银川能源学院：《高等数学》课程教学资源（电子教案）第十二章 常微分方程

银川科技职业学院《高整数学》救集 第土二童常微分方程 S12.2可分离变量的微分方程 观察与分析： 1.求微分方程y=2x的通解.为此把方程两边积分，得 =x2+C 一般地，方程y=x)的通解为y=∫fx)+C(此处积分后不再加任意常 数). 2.求微分方程y=2x的通解. 因为y是未知的，所以积分「2xd无法进行，方程两边直 接积分不能求出通解， 为求通解可将方程变为立小=2x血，两边积分，得 -1=x2+C,或y=-1 x2+C' 可以验证函数)=十c是原方程的通解。 般地，如果一阶微分方程y=x,y)能写成 g(y)dy=fx)dx 形式，则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)=F(x)+C, 由方程G(y)=Fx)+C所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程： 一阶微分方程有时也写成如下对称形式： P(x,y)dx+O(x,y)dy=0 在这种方程中，变量x与y是对称的 若把x看作自变量、y看作未知函数，则当Qxy)0时，有 少=_Px,y dx O(x,y) 若把y看作自变量、x看作未知函数，则当P(x,y)≠0时，有 dxa(x,y) 少Pxy) 可分离变量的微分方程： 如果一个一阶微分方程能写成 gy)=fx)dk(或写成y'=ox)y》 的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和，另一端只含x的 第6页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 6 页 §12 2 可分离变量的微分方程 观察与分析 1 求微分方程 y2x 的通解 为此把方程两边积分 得 yx 2 C 一般地 方程 yf(x)的通解为 y f x dxC  ( ) (此处积分后不再加任意常 数) 2 求微分方程 y2xy 2 的通解 因为 y 是未知的 所以积分  xy dx 2 2 无法进行 方程两边直 接积分不能求出通解 为求通解可将方程变为 dy xdx y 2 1 2   两边积分 得 x C y    1 2  或 x C y   2 1  可以验证函数 x C y   2 1 是原方程的通解 一般地 如果一阶微分方程 y(x, y)能写成 g(y)dyf(x)dx 形式 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G(y)F(x)C 由方程 G(y)F(x)C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程 一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dxQ(x y)dy0 在这种方程中 变量 x 与 y 是对称的 若把 x 看作自变量、y 看作未知函数 则当 Q(x,y)0 时 有 ( , ) ( , ) Q x y P x y dx dy   若把 y 看作自变量、x 看作未知函数 则当 P(x,y)0 时 有 ( , ) ( , ) P x y Q x y dy dx   可分离变量的微分方程 如果一个一阶微分方程能写成 g(y)dyf(x)dx (或写成 y(x)(y)) 的形式 就是说 能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy 另一端只含 x 的

银川科技职业学院《高签数学》救集 第土二童常微分方程 函数和x,那么原方程就称为可分离变量的微分方程」 讨论：下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1)y=2xy, 是.→yh=2xd. (2)3x2+5x-y=0, 是.→=(3x2+5x)dx. (3r2+y2)d-xd=0,不是 (4y=1+x+y2+2,是.y=(1+x1+y), (5y=10, 是.=10d=10dx. (6)y'=+上 不是 y x 可分离变量的徽分方程的解法： 第一步分离变量，将方程写成gy)dy=x)的形式； 第二步两端积分：「g)d=∫fx)d,设积分后得G0以Fx)+C: 第三步求出由GOy)=F(x)+C所确定的隐函数y=x)或x=y Gy)=Fx)+C,=中(x)或x=y)都是方程的通解，其中Gy)=Fx)+C称为隐式 (通)解. 例1求微分方程少=2xy的通解 dr 解此方程为可分离变量方程，分离变量后得 Idy=2xdx, 两边积分得 2, 即 lnby=x2+Ci, 从而 y=tex+C=teCiex, 因为±e9仍是任意常数，把它记作C,便得所给方程的通解 y=Cex2 解 此方程为可分离变量方程，分离变量后得 y=2xdx, y 两边积分得 2x, 即 Inby=x2+InC, 第7页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 7 页 函数和 dx 那么原方程就称为可分离变量的微分方程 讨论 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y2xy 是 y 1 dy2xdx  (2)3x 2 5xy0 是 dy(3x 2 5x)dx (3)(x 2 y 2 )dxxydy=0 不是 (4)y1xy 2 xy 2  是 y(1x)(1y 2 ) (5)y10xy  是 10y dy10x dx (6) x y y x y     不是 可分离变量的微分方程的解法 第一步 分离变量 将方程写成 g(y)dy f(x)dx 的形式 第二步 两端积分   g(y)dy f (x)dx  设积分后得 G(y)F(x)C 第三步 求出由 G(y)F(x)C 所确定的隐函数 y(x)或 x(y) G(y)F(x)C  y (x)或 x(y)都是方程的通解 其中 G(y)F(x)C 称为隐式 (通)解 例 1 求微分方程 xy dx dy 2 的通解 解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 dy xdx y 2 1   两边积分得   dy xdx y 2 1  即 ln|y|x 2 C1 从而 2 1 1 2 x C C x ye e e   因为 e C1 仍是任意常数 把它记作 C 便得所给方程的通解 2 x yCe  解 此方程为可分离变量方程 分离变量后得 dy xdx y 2 1   两边积分得   dy xdx y 2 1  即 ln|y|x 2 lnC

银科技职业学院《高慈数学》教宋 第土二童常微分方程 从而 y=Cer. 例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比.己知仁0时轴 的含量为Mo,求在衰变过程中轴含量M()随时间1变化的规律. 解铀的衰变速度就是M0)对时间1的导数 dt 由于轴的衰变速度与其含量成正比，故得微分方程 dM=-M, di 其中0)是常数，1前的曲面号表示当1增加时M单调减少.即4<0. dt 由题意，初始条件为 M=0=M6. 将方程分离变量得 =-dt M 两边积分，得∫兴-山， 即 lnME-+lnC,也即MCeu 由初始条件，得M=Ce°=C, 所以铀含量M(t)随时间t变化的规律M=Meu. 例3设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落 伞离开跳伞塔时速度为零.求降落伞下落速度与时间的函数关系， 解设降落伞下落速度为④.降落伞所受外力为F=mg-(k为比例系 数).根据牛顿第二运动定律F=ma,得函数v()应满足的方程为 md-mg-kv, d 初始条件为 y=0=0. 方程分离变量，得 dydi mg-ky m 丙边积分，得利中供。 mg-k品+C, m 即 v=m+Ce扁(c=-gg ) 将初始条件-0=0代入通解得C=-mg 第8页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 8 页 从而 2 x y Ce  例 2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量 M 成正比 已知 t0 时铀 的含量为 M0 求在衰变过程中铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 解 铀的衰变速度就是 M(t)对时间 t 的导数 dt dM  由于铀的衰变速度与其含量成正比 故得微分方程 M dt dM   其中 (>0)是常数  前的曲面号表示当 t 增加时 M 单调减少 即 0 dt dM  由题意 初始条件为 M|t0M0 将方程分离变量得 dt M dM   两边积分 得     dt M dM ( )  即 lnMtlnC 也即 MCet  由初始条件 得 M0Ce0 C 所以铀含量 M(t)随时间 t 变化的规律 MM0e t  例 3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落 伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系 解 设降落伞下落速度为 v(t) 降落伞所受外力为 Fmgkv( k 为比例系 数) 根据牛顿第二运动定律 Fma 得函数 v(t)应满足的方程为 mg kv dt dv m    初始条件为 v|t00 方程分离变量 得 m dt mg kv dv    两边积分 得     m dt mg kv dv  1 ln( ) 1 C m t mg kv k      即 t m k Ce k mg v    ( k e C kC1  ) 将初始条件 v|t00 代入通解得 k mg C 

银川科技职业学院《高签数学》教集 第土二童常微分方程 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为v-mg1-e品). k 例4求微分方程少=1+x++x的通解。 d 解方程可化为 密0+0+月， 分离变量得 1+=1+xk, 1 两边积分得 ∫中=a+h,即arctany=2+x+C. 于是原方程的通解为y=tan(x2+x+C). 例4有高为1m的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积 为1cm2.开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随 时间1变化的规律， 解由水力学知道，水从孔口流出的流量Q可用下列公式计算： 0--062si. 其中0.62为流量系数，S为孔口横截面面积，g为重力加速度.现在孔口横截面 面积S=1cm2,故 .2ghdv=0.2ghd. 另一方面，设在微小时间间隔[L,t+dl内，水面高度由h降至h+dh(dh<O), 则又可得到 dV=-mdh, 其中r是时刻1的水面半径，右端置负号是由于dh<0而dV>0的缘故.又因 r=√1002-(100-h2=√200h-h2, 所以 dW=-200h-h2)dh. 通过比较得到 0.62√2ghdh=-π(200h-h2)adh, 这就是未知函数h=h()应满足的微分方程. 此外，开始时容器内的水是满的，所以未知函数=)还应满足下列初始 条件： hl=0=100. 第9页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 9 页 于是降落伞下落速度与时间的函数关系为 (1 ) t m k e k mg v     例 4 求微分方程 2 2 1 x y xy dx dy     的通解 解 方程可化为 (1 )(1 ) 2 x y dx dy     分离变量得 dy x dx y (1 ) 1 1 2     两边积分得      dy x dx y (1 ) 1 1 2  即 y x  xC 2 2 1 arctan  于是原方程的通解为 ) 2 1 tan( 2 y x  xC  例 4 有高为 1m 的半球形容器 水从它的底部小孔流出 小孔横截面面积 为 1cm2  开始时容器内盛满了水 求水从小孔流出过程中容器里水面高度 h 随 时间 t 变化的规律 解 由水力学知道 水从孔口流出的流量 Q 可用下列公式计算 S gh dt dV Q 0.62 2  其中 0 62 为流量系数 S 为孔口横截面面积 g 为重力加速度 现在孔口横截面 面积 S1cm2  故 gh dt dV 0.62 2  或 dV 0.62 2ghdt  另一方面 设在微小时间间隔[t tdt]内 水面高度由 h 降至 hdh(dh0) 则又可得到 dVr 2 dh 其中 r 是时刻 t 的水面半径 右端置负号是由于 dh0 而 dV0 的缘故 又因 2 2 2 r  100 (100h)  200hh  所以 dV(200hh 2 )dh 通过比较得到 0.62 2ghdt (200h h )dh 2    这就是未知函数 hh(t)应满足的微分方程 此外 开始时容器内的水是满的 所以未知函数 hh(t)还应满足下列初始 条件 h|t0100

银川科技职业学院《高签数学》救集 第土二童常微分方程 将方程0.62,2ghdt=-π(200h-h2)dh分离变量后得 di=- (200h2-h2)dh 0.622g 两端积分，得 o6d2gJ2w-hh, π 即 1=- π 0.62√2g 3 其中C是任意常数， 由初始条件得 5 1=- 400<102-2x10o)+C, 0.622g 5 C=- π 400000.200000)=。元2 0.62√2g 、3 5 0.622e15x105. 5 因此 1= π。(7x105-103h2+3h2). 0.62√2g 上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度h与时间1之间的函数 关系 第10页

银川科技职业学院《高等数学》教案 第十二章 常微分方程 第 10 页 将方程 0.62 2ghdt (200h h )dh 2   分离变量后得 h h dh g dt (200 ) 0.62 2 2 3 2 1      两端积分 得    h h dh g t (200 ) 0.62 2 2 3 2 1   即 h h C g t   ) 5 2 3 400 ( 0.62 2 2 5 2 3   其中 C 是任意常数 由初始条件得 C g t    100 ) 5 2 100 3 400 ( 0.62 2 2 5 2 3   5 10 15 14 0.62 2 ) 5 200000 3 400000 ( 0.62 2      g g C    因此 (7 10 10 3 ) 0.62 2 2 5 2 3 5 3h h g t       上式表达了水从小孔流出的过程中容器内水面高度 h 与时间 t 之间的函数 关系