61.62013-2014学年第一学期第二次测试 第1部分数学分析(B1) 1.6中国科学技术大学2013-2014学年第一学期 数学分析(B1)第二次测试 1.(12分)试确定常数a,b的值，使得f()=m 2n-1+ax2+b加 为连续函数， x2n+1 2.(12分)设函数f(x)在点x=0处有二阶导数且im f=0,求f0,f'(0),1 f(c) x→0 22 1 3.(12分)设函数f(x)在点xo处二阶可导，f'(xo)≠0，求1im x→xof(x)-f(xo) (x-xo)f(xo) x=e'sint 4.(12分)设由参数方程 y=ef cost 确定)是工的函数，求和 dx2 5.(12分)设函数f(x)在x=0处可导，在什么条件下，f(x川在x=0处也可导？ 6.(10分)设函数f(x)在x=1处连续，且对任意x,y∈(0，+oo),满足f(xy)=f(x)+f(y). 证明：f(x)在(0，+oo)上连续」 7.(10分)利用微分学的方法证明：当自然数n>9时，(Vm中>(Wn+1)元 8.(10分)今年，中国田径运动员在男子百米比赛中创造了10秒整的全国纪录.有人说这位 运动员在这次比赛中一定在某个一秒钟的时间内正好跑了10米.这个说法正确吗？请给出你 的证明 9.(10分)设函数f(x)在[a,b上连续，在(ab)内有二阶导数，且满足f"(x)=ef(x), f(a)=f(b)=0,证明：f(x)≡0
6 1.6 2013–2014 学年第一学期 第二次测试 第 1 部分 数学分析 (B1) 1.6 中国科学技术大学 2013–2014 学年第一学期 数学分析 (B1) 第二次测试 1. (12 分) 试确定常数 a, b 的值, 使得 f(x) = limn→∞ x 2n−1 + ax2 + bx x 2n + 1 为连续函数. 2. (12 分) 设函数 f(x) 在点 x = 0 处有二阶导数且 limx→0 f(x) x = 0, 求 f(0), f ′ (0), limx→0 f(x) x 2 . 3. (12 分) 设函数 f(x) 在点 x0 处二阶可导, f ′ (x0) 6= 0, 求 limx→x0 1 f(x) − f(x0) − 1 (x − x0)f ′ (x0) . 4. (12 分) 设由参数方程 x = e t sin t y = e t cost 确定 y 是 x 的函数, 求 dy dx 和 d 2 y dx 2 . 5. (12 分) 设函数 f(x) 在 x = 0 处可导, 在什么条件下, |f(x)| 在 x = 0 处也可导? 6. (10 分) 设函数 f(x) 在 x = 1 处连续, 且对任意 x, y ∈ (0, +∞), 满足 f(xy) = f(x)+f(y). 证明: f(x) 在 (0, +∞) 上连续. 7. (10 分) 利用微分学的方法证明: 当自然数 n > 9 时, ( √ n) √ n+1 > ( √ n + 1) √ n . 8. (10 分) 今年, 中国田径运动员在男子百米比赛中创造了 10 秒整的全国纪录. 有人说这位 运动员在这次比赛中一定在某个一秒钟的时间内正好跑了 10 米. 这个说法正确吗? 请给出你 的证明. 9. (10 分) 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内有二阶导数, 且满足 f ′′(x) = e x f(x), f(a) = f(b) = 0, 证明: f(x) ≡ 0
第1部分数学分析(B1) 1.72015-2016学年第一学期第一次测试7 1.7中国科学技术大学2015-2016学年第一学期 数学分析(B1)第一次测试 10分》用数摄限的定义详明职（估一平二品）-号 2.(10分)数列{v(√n+(-1)n-√m)}是否收敛？说明理由. 3.(20分，每小题10分)求下面数列的极限： (1)lim (' (k∈N*) ntoo nn 1）n (2)lim (1+2sin n-→o 4.(20分，每小题10分)求下面函数的极限： x2+2x-3 ()22+8x50 (2)lim coscos 2x →0 x2 5.(10分)函数xsin x在(0，+oo)是否有界，当x)+o时是否为无穷大量？说明理由. 6.(10分)求数列 n+1inπ 2n-isim2》 的上极限和下极限 7.(10分)设数列{an}由a1=1,an+1=an+二(n≥1)定义.判断数列 是否收 敛，若收敛，则求其极限。 3m-1。_n-1。 810分)设a1=1,=2,an+1=2nam-"2元a-1n=2,3…人求证：数列a} 收敛
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.7 2015–2016 学年第一学期 第一次测试 7 1.7 中国科学技术大学 2015–2016 学年第一学期 数学分析 (B1) 第一次测试 1. (10 分) 用函数极限的定义证明: limx→1 1 x − 1 − x 2 + x + 2 x 3 + x 2 − x − 1 = 1 4 . 2. (10 分) 数列 { √ n( p n + (−1)n − √ n)} 是否收敛? 说明理由. 3. (20 分, 每小题 10 分) 求下面数列的极限: (1) limn→∞ (n!)k nn (k ∈ N ∗ ) (2) limn→∞ 1 + 2 sin 1 n n 4. (20 分, 每小题 10 分) 求下面函数的极限: (1) limx→1 x 2 + 2x − 3 2x 2 + 8x − 10 ; (2) limx→0 cos x − cos 2x x 2 . 5. (10 分) 函数 x sin x 在 (0, +∞) 是否有界, 当 x → +∞ 时是否为无穷大量? 说明理由. 6. (10 分) 求数列 n + 1 2n − 1 sin nπ 2 的上极限和下极限. 7. (10 分) 设数列 {an} 由 a1 = 1, an+1 = an + 1 an (n ⩾ 1) 定义. 判断数列 an √ n 是否收 敛, 若收敛, 则求其极限. 8. (10 分) 设 a1 = 1, a2 = 2, an+1 = 3n − 1 2n an − n − 1 2n an−1 (n = 2, 3, · · ·). 求证: 数列 {an} 收敛
81.82015-2016学年第一学期第二次测试 第1部分数学分析(B1) 1.8中国科学技术大学2015-2016学年第一学期 数学分析(B1)第二次测试 1.求下面的导数： (1)设f(x)= ax+b cx +d 求fm(x. x=t-sint (2)对由参数方程 =1-cost 确定的函数y=,求装 2.求极限： (四 ( 、ot - 3.证明： (1)不等式五-/≤-y对任何x≥y≥0成立. (②)不等式c0sr>1-号对任何x≠0成立. 4求函数@=e公吉 的极值 k=0 5.设函数f(x):[0,+∞)→(0，+o)一致连续，a∈(0,1.求证：函数g(x)=∫(x)也在 6引多赋户阳一宫若3：痛无8点当花的数划格有一个点 [0,+oo)上一致连续
8 1.8 2015–2016 学年第一学期 第二次测试 第 1 部分 数学分析 (B1) 1.8 中国科学技术大学 2015–2016 学年第一学期 数学分析 (B1) 第二次测试 1. 求下面的导数: (1) 设 f(x) = ax + b cx + d x 6= − d c , 求 f (n) (x). (2) 对由参数方程 x = t − sin t y = 1 − cost 确定的函数 y = y(x), 求 d 2 y dx 2 . 2. 求极限: (1) limx→0 1 x 2 − cot x x ; (2) lim x→+∞ e 2 x + x 2 1 + 1 x x − e . 3. 证明: (1) 不等式 √n x − √n y ⩽ √n x − y 对任何 x ⩾ y ⩾ 0 成立. (2) 不等式 cos x > 1 − x 2 2 对任何 x 6= 0 成立. 4. 求函数 f(x) = e −xXn k=0 x k k! 的极值. 5. 设函数 f(x) : [0, +∞) → (0, +∞) 一致连续, α ∈ (0, 1]. 求证: 函数 g(x) = f α (x) 也在 [0, +∞) 上一致连续. 6. 证明: 多项式 P(x) = Xn k=0 x k k! 当 n 是偶数时无零点, 当 n 是奇数时恰有一个零点
第1部分数学分析(B1) 1.92003-2004学年第一学期期中考试9 1.9中国科学技术大学2003-2004学年第一学期 数学分析()期中考试 1.(15分，每小题5分) (1)用e-N语言表达“数列{an}不以实数a为极限”这一陈述； (2)讨论函数f(x)=cos在区间(0，+o∞)上的一致连续性 cosn (3)用极限的定义证明：四元 =0. 2.(20分，每小题5分)求下列极限： (1)limn2(n+1-n: x2-4 (2）1im x→2 2-4 (3)lim ④(+)- 3.(20分，每小题5分)求下列导数： (1)(（htan2): (2) （arcsin1+x2 (3)(V1-x2)1 (4)(xer)m) 4.(12分)设x1是一个正数，并归纳地定义xn+1=√6+x,n=1,2,….求证：极限 lim Zn存在。 1l●● 5.（13分)设函数f(x)在区间[0，+∞)上是严格凸的并有二阶导函数，又f(0)='(0)=0. 求证：当x>0时，f(x)>0. 6.(10分)设函数f(x)在区间[0，+o∞)上有连续的导函数，且f0)=1.又当x≥0时， f(x川≤e.求证：存在xo>0,使得f'(o)=-eo. 7.(10分)设函数f(x)在区间0,1上可导，且满足f'(x川≤1及f(0)=f(1)=1.求证： 对红e(0,,有f()>2
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.9 2003–2004 学年第一学期 期中考试 9 1.9 中国科学技术大学 2003–2004 学年第一学期 数学分析 (I) 期中考试 1. (15 分, 每小题 5 分) (1) 用 ε − N 语言表达 “数列 {an} 不以实数 a 为极限” 这一陈述; (2) 讨论函数 f(x) = cos 1 x 在区间 (0, +∞) 上的一致连续性; (3) 用极限的定义证明: limn→∞ cos n n = 0. 2. (20 分, 每小题 5 分) 求下列极限: (1) limn→∞ √3 n2 ( √3 n + 1 − √3 n); (2) lim x→2+ [x] 2 − 4 x 2 − 4 ; (3) lim x→+∞ 1 + x 2 + x x (4) lim x→+∞ x 1 + 1 x x − e . 3. (20 分, 每小题 5 分) 求下列导数: (1) ln tan x 2 ′ ; (2) arcsin 1 − x 2 1 + x 2 ′ ; (3) ( √ 1 − x 2 ) ′ (4) (xe x ) (n) . 4. (12 分) 设 x1 是一个正数, 并归纳地定义 xn+1 = √ 6 + xn, n = 1, 2, · · · . 求证: 极限 limn→∞ xn 存在. 5. (13 分) 设函数 f(x) 在区间 [0, +∞) 上是严格凸的并有二阶导函数, 又 f(0) = f ′ (0) = 0. 求证: 当 x > 0 时, f(x) > 0. 6. (10 分) 设函数 f(x) 在区间 [0, +∞) 上有连续的导函数, 且 f(0) = 1. 又当 x ⩾ 0 时, |f(x)| ⩽ e −x . 求证: 存在 x0 > 0, 使得 f ′ (x0) = −e −x0 . 7. (10 分) 设函数 f(x) 在区间 [0, 1] 上可导, 且满足 |f ′ (x)| ⩽ 1 及 f(0) = f(1) = 1. 求证: 对 ∀x ∈ (0, 1], 有 f(x) > 1 2
101.102005-2006学年第一学期期中考试 第1部分数学分析(B1) 1.10中国科学技术大学2005-2006学年第一学期 数学分析()期中考试 1.(10分)叙述数列{an}收敛于实数a的定义，并用极限定义证明：1im(vm+1-√m=0. n-o 2.(10分)叙述函数f似)在区间1上一致连续的定义，并讨论函数f)=血1+四在区 间(0，+o∞)上的一致连续性（要给出证明） 3.(10分)求数列an= n 十m2cos?r的上极限和下极限 4.(20分，每小题5分)计算下面数列的极限或导数： (1)lim (1+sim)） 1- (3) arcsin 1+x2 (4)(xe)m). 5.(10分)设函数f(x)在区间[0，+∞)上有连续的导函数，且f(0)=1.又当x≥0时， f(x)川≤e-x.求证：存在x0>0,使得f'(xo)=-e-o 6.(20分)设函数f(x)把有界闭区间[a,映射到[a,,并且满足|f(x)-f(y)川≤z- 任取∈【a,小，并归纳地定义xn+1=n+fcn》.证明：数列{n}收敛于a,)内一点c 且f(c)=c. 7.(20分)设(x)在有限闭区间[a,b上连续，在(a,b)中每点的右导数存在，且f(a)<f(b) 求证：存在c∈(a,b),使f(c)≥0
10 1.10 2005–2006 学年第一学期 期中考试 第 1 部分 数学分析 (B1) 1.10 中国科学技术大学 2005–2006 学年第一学期 数学分析 (I) 期中考试 1. (10 分) 叙述数列 {an} 收敛于实数 a 的定义, 并用极限定义证明: limn→∞ ( √ n + 1− √ n) = 0. 2. (10 分) 叙述函数 f(x) 在区间 I 上一致连续的定义, 并讨论函数 f(x) = ln(1 + x) x 在区 间 (0, +∞) 上的一致连续性 (要给出证明). 3. (10 分) 求数列 an = n 2 1 + n2 cos 2nπ 3 的上极限和下极限. 4. (20 分, 每小题 5 分) 计算下面数列的极限或导数: (1) limx→∞ 1 + sin a x x ; (2) limx→0 1 x − 1 e x − 1 ; (3) arcsin 1 − x 2 1 + x 2 ′ ; (4) (xe x ) (n) . 5. (10 分) 设函数 f(x) 在区间 [0, +∞) 上有连续的导函数, 且 f(0) = 1. 又当 x ⩾ 0 时, |f(x)| ⩽ e −x . 求证: 存在 x0 > 0, 使得 f ′ (x0) = −e −x0 . 6. (20 分) 设函数 f(x) 把有界闭区间 [a, b] 映射到 [a, b], 并且满足 |f(x) − f(y)| ⩽ |x − y|. 任取 x1 ∈ [a, b], 并归纳地定义 xn+1 = 1 2 (xn + f(xn)). 证明: 数列 {xn} 收敛于 [a, b] 内一点 c, 且 f(c) = c. 7. (20 分) 设 f(x) 在有限闭区间 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 中每点的右导数存在, 且 f(a) < f(b). 求证: 存在 c ∈ (a, b), 使 f ′ +(c) ⩾ 0