豪斯豪尔德( Householder变换 设向量=(m…,m)y满足2=+…+m2=1,则称 1-212-211 -21n wow H=I-2ww 2n-2n2…:1-22」 为 Householder矩阵或反射矩阵。可证其具有以下性质: (1)H是实对称的正交矩阵,即H=H=H 2)det(H)=-1; (3)H仅有两个不等的特征值±1,其中是n-1重特征值,-1 是单重特征值,为其相应的特征向量
二、豪斯豪尔德(Householder)变换 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 1 ( , , ) 1, 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 ; (2)det( ) 1; (3) T n n n T n n n n T w w w w w w w w w w w w w w w w H I ww w w w w w Householder H H H H H H − = = + + = − − − − − − = − = − − − = = = − 设向量 满足 则称 为 矩阵或反射矩阵。可证其具有以下性质： （ ） 是实对称的正交矩阵，即 仅 1 1 n 1 , 1 , ; w 有两个不等的特征值 ，其中 是 重特征值 − − 是单重特征值 为其相应的特征向量
(4)考虑以w为法向量过原点o的超平面S:wx=0, 0∈R为任意的数,有H(x+aw)=x-0w 证:H=-21w且b =√w2+…+w=1 H(x+Ow)=(I-2ww)(x+Ow x+ow-2wWx-20ww y x+0w-20=x-0w
2 2 2 1 : 0, , ( ) . 2 1 ( ) ( 2 )( ) 2 2 2 T T n T T T w o S w x R H x w x w H I ww w w w H x w I ww x w x w ww x ww w x w w x w = + = − = − = + + = + = − + = + − − = + − = − (4)考虑以 为法向量过原点 的超平面 为任意的数 有 证： 且 w o x
定理设x,y为R中任意非零向量,且|yl2=1,则存在 Householder矩阵H,使得x=±|xl2y 证:w x-(±|x|2y) 令H=1-2112,于是 Hx=(1-2wv)x=x-2x平小xy3|x2y)x x)y 2 由2一范数的定义|x王y2=(xx2y)(x2y xxix x'y+xyy xx2 x+x=2(xfx)y)x 代入上式得Fx=±|xl2y
( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 : , , 1, , ( ) 2 , ( 2 ) 2 ( ) . 2 ( ) ( ) = n T T T T T T T x y R y Householder H Hx x y x x y w H I ww x x y x x y Hx I ww x x x x y x x x y x x y x x y x x y x x x y x = = − = = − = − = − = 定理 设 为 中任意非零向量 且 则存在 矩阵 使得 。 证： 令 于是 由 －范数的定义. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) . T T T T T T x x y x y y x x x y x x x x y x Hx x y + = + = 代入上式得 =
上式得Hx=±|x2y 此定理表明,对任一非零向量x,都可以构造 一个 Householder变换,它将x变成事先给定的单位 向量的倍数。特别地取y=e,则x经过 Householder 变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时, 为避免误差取 x-(±x,y)→ x+l,e sign(x Ix Ill x 2e sign(x )l
2 2 2 2 2 2 2 . , , ( ) ( ) ( ) i i i i i Hx x y x Householder x y e x Householder x x y x x e sign x w w x x y x x e sign x = = − + = = + 上式得 此定理表明，对任一非零向量 都可以构造 一个 变换，它将 变成事先给定的单位 向量的倍数。特别地取 则 经过 变换后可变成只有一个分量不为零。实际计算时， 为避免误差取
