第1部分数学分析(B1) 1.112006-2007学年第一学期期中考试11 1.11中国科学技术大学2006-2007学年第一学期 数学分析（①）期中考试 1.(20分，每小题5分)叙述题. (1)用e-N语言表述“实数a不是数列{an}的极限” (2)叙述“函数f(x)当x)+o时以实数1为极限”的定义. (3)叙述用来判断数列{a}是否收敛的Cauchy收敛准则. (4)叙述“函数f(x)在区间I上一致连续”的定义. 2.(20分，每小题5分)求下列极限： 典三+ 1 (②e-1 c+ (3)lim x-1 (4)lim er-1-x ozIn(x+1) 3.(20分，每小题5分)计算下面的导数 (1)(2sinx+ln(x2+1) (2)(lx|sinx)'; 1-x2\' (3)（arctan1+2 (4)(xe)m. 4.(10分)求函数f(x)=x(1-x)”-(0<i<n)在区间[0,1上的最大值 5.(10分)设f(x)是定义在实轴R上的函数，且存在常数L和α>1使得 If(x)-f(g)川≤Llx-yx,y∈R, 求证：f(x)是常数 6.(10分)求证：在区间(0,1刂上不等式sin2x<sinx2成立. 7.(10分)设函数f(x)在0,1上可微且满足f(0)=0及If'(x)川≤f(x)儿，x∈[0,1.求证： 在[0,1上，f(x)三0
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.11 2006–2007 学年第一学期 期中考试 11 1.11 中国科学技术大学 2006–2007 学年第一学期 数学分析 (I) 期中考试 1. (20 分, 每小题 5 分) 叙述题. (1) 用 ε − N 语言表述 “实数 a 不是数列 {an} 的极限”. (2) 叙述 “函数 f(x) 当 x → +∞ 时以实数 l 为极限” 的定义. (3) 叙述用来判断数列 {an} 是否收敛的 Cauchy 收敛准则. (4) 叙述 “函数 f(x) 在区间 I 上一致连续” 的定义. 2. (20 分, 每小题 5 分) 求下列极限: (1) limn→∞ Xn k=1 1 (n3 + k) 1 3 ; (2) limx→0 x 2 sin2 1 x e x − 1 ; (3) lim x→+∞ x + 1 x − 1 x ; (4) limx→0 e x − 1 − x x ln(x + 1). 3. (20 分, 每小题 5 分) 计算下面的导数: (1) (2x sin x + ln(x 2 + 1))′ ; (2) (|x|sin x) ′ ; (3) arctan 1 − x 2 1 + x 2 ′ ; (4) (xe x ) (n) . 4. (10 分) 求函数 f(x) = x i (1 − x) n−i (0 < i < n) 在区间 [0, 1] 上的最大值. 5. (10 分) 设 f(x) 是定义在实轴 R 上的函数, 且存在常数 L 和 α > 1 使得 |f(x) − f(y)| ⩽ L |x − y| α x, y ∈ R. 求证: f(x) 是常数. 6. (10 分) 求证: 在区间 (0, 1] 上不等式 sin2 x < sin x 2 成立. 7. (10 分) 设函数 f(x) 在 [0, 1] 上可微且满足 f(0) = 0 及 |f ′ (x)| ⩽ |f(x)|, x ∈ [0, 1]. 求证: 在 [0, 1] 上, f(x) ≡ 0
121.122007-2008学年第一学期期中考试 第1部分数学分析(B1) 1.12中国科学技术大学2007-2008学年第一学期 数学分析()期中考试 1.(10分)叙述题 (1)用e-6语言表述“函数f(x)在区间I上不一致连续” (2)叙述用来判断数列{an}是否收敛的Cauchy收敛准则. 2.(20分，每小题5分)求下列极限： n (1)lim n→00 之三3士多手 3sin2 1 x+0x-1/、 (3)lim e2-1-x-x2 (4i吗r21n(c+1)） 3.(20分)计算下面的导数： (1)(2sinx+ln(x2+1)' (2)(z(e2-1) (3) 1-x2 arctan 1+2 (4)(zsinz)(n) 4.(20分)求函数f()=cos2 rsinz-+csin2x在区间0，】上的最大值. 5.(10分)设函数f(x)在区间[a,上可导且满足f(a)=f(b)=0及不等式f'(x)≥2xf(x), x∈[a,b.求证：f(x)三0. 6.(10分)设f(x)在实轴R上有二阶导数，且满足方程 2f(x)+f"(x)=-xf'(x): 求证：f(x)和f'(x)都在R上有界， 7.(10分)证明：对任意自然数n,方程x+x”=1恰有一个正根xn.进一步证明数列{xn} 收敛，并求其极限
12 1.12 2007–2008 学年第一学期 期中考试 第 1 部分 数学分析 (B1) 1.12 中国科学技术大学 2007–2008 学年第一学期 数学分析 (I) 期中考试 1. (10 分) 叙述题. (1) 用 ε − δ 语言表述 “函数 f(x) 在区间 I 上不一致连续”. (2) 叙述用来判断数列 {an} 是否收敛的 Cauchy 收敛准则. 2. (20 分, 每小题 5 分) 求下列极限: (1) limn→∞ Xn k=1 1 (n3 + n − k) 1 3 ; (2) limx→0 x 3 sin2 1 x 1 − cos x ; (3) lim x→+∞ x + 1 x − 1 x ; (4) limx→0 e x − 1 − x − 1 2 x 2 x 2 ln(x + 1) . 3. (20 分) 计算下面的导数: (1) (2x sin x + ln(x 2 + 1))′ ; (2) (|x|(e x − 1))′ ; (3) arctan 1 − x 2 1 + x 2 ′ ; (4) (x sin x) (n) . 4. (20 分) 求函数 f(x) = cos2 x sin x + cos x sin2 x 在区间 h 0, π 2 i 上的最大值. 5. (10 分) 设函数 f(x) 在区间 [a, b] 上可导且满足 f(a) = f(b) = 0 及不等式 f ′ (x) ⩾ 2xf(x), x ∈ [a, b]. 求证: f(x) ≡ 0. 6. (10 分) 设 f(x) 在实轴 R 上有二阶导数, 且满足方程 2f(x) + f ′′(x) = −xf′ (x). 求证: f(x) 和 f ′ (x) 都在 R 上有界. 7. (10 分) 证明: 对任意自然数 n, 方程 x + x n = 1 恰有一个正根 xn. 进一步证明数列 {xn} 收敛, 并求其极限
第1部分数学分析(B1) 1.132017-2018学年第一学期期中考试13 1.13中国科学技术大学2017-2018学年第一学期 数学分析(B1)期中考试 1.10分》用数列极限的定义证明：黑n十-少=专 2.(8分)写出一个在(0,1]上连续且有界，但不一致连续的函数，并说明理由. 3.(32分，每小题8分)求下列极限： 1 (2)lim x(e5-1)n(1+x2) x0 (sinx-x cosx)tanx (3)lim Inx·n(1-x); x+1 (4)lim 工→00 e-n+)》 4.12分)求极限m∑2+ k=1 sin2(ax) x>0」 5.(15分)求常数a,b使得f(x)= ”在定义域内可导. (2a-1)x+b,x≤0 6.(15分)设函数y=y(x)在R上可导且满足方程y+2"-x-sinx=1.求(0). 7.(8分)设f(x)在区间[a,b上可导.假设存在xo∈(a,b使得f'(xo)=0.求证：存在 ∈(a,b),使得f'g)=f-f@ 6-a
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.13 2017–2018 学年第一学期 期中考试 13 1.13 中国科学技术大学 2017–2018 学年第一学期 数学分析 (B1) 期中考试 1. (10 分) 用数列极限的定义证明: limn→∞ n 3n + 2(−1)n = 1 3 . 2. (8 分) 写出一个在 (0, 1] 上连续且有界, 但不一致连续的函数, 并说明理由. 3. (32 分, 每小题 8 分) 求下列极限: (1) limn→∞ 1 − 1 n + 1n ; (2) limx→0 x(e x 2 − 1)ln(1 + x 2 ) (sin x − x cos x)tan x ; (3) lim x→1− ln x · ln(1 − x); (4) limx→∞ x − x 2 ln 1 + 1 x . 4. (12 分) 求极限 limn→∞ Xn k=1 k n2 + k . 5. (15 分) 求常数 a, b 使得 f(x) = sin2 (ax) x , x > 0 (2a − 1)x + b, x ⩽ 0 在定义域内可导. 6. (15 分) 设函数 y = y(x) 在 R 上可导且满足方程 y + 2y − x − sin x = 1. 求 y ′ (0). 7. (8 分) 设 f(x) 在区间 [a, b] 上可导. 假设存在 x0 ∈ (a, b] 使得 f ′ (x0) = 0. 求证: 存在 ξ ∈ (a, b), 使得 f ′ (ξ) = f(ξ) − f(a) b − a
141.142018-2019学年第一学期期中考试 第1部分数学分析(B1) 1.14中国科学技术大学2018-2019学年第一学期 数学分析(B1)期中考试 2018年11月18日 1.(8分，每小题4分)叙述题： (1)用e-N语言表述“数列{an}不以实数a为极限” (2)用ε一6语言表述“函数f(x)在区间I上一致连续” 2.(16分，每小题4分)求下列数列或函数极限： (1)lim (In2(n+1)-In2n); (2)imn2(n+1-n): 3)n (+)- 3.(16分，每小题4分)计算下面的导数： ()(血am月 (2)(arcsin 1-x2 1+x2 (3)（1-x2) (4)(re)m. 4(15分)）设a=1,a+1=1十n=12,求证：数列{a}收敛并求其极限 23 5.(15分)求证：sinx>x-6(>0), 6.(15分)设f(x)在区间[0,1刂上连续且0≤f(x)≤1.若对一切x,y∈0,1，x≠y,有 If(x)-f(y川<x-. 求证：存在且只存在一个∈(0,1使fo）=1-0 7.(15分)设非常值函数f(x)在(-∞，+∞)上有二阶导数，且满足 If"(x川≤f'(x川 求证：f(x)在(-∞，+o∞)上严格单调
14 1.14 2018–2019 学年第一学期 期中考试 第 1 部分 数学分析 (B1) 1.14 中国科学技术大学 2018–2019 学年第一学期 数学分析 (B1) 期中考试 2018 年 11 月 18 日 1. (8 分, 每小题 4 分) 叙述题: (1) 用 ε − N 语言表述 “数列 {an} 不以实数 a 为极限”. (2) 用 ε − δ 语言表述 “函数 f(x) 在区间 I 上一致连续”. 2. (16 分, 每小题 4 分) 求下列数列或函数极限: (1) limn→∞ ln2 (n + 1) − ln2n ; (2) limn→∞ √3 n2 ( √3 n + 1 − √3 n); (3) lim x→+∞ 1 + x 2 + x x ; (4) lim x→+∞ x 1 + 1 x x − e . 3. (16 分, 每小题 4 分) 计算下面的导数: (1) ln tan x 2 ′ ; (2) arcsin 1 − x 2 1 + x 2 ′ ; (3) √ 1 − x 2 ′ ; (4) (xe x ) (n) . 4. (15 分) 设 a1 = 1, an+1 = 1 + 1 an , n = 1, 2, · · · . 求证: 数列 {an} 收敛, 并求其极限. 5. (15 分) 求证: sin x > x − x 3 6 (x > 0). 6. (15 分) 设 f(x) 在区间 [0, 1] 上连续且 0 ⩽ f(x) ⩽ 1. 若对一切 x, y ∈ [0, 1], x 6= y, 有 |f(x) − f(y)| < |x − y| . 求证: 存在且只存在一个 x0 ∈ (0, 1] 使 f(x0) = 1 − x0 x0 . 7. (15 分) 设非常值函数 f(x) 在 (−∞, +∞) 上有二阶导数, 且满足 |f ′′(x)| ⩽ |f ′ (x)| . 求证: f(x) 在 (−∞, +∞) 上严格单调
第1部分数学分析(B1) 1.152019-2020学年第一学期期中考试15 1.15中国科学技术大学2019-2020学年第一学期 数学分析(B1)期中考试 2019年11月16日 1.(36分，每小题6分)计算题（给出必要的计算步骤）. (1)设数列{an}为正的有界数列，求im an n→ooa1+a2+·+an ②)若1m（V2+3x+2+ar+0)=0,求a,b的值. (3)设f(x)在xo处二阶可导，且f'(xo)≠0，求lim 2Lf(c)-f(o】 (x-xo)f'(xo) x arctant (4)设由参数方程 y=ln(1+t2) 确定y是x的函数，求业，g dx'dz2 (5)设函数f(x)=x21n(1-x2),求当n>2时，fm(0)的值. (6)求极限1im cos(sinx)-cosx c→0 2.(12分)设函数f(x)在x=0处二阶可导，满足f(0)=0,'(0)=1,并且f(x)有反函数 g(x),求f(x2)和g(x2)在x=0处的关于x的二阶导数的值 3.(18分，每小题6分)设a为实数，函数f(x)= z“sin,x≠0， (0 x=0. 解答下列问题：（需说明理由） (1)问当且仅当a取何值时，f(x)在x=0处连续，但不可导？ (2)问当且仅当a取何值时，f(x)在x=0处可导，但导函数'(x)在x=0处不连续？ (3)问当且仅当a取何值时，f(x)在x=0处可导，且导函数f'(x)在x=0处连续？ 4.(10分)设函数f(x)在[a,)上连续，{xn}是区间[a,)上的点列，且limf(xn)=A,证 7● 明：存在xo∈[a,,使得f(xo)=A. 5.(12分，每小题6分)设函数f(x)在区间[a,+∞)(a>0)上有有界的导函数，证明： (1)函数f(x)在[a,+o∞)上一致连续 (2)函数f回在口，+∞)上一致连续。 6.(12分，每小题6分) (1)设f(x)在[0，+o∞)上一阶可导，f(0)=1,f'(x)<f(x),证明：当x>0时，f(x)<e2. (2)设f(x)在[0，+∞)上二阶可导，f(0)=1,f'(0)≤1，f"(x)<f(x),证明：当x>0时， f(r)<e
第 1 部分 数学分析 (B1) 1.15 2019–2020 学年第一学期 期中考试 15 1.15 中国科学技术大学 2019–2020 学年第一学期 数学分析 (B1) 期中考试 2019 年 11 月 16 日 1. (36 分, 每小题 6 分) 计算题 (给出必要的计算步骤). (1) 设数列 {an} 为正的有界数列, 求 limn→∞ an a1 + a2 + · · · + an . (2) 若 lim x→+∞ √ x 2 + 3x + 2 + ax + b = 0, 求 a, b 的值. (3) 设 f(x) 在 x0 处二阶可导, 且 f ′ (x0) 6= 0, 求 limx→x0 1 f(x) − f(x0) − 1 (x − x0)f ′ (x0) . (4) 设由参数方程 x = arctan t y = ln(1 + t 2 ) 确定 y 是 x 的函数, 求 dy dx , d 2 y dx 2 . (5) 设函数 f(x) = x 2 ln(1 − x 2 ), 求当 n > 2 时, f (n) (0) 的值. (6) 求极限 limx→0 cos(sin x) − cos x x 4 . 2. (12 分) 设函数 f(x) 在 x = 0 处二阶可导, 满足 f(0) = 0, f′ (0) = 1, 并且 f(x) 有反函数 g(x), 求 f(x 2 ) 和 g(x 2 ) 在 x = 0 处的关于 x 的二阶导数的值. 3. (18 分, 每小题 6 分) 设 α 为实数, 函数 f(x) = x α sin 1 x , x 6= 0, 0, x = 0. 解答下列问题: (需说明理由) (1) 问当且仅当 α 取何值时, f(x) 在 x = 0 处连续, 但不可导? (2) 问当且仅当 α 取何值时, f(x) 在 x = 0 处可导, 但导函数 f ′ (x) 在 x = 0 处不连续? (3) 问当且仅当 α 取何值时, f(x) 在 x = 0 处可导, 且导函数 f ′ (x) 在 x = 0 处连续? 4. (10 分) 设函数 f(x) 在 [a, b] 上连续, {xn} 是区间 [a, b] 上的点列, 且 limn→∞ f(xn) = A, 证 明: 存在 x0 ∈ [a, b], 使得 f(x0) = A. 5. (12 分, 每小题 6 分) 设函数 f(x) 在区间 [a, +∞) (a > 0) 上有有界的导函数, 证明: (1) 函数 f(x) 在 [a, +∞) 上一致连续. (2) 函数 f(x) x 在 [a, +∞) 上一致连续. 6. (12 分, 每小题 6 分) (1) 设 f(x) 在 [0, +∞) 上一阶可导, f(0) = 1, f′ (x) < f(x), 证明: 当 x > 0 时, f(x) < e x . (2) 设 f(x) 在 [0, +∞) 上二阶可导, f(0) = 1, f′ (0) ⩽ 1, f′′(x) < f(x), 证明: 当 x > 0 时, f(x) < e x