T, V)= F+ pV = [Cu)-nb-v2TTo7，4mole理想气体从体积V膨胀到V，=2V，（a）假定膨胀是在T=400K等温下进行的，求气体膨胀所作的功：（b）求气体摘的变化；（c）假定气体经可逆绝热膨胀从（T，V）到达V，，求气体所作的功和摘的变化，设=1.4。（答案：（a）W=9.22x103J：（b）△S=23.04J/K：（c）W=8.05x103J：4S=0）8，一个质量有限的物体，初始温度为T，热源温度为T，且T>T。今有一热机在物体和热源之间进行无限小的循环操作，直到把物体的温度从T降到，为止，若热机从物体吸收的热量为Q，试根据摘增原理证明此热机所能作的最大功为：Wmx=Q-T,(S,-S,)，其中S,-S,是物体的摘的减小量。9，试证明在焦耳一汤姆孙实验中，理想气体的煽增量为：S,-S,=nRhn，其中n为经多孔P2塞的气体的摩尔数。10，一个可逆卡诺机，它的低温热源为-3°C，效率为40%，欲使其效率提高到50%，试问：（a）如果低温热源的温度保持不变，则高温热源的温度必须增加多少度？（b）如果高温热源的温度保持不变，则低温热源的温度必须降低多少度？（答案：（a）增加90K（b）降低45K）1l，试比较图（T－S图）中两个循环abca和adca的循环效率。（答案：Nadca>Nabea）7FTaTcC-SSaSb12，试计算下列情形气体的熵变：（a）1mole理想气体自由膨胀到原体积的2倍：（b）两种各有1mole的理想气体，初始时它们具有相同的体积和温度，中间用隔板隔开。现抽掉隔板，使它们混合，并达到平衡时；（c）两个体积相等的容器，各装有lmole同温度的同种理想气体，两容器用伐门连接，当打开伐门后，求气体摘的变化。(答案：(a）△S。=Rln2（b）△S,=2Rln2（c）△S,=0)13，试证明任何两条绝热曲线都不能相交。（提示：用反证法）14，10千克20℃的水在等压下化为250℃的过热蒸汽，已知水的定压比热为4187J/kg·K，蒸汽的定压比热为1670J/kg·K，水的汽化热为22.5X105J/kg，计算熵的增量。(答案：△S=7.6×10*(J/K))15，1千克温度为0℃的水与温度为100℃的大热源接触，使其达到100℃，计算水的摘变，热源的摘变以及两者的总摘变，水的定压比热为4187J/kg·K。8
8 （b）自由能： ( ) ( ) 0 2 1 ln 0 nRT V nb F V n a dT T T F T V U TS C T T V − − − + = − = − ， （c）吉布斯函数： ( ) ( ) 2 0 2 ln 2 1 0 nRT V nb G V n a V nb nRTV dT T T G T V F pV C T T V − − − + − + = + = − ， 7，4mole 理想气体从体积 V1 膨胀到 V2 = 2V1 ，（a）假定膨胀是在 T = 400K 等温下进行的， 求气体膨胀所作的功；（b）求气体熵的变化；（c）假定气体经可逆绝热膨胀从 （T，V1） 到达 V2 ，求气体所作的功和熵的变化，设 = 1.4 。 （答案：（a） W J 3 = 9.2210 ；（b） S = 23.04J /K ；（c） W J 3 = 8.0510 ； S = 0 ） 8，一个质量有限的物体，初始温度为 T1 ，热源温度为 T2 ，且 T1 ＞ T2 。今有一热机在物体和热源 之间进行无限小的循环操作，直到把物体的温度从 T1 降到 T2 为止，若热机从物体吸收的热量为 Q ，试根据熵增原理证明此热机所能作的最大功为： ( ) Wmax = Q −T2 S1 − S2 ，其中 S1 − S2 是 物体的熵的减小量。 9，试证明在焦耳—汤姆孙实验中，理想气体的熵增量为： 2 1 2 1 ln p p S − S = nR ，其中 n 为经多孔 塞的气体的摩尔数。 10，一个可逆卡诺机，它的低温热源为 C 0 −3 ，效率为 40% ，欲使其效率提高到 50% ，试问： （a）如果低温热源的温度保持不变，则高温热源的温度必须增加多少度？ （b）如果高温热源的温度保持不变，则低温热源的温度必须降低多少度？ （答案：（a）增加 90K （b）降低 45K ） 11，试比较图（ T − S 图）中两个循环 abca 和 adca 的循环效率。 （答案： adca ＞ abca ） 12，试计算下列情形气体的熵变： （a）1mole 理想气体自由膨胀到原体积的2倍； （b）两种各有 1mole 的理想气体，初始时它们具有相同的体积和温度，中间用隔板隔开。现抽 掉隔板，使它们混合，并达到平衡时； （c）两个体积相等的容器，各装有1mole 同温度的同种理想气体，两容器用伐门连接，当打开伐 门后，求气体熵的变化。 （答案：（a） Sa = Rln 2 （b） Sb = 2Rln 2 （c） Sc = 0 ） 13， 试证明任何两条绝热曲线都不能相交。（提示：用反证法） 14，10千克20℃的水在等压下化为250℃的过热蒸汽，已知水的定压比热为 4187 J／kg·K，蒸汽 的定压比热为 1670 J／kg·K，水的汽化热为 22.5×105 J／kg ，计算熵的增量。 （答案： S (J K) 4 = 7.610 ） 15，1千克温度为 0℃ 的水与温度为 100℃ 的大热源接触，使其达到 100℃，计算水的熵变，热 源的熵变以及两者的总熵变，水的定压比热为 4187 J／kg·K