第1部分 数学分析(B1) 1.1中国科学技术大学2011-2012学年第一学期 数学分析(B1)第一次测试 1.(10分)用数列极限的定义证明：，2n十imn=2 2.(10分)设函数f(x)在x>0有定义，请叙述极限limf(x)存在且有限的Cauchy收敛 元→十。X 准则. 3.(40分，每小题10分)求下列极限（其中n均为正整数）： (1)lim n Vn+sin1-vn (21i x3-x2+2x-2 x2-1 (3)lim(2”+3"): n→0o (4)1im(2-cosx)立 x→0 4.(10分)设正数列{an}满足an+1≤ban,n=1,2,…,其中0<b<1.求证：数列 -:收效 5.(10分)设a1=1,an1=am+sin0,n=1,2,.讨论数列an}的收敛性和极限 2 6.(I0分)设E是非空有上界的数集，且它的上确界a不在E中.求证：E中存在数列 {xn}严格递增趋于E的上确界. 7.(10分)设f(x)是定义在实轴R上的函数且对任意x,y有 xf(y)-yf(c)引≤Mlxl+Ml, 其中M>0.求证： (1)lim 工收敛： → (2)存在常数a使得对任意x,有f(x)-ax≤M
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.1 中国科学技术大学 2011–2012 学年第一学期 数学分析 (B1) 第一次测试 1. (10 分) 用数列极限的定义证明: limn→∞ n 2n + sin n = 1 2 . 2. (10 分) 设函数 f(x) 在 x > 0 有定义, 请叙述极限 lim x→+∞ f(x) 存在且有限的 Cauchy 收敛 准则. 3. (40 分, 每小题 10 分) 求下列极限 (其中 n 均为正整数): (1) limn→∞ n 3 2 r n + sin 1 n − √ n ! ; (2) limx→1 x 3 − x 2 + 2x − 2 x 2 − 1 ; (3) limn→∞ (2n + 3n ) 1 n ; (4) limx→0 (2 − cos x) 1 x2 . 4. (10 分) 设正数列 {an} 满足 an+1 ⩽ ban, n = 1, 2, · · · , 其中 0 < b < 1. 求证: 数列 Sn = Xn k=1 ak 收敛. 5. (10 分) 设 a1 = 1, an+1 = an + sin an 2 , n = 1, 2, · · · . 讨论数列 {an} 的收敛性和极限. 6. (10 分) 设 E 是非空有上界的数集, 且它的上确界 a 不在 E 中. 求证: E 中存在数列 {xn} 严格递增趋于 E 的上确界. 7. (10 分) 设 f(x) 是定义在实轴 R 上的函数且对任意 x, y 有 |xf(y) − yf(x)| ⩽ M |x| + M |y| , 其中 M > 0. 求证: (1) limx→∞ f(x) x 收敛; (2) 存在常数 a 使得对任意 x, 有 |f(x) − ax| ⩽ M. 1
21.22011-2012学年第一学期第二次测试 第1部分数学分析(B1) 1.2中国科学技术大学2011-2012学年第一学期 数学分析(B1)第二次测试 1.(50分)计算题. (1)求函数f(x)=xer在R上的最大值，最小值和凸凹区间： (②)计算极限m（1+》 e-; (3)计算极限 2cosx-V1+6x-e-3z ln(1-x2) (4)计算2，精确到10-3.（注意：要求给出计算过程，不允许使用计算器） (5)水果公司在对其最新电子产品iDayDream售前市场调研发现，如以3000元的价格 出售iDayDream,会有一百万顾客有购买意向，此时每台iDayDream会有l0O0元的利润； 而每当价格提升或降低100元，潜在顾客会在原来基础上降低或增加5%.试求对水果公 司而言DayDream的最佳定价以及此时的利润.（在计算中，你可以使用：当x靠近0时， ln(1+x)≈x) 2.(10分设多项式f回)=e-m,其中k≥2，…，m为正整数，且∑%=n i=l x1<x2<·<xk.证明：对于1≤i≤k-1,存在x<E<x+1,使得 f()=nII(-x)-HI(-50) 3.(10分)设9为正实数且}+。=1.求证：对于五，2>0，≤三+当 4.(10分)设函数f(x)在区间[-A,A(A为正常数)上满足f”=-f.证明： f(x)=f(0)cosx+f(0)sinx. 5.(20分)设f(x)在[a,b1上一阶可导，在(a,b)内二阶可导，且f(a)=f(b)=0,f'(a)f'(b)> 0.证明： (1)存在ξ∈(a,b),f()=0; (2)存在a<51<2<b,f(51)=f(ξ1)，f'(2)=f(2): (3)存在n∈(a,b),f"(n)=f()
2 1.2 2011–2012 学年第一学期 第二次测试 第 1 部分 数学分析 (B1) 1.2 中国科学技术大学 2011–2012 学年第一学期 数学分析 (B1) 第二次测试 1. (50 分) 计算题. (1) 求函数 f(x) = xe −x 2 在 R 上的最大值, 最小值和凸凹区间; (2) 计算极限 lim x→+∞ 1 + 1 x x 2 e −x ; (3) 计算极限 limx→0 2 cos x − √ 1 + 6x − e −3x ln(1 − x 2 ) ; (4) 计算 √4 2, 精确到 10−3 . (注意: 要求给出计算过程, 不允许使用计算器) (5) 水果公司在对其最新电子产品 iDayDream 售前市场调研发现, 如以 3000 元的价格 出售 iDayDream, 会有一百万顾客有购买意向, 此时每台 iDayDream 会有 1000 元的利润; 而每当价格提升或降低 100 元, 潜在顾客会在原来基础上降低或增加 5 %. 试求对水果公 司而言 iDayDream 的最佳定价以及此时的利润. (在计算中, 你可以使用: 当 x 靠近 0 时, ln(1 + x) ≈ x) 2. (10 分) 设多项式 f(x) = Y k i=1 (x − xi) ni , 其中 k ⩾ 2, n1, · · · , nk 为正整数, 且 X k i=1 ni = n, x1 < x2 < · · · < xk. 证明: 对于 1 ⩽ i ⩽ k − 1, 存在 xi < ξi < xi+1, 使得 f ′ (x) = n Y k i=1 (x − xi) ni−1 k Y−1 i=1 (x − ξi). 3. (10 分) 设 p, q 为正实数且 1 p + 1 q = 1. 求证: 对于 x1, x2 > 0, x1x2 ⩽ x p 1 p + x q 2 q . 4. (10 分) 设函数 f(x) 在区间 [−A, A] (A 为正常数) 上满足 f ′′ = −f. 证明: f(x) = f(0) cos x + f ′ (0)sin x. 5. (20 分) 设 f(x) 在 [a, b] 上一阶可导, 在 (a, b) 内二阶可导, 且 f(a) = f(b) = 0, f ′ (a)f ′ (b) > 0. 证明: (1) 存在 ξ ∈ (a, b), f(ξ) = 0; (2) 存在 a < ξ1 < ξ2 < b, f ′ (ξ1) = f(ξ1), f ′ (ξ2) = f(ξ2); (3) 存在 η ∈ (a, b), f ′′(η) = f(η)
第1部分数学分析(B1) 1.32012-2013学年第一学期第一次测试3 1.3中国科学技术大学2012-2013学年第一学期 数学分析(B1)第一次测试 1.(20分，每小题5分)判断下列命题的真伪，并说明理由 (1)若对任意e>0,存在无穷多个n,使得lan-ad<e,则数列{an}收敛于a; (2)若对任意e>0,存在正整数N,当n>N时，lan-aw<e,则数列{an}收敛： (3)若f:【-2,2→【-1,1刂连续，则存在0∈【-2,2使得f(xo)=x0 (4)若f:R→R一致连续，则f有界. 2.(32分，每小题8分)计算下列极限. n→ (2) ---月 2 (3)lim +x tanx(v1+sinx-1) (④玛 1-cos(sinx) 3.(10分)设f(x)=lim 1+t2enz 工十er·求f(),并研究其连续性 4.(10分)设函数f:(0,+o∞)→(-∞，+oo)满足：对任意x∈(0,0∞)，f(x)=f(x2).若 f(x)在x=1处连续，证明f(x)为常值函数， 5.(12分)设a>1,x1>0,cn+1= a1+m）(m=1,2,求im a+In 68分)设a之上判断数列o}的收敛性 k=1 7.(8分)设数列{an}满足1im=0,证明：1 lim max{a}=0. 2→oon n→on1≤k≤n
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.3 2012–2013 学年第一学期 第一次测试 3 1.3 中国科学技术大学 2012–2013 学年第一学期 数学分析 (B1) 第一次测试 1. (20 分, 每小题 5 分) 判断下列命题的真伪, 并说明理由. (1) 若对任意 ε > 0, 存在无穷多个 n, 使得 |an − a| < ε, 则数列 {an} 收敛于 a; (2) 若对任意 ε > 0, 存在正整数 N, 当 n > N 时, |an − aN | < ε, 则数列 {an} 收敛; (3) 若 f : [−2, 2] → [−1, 1] 连续, 则存在 x0 ∈ [−2, 2] 使得 f(x0) = x0; (4) 若 f : R → R 一致连续, 则 f 有界. 2. (32 分, 每小题 8 分) 计算下列极限. (1) limn→∞ 1 + 1 n 1 n ; (2) limn→∞ n − (n − 1)r 1 − 1 n ! ; (3) lim x→+∞ x + 3 x + 12x ; (4) limx→0 tan x( √ 1 + sin x − 1) 1 − cos(sin x) . 3. (10 分) 设 f(x) = limn→∞ 1 + x 2 e nx x + e nx . 求 f(x), 并研究其连续性. 4. (10 分) 设函数 f : (0, +∞) → (−∞, +∞) 满足: 对任意 x ∈ (0, ∞), f(x) = f(x 2 ). 若 f(x) 在 x = 1 处连续, 证明 f(x) 为常值函数. 5. (12 分) 设 α > 1, x1 > 0, xn+1 = α(1 + xn) α + xn (n = 1, 2, · · ·). 求 limn→∞ xn. 6. (8 分) 设 an = Xn k=1 (−1)k−1 k , 判断数列 {an} 的收敛性. 7. (8 分) 设数列 {an} 满足 limn→∞ an n = 0, 证明: limn→∞ 1 n max 1⩽k⩽n {ak} = 0
41.42012-2013学年第一学期第二次测试 第1部分数学分析(B1) 1.4中国科学技术大学2012-2013学年第一学期 数学分析(B1)第二次测试 1.(35分，每小题5分)计算题. (1)x2e2的n阶导数： (2已知sin(r)+y2=,求 (用心，y的函数表示) x (3)lim 1-cos z2 0 x3 sinx (4)1imx(a2-b),a,b>0: 工+C0 (5)lim 1+x)是） →0 e 1-cos cos 24 cos3x (6)lim 工→0 1-cos (7)求函数lnx,x>0的曲率 2.(10分)求证：A:=max{元：n=1,2,…}存在，并求出相应的no使得pno=A. tan2(ar) 3.(10分)求常数a,b使得f(x)= x>0,在定义域上可导。 (2a-1)x+b,x≤0 4.(15分)设函数f在区间I上可导.证明：f(x)在I上一致连续的充分条件是导函数有 界，并举例说明必要性不成立 5.(15分)设有界闭区间[a,b上函数f(x)满足 f(Ax+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-A)f(y),x,y∈[a,,入∈(0,1)， 证明：f(x)在[a,bl上有界. 6.(15分)设f(x)在x=0附近有二阶连续导数，且"(0)≠0.求证：对任意x,若x充 分小，则存在唯一的0∈(0,1)，使得f(x)=f(0)+f'(0x)x,并求lim0. ℃→0
4 1.4 2012–2013 学年第一学期 第二次测试 第 1 部分 数学分析 (B1) 1.4 中国科学技术大学 2012–2013 学年第一学期 数学分析 (B1) 第二次测试 1. (35 分, 每小题 5 分) 计算题. (1) x 2 e x 的 n 阶导数; (2) 已知 sin(xy) + y 2 = x, 求 dy dx . (用 x, y 的函数表示) (3) limx→0 1 − cos x 2 x 3 sin x ; (4) limx→∞ x(a 1 x − b 1 x ), a, b > 0; (5) limx→0 (1 + x) 1 x e !1 x ; (6) limx→0 1 − cos x cos 2x cos 3x 1 − cos x ; (7) 求函数 ln x, x > 0 的曲率. 2. (10 分) 求证: A := max{ √n n : n = 1, 2, · · · } 存在, 并求出相应的 n0 使得 n0 √ n0 = A. 3. (10 分) 求常数 a, b 使得 f(x) = tan2 (ax) x , x > 0, (2a − 1)x + b, x ⩽ 0 在定义域上可导. 4. (15 分) 设函数 f 在区间 I 上可导. 证明: f(x) 在 I 上一致连续的充分条件是导函数有 界, 并举例说明必要性不成立. 5. (15 分) 设有界闭区间 [a, b] 上函数 f(x) 满足 f(λx + (1 − λ)y) ⩽ λf(x) + (1 − λ)f(y), ∀x, y ∈ [a, b], λ ∈ (0, 1), 证明: f(x) 在 [a, b] 上有界. 6. (15 分) 设 f(x) 在 x = 0 附近有二阶连续导数, 且 f ′′(0) 6= 0. 求证: 对任意 x, 若 |x| 充 分小, 则存在唯一的 θ ∈ (0, 1), 使得 f(x) = f(0) + f ′ (θx)x, 并求 limx→0 θ
第1部分数学分析(B1) 1.52013-2014学年第一学期第一次测试5 1.5中国科学技术大学2013-2014学年第一学期 数学分析(B1)第一次测试 1.(10分)用数列极限的定义证明：2n+-V万=2 2.(18分，每小题9分)判别下面两个极限是否收敛： (1)1im(-1)网 x+1 gm乃k n→o0 k=1 3.(32分，每小题8分)求下列极限：（其中n均为正整数） 1 ①n+(-1V厉 n00 (2)lim(1 In(2x+1)) 3)期 x+1-1 (4)lim ((n.+In n)a-na)(a(0,1)) 4.(15分)设g(x)在(-oo,+o)上是单调函数，f(x)=sig(x).求证：f(x)在任意点xo的 左右极限都存在。 5.(15分)设数列{a}收敛于a,且相邻两项之差为整数.求证：从某项开始都有an=a. 0分)设@1=1，an+1=1+乙(n∈N求证：{o}收敛，并求其
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.5 2013–2014 学年第一学期 第一次测试 5 1.5 中国科学技术大学 2013–2014 学年第一学期 数学分析 (B1) 第一次测试 1. (10 分) 用数列极限的定义证明: limn→∞ n 2n + (−1)n √ 2 = 1 2 . 2. (18 分, 每小题 9 分) 判别下面两个极限是否收敛: (1) lim x→+∞ (−1)[x] x x + 1 ; (2) limn→∞ Xn k=1 (−1)k−1 ln k k 3 . 3. (32 分, 每小题 8 分) 求下列极限: (其中 n 均为正整数) (1) limn→∞ Xn k=1 1 n + (−1)k √ k ; (2) limx→0 (1 + ln(2x + 1)) 1 sin x ; (3) limx→0 √n x + 1 − 1 x ; (4) limn→∞ ((n + ln n) α − n α ) (α ∈ (0, 1)). 4. (15 分) 设 g(x) 在 (−∞, +∞) 上是单调函数, f(x) = sin g(x). 求证: f(x) 在任意点 x0 的 左右极限都存在. 5. (15 分) 设数列 {an} 收敛于 a, 且相邻两项之差为整数. 求证: 从某项开始都有 an = a. 6. (10 分) 设 a1 = 1, an+1 = 1 + 2 an (n ∈ N ∗ ). 求证: {an} 收敛, 并求其极限