银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十二章 常微分方程

银川科技职业学院《高签数学》教素 第土二童常微分方程 S12.3齐次方程 齐次方程： 如果一阶微分方程血=f化)中的函数化，)可写成 dx 上的函数，即f化，)=，则称这方程为齐次方程. 下列方程哪些是齐次方程？ 刊w--0是东次方程→空-中子会--1 dx 2)1-y=-不是齐次方程.→少=， -y2 1-x2 (3X2+-=0是齐次方程.→少=产+y少=三+2 dx xy dx y x (42x+-4)+x+-1)=0不是齐次方程→=-2x+y-4 dx x+y-1 (⑤)(2xsh上+3oh当dk-3xrch兰dy=0是齐次方程. s中2h+3ch 三→9=2hy+y d 3rch业 dx 3x'x 齐次方程的解法： 在齐次方程少=（白中，令u=兰，即=x,有 dx 1 u+xdu=u), d 分离变量，得 dudx o(u)-u x 两端积分，得 du 求出积分后，再用上代替”，便得所给齐次方程的通解 1 例1解方程y2+x2=x 解原方程可写成 第11页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 11 页 §12 3 齐次方程 齐次方程 如果一阶微分方程 f (x, y) dx dy  中的函数 f(x, y)可写成 x y 的函数 即 ( , ) ( ) x y f x y   则称这方程为齐次方程 下列方程哪些是齐次方程？ (1) 0 2 2 xy  y y x  是齐次方程 ( ) 1 2 2 2         x y x y dx dy x y y x dx dy  (2) 2 2 1x y   1 y 不是齐次方程 2 2 1 1 x y dx dy      (3)(x 2 y 2 )dxxydy0 是齐次方程 x y y x dx dy xy x y dx dy       2 2  (4)(2xy4)dx(xy1)dy0 不是齐次方程 1 2 4       x y x y dx dy  (5) (2 sh 3 ch ) 3 ch dy0 x y dx x x y y x y x 是齐次方程 x y x y dx dy x y x x y y x y x dx dy       th 3 2 3 ch 2 sh 3 ch 齐次方程的解法 在齐次方程 ( ) x y dx dy  中 令 x y u  即 yux 有 (u) dx du u x   分离变量 得 x dx u u du  ( )  两端积分 得     x dx u u du ( )  求出积分后 再用 x y 代替 u 便得所给齐次方程的通解 例 1 解方程 dx dy xy dx dy y x  2 2  解 原方程可写成

银川科技职业学院《高签数学》救宋 第土二童常微分方程 心2 dxxy-x2 因此原方程是齐次方程.令y=“,则 =x, 少=u+x dx d 于是原方程变为 u+x-2 ku-1' 即 xdu=u dx u-1' 分离变量，得 (1-1)du=dx 两边积分，得-lnld+C=lnlx, 或写成lnr=u+C. 以y代上式中的u,便得所给方程的通解 Inly+C. X 例2有旋转曲面形状的凹镜，假设由旋转轴上一点O发出的一切光线经 此凹镜反射后都与旋转轴平行.求这旋转曲面的方程. 解设此凹镜是由xOy面上曲线L:=x)0>0)绕x轴旋转而成，光源在原点. 在L上任取一点Mx,),作L的切线交x轴于A.点O发出的光线经点M反射后是 一条平行于x轴射线.由光学及几何原理可以证明OA=OM, 因为 OA-AP-OP-PMcota-OP- 而 OM=x+y2. 于是得微分方程号一=F+少， 整理得必=+，？+1.这是齐次方程 dy y 12 问题归结为解齐次方程帝-产，今1 令=v,即m,得+y=y+V2+, dy 第12页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 12 页 1 ( ) 2 2 2     x y x y xy x y dx dy  因此原方程是齐次方程 令 u x y   则 yux dx du u x dx dy    于是原方程变为 1 2    u u dx du u x  即 1  u u dx du x  分离变量 得 x dx du u  )  1 (1  两边积分 得 uln|u|Cln|x| 或写成 ln|xu|uC 以 x y 代上式中的 u 便得所给方程的通解 C x y ln| y|   例 2 有旋转曲面形状的凹镜 假设由旋转轴上一点 O 发出的一切光线经 此凹镜反射后都与旋转轴平行 求这旋转曲面的方程 解 设此凹镜是由xOy面上曲线L yy(x)(y>0)绕x轴旋转而成 光源在原点 在L上任取一点M(x, y) 作L的切线交x轴于A 点O发出的光线经点M反射后是 一条平行于x轴射线 由光学及几何原理可以证明OAOM 因为 x y y OA AP OP PM OP      cot   而 2 2 OM  x  y  于是得微分方程 2 2 x x y y y      整理得 ( ) 1 2    y x y x dy dx  这是齐次方程 问题归结为解齐次方程 ( ) 1 2    y x y x dy dx  令 v y x   即xyv 得 1 2  v v  dy dv v y 

银川科技职业学院《高签数学》教宋 第土二童常微分方程 即 yh=+1, d 分离变量，得=少】 2+1y 两边积分，得++)=ny-hC,+2+1=名，→（哈-=2+l, 820. 以代入上式，得2=20x+9. 这是以x轴为轴、焦点在原点的抛物线，它绕x轴旋转所得旋转曲面的方程为 y+2=20x+. 这就是所求的旋转曲面方程. 例3设河边点O的正对岸为点A,河宽OA=h,两岸为平行直线，水流速 度为a,有一鸭子从点A游向点O,设鸭子的游速为b(b>a),且鸭子游动方向始 终朝着点O.求鸭子游过的迹线的方程. 例3设一条河的两岸为平行直线，水流速度为α，有一鸭子从岸边点A游 向正对岸点O,设鸭子的游速为b(b>),且鸭子游动方向始终朝着点O,己知 OA=h,求鸭子游过的迹线的方程. 解取O为坐标原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸.设在时刻1 鸭子位于点P(x,y),则鸭子运动速度 =)(密》，故有密 dy vy 男方a-a0=年年 dy vy byy 问题归结为解齐次方程空=一号91+号 dy by 令X=u,即x=yu,得 y=-g+1, dy b 分离变量，得 du =-ady, Ju2+1 by 第13页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 13 页 即 1 2  v  dy dv y  分离变量 得 y dy v dv  1 2  两边积分 得 ln(v v 1) ln y lnC 2     , C y v v 1 2 , ( ) 1 2 2  v v  C y , 1 2 2 2   C yv C y  以 yvx 代入上式 得 ) 2 2 ( 2 C y  C x  这是以 x 轴为轴、焦点在原点的抛物线 它绕 x 轴旋转所得旋转曲面的方程为 ) 2 2 ( 2 2 C y  z  C x  这就是所求的旋转曲面方程 例 3 设河边点 O 的正对岸为点 A 河宽 OAh 两岸为平行直线 水流速 度为a 有一鸭子从点A游向点O 设鸭子的游速为b(b>a) 且鸭子游动方向始 终朝着点 O 求鸭子游过的迹线的方程 例 3 设一条河的两岸为平行直线 水流速度为 a 有一鸭子从岸边点 A 游 向正对岸点 O 设鸭子的游速为 b(b>a) 且鸭子游动方向始终朝着点 O 已知 OAh 求鸭子游过的迹线的方程 解 取 O 为坐标原点 河岸朝顺水方向为 x 轴 y 轴指向对岸 设在时刻 t 鸭子位于点 P(x, y) 则鸭子运动速度 ( , ) ( , ) dt dy dt dx v v v  x y   故有 y x v v dy dx   另一方面 ( , 0) ( , ) 2 2 2 2 x y y x y x a b     v ab   ( , ) 2 2 2 2 x y by x y bx a    v    因此 y x y x b a v v dy dx y x   ( ) 1 2  即 y x y x b a dy dx  ( ) 1 2  问题归结为解齐次方程 y x y x b a dy dx  ( ) 1 2  令 u y x   即xyu 得 1 2  u  b a dy du y  分离变量 得 dy by a u du  1 2 

银川科技职业学院《高签数学》救集 第土二童常微分方程 两边积分，得arshu=-b(仙y+nC, 将u-代入上式并整理得x=之©号-©号， 以-0代入上式，得C=行，故鸭子游过的轨迹方程为 =38-片号1.0s3 将u=代入arshu=-b(hy+hC)后的整理过程： arsh=-(In y+InC) y a →hqw=告g-G响 b →x=G)-(G月→x=之g片-©号. 第14页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 14 页 两边积分 得 arsh (ln y ln C) a b u   将 y x u 代入上式并整理 得 [( ) ( ) ] 2 1 1 1 b a b a Cy Cy C x      以x|yh0代入上式 得 h C 1   故鸭子游过的轨迹方程为 [( ) ( ) ] 2 1 1 b a b a h y h h y x      0yh 将 y x u 代入 arsh (ln y ln C) a b u  后的整理过程 arsh (ln y lnC) a b y x   a b Cy y x   sh ln( ) [( ) ( ) ] 2 1 a b a b Cy Cy y x     [( ) ( ) ] 2 a b a b Cy Cy y x   [( ) ( ) ] 2 1 1 1 a b a b Cy Cy C x      