第三章斯一刘本征值问题 §1斯一刘本征值问题 1.SL方程 在第三篇曾设几个重要特殊函数微分方程 (1-x2)y2-2xy+1(1+1)y=0→ +V+)y=0(4) x d x p→x:xy"+x+(kxny=0d「d1n2 y+kxy=0 dx dxx (1-x)y-2y+1(+1 dG2、b1m 0->2|(1 dr d[1-2y+(1+1)y=0( 有共同特点
第三章 斯一刘本征值问题 在第三篇曾设几个重要特殊函数微分方程 ( ) 2 2 (1- ) - 2 ( 1) 0 1- ( 1) 0 ( ) d dy x y xy l l y x l l y A dx dx é ù ¢¢ ¢ + + = ® + + = ê ú ë û 2 2 2 2 2 2 : ( - ) 0 - 0 ( ) d dy n x x y xy k x n y x y k xy B dx dx x r é ù ® ¢¢ ¢ + + = ® + = ê ú ë û 2 2 2 2 2 2 (1- ) -2 ( 1)- 0 (1- ) - ( 1) 0 ( ) 1- 1- m d dy m x y xy l l y x y l l y C x x dx dx é ù é ù ¢¢ ¢+ + = ® + + = ê ú ê ú ë û ë û 有共同特点 §1.斯一刘本征值问题 1. S—L方程
(A)、(B)、(C)均可表为 1.定义 k(x d x ah9(x)y(x)+p(x)y=0(1) 其中a≤x≤b,k(x)≥0,9(x)≥0,p(x)≥0 λ为参数,通常称(1)为S-L方程 2.任意二阶常微分方程 y"+p(x)y1(x)+h(x)y(x)=0(2) 均可化为S-L方程
（A）、（B）、（C）均可表为： 1．定义 ( ) - ( ) ( ) ( ) 0 d dy k x q x y x x y dx dx lr é ù + = ê ú ë û （１） , ( ) 0, ( ) 0, ( ) 0 - a x b k x q x x S L r l 其中 £ £ ³ ³ ³ 方程 为参数，通常称（1）为 2．任意二阶常微分方程 y¢¢ ¢ + r( x) y (x) + = h(x) y x( ) 0 （２） 均 可 化 方 为 S L - 程
以7(x)·(2) 7yx)+(x)p(x)y(x)+7(x)h(x)y(x)=0 而(1)→k(x)y(x)+(x)y(x)+[-x)+p(x)y=0 7(x)=K(x) 对比得:{7(x)p(x)=K(x) 7(x)(x)=-q(x)+p(x) (3)(4):7(x)p(x)=K1() T"(x) (r)p(x), InT()=Jp(x dx, K(x)=T(x)=eiplnjdr T
∵ 以 T x( ) ×(2) : Ty¢¢ ¢ (x) + T (x)r(x) y (x) + = T (x)h(x) y x( ) 0 而（1）→ k x( ) y¢¢(x) + k¢ ¢ (x) y (x) + [-q(x) + = lr(x y ) 0 ] 对比得： ( ) ( ) (3) ( ) ( ) ( ) (4) ( ) ( ) - ( ) ( ) (5) T x K x T x x K x T x h x q x x r lr ì = ï í = ¢ ï = + î （3）（4）：T(x)r l (x K ) = '( ) ( ) ( ) ( ), ln ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) T x x dx x T X x dx K x T x e T x r r r ò ¢ = = ò = =
e. g Hemit: y"-2xy'+2y=0 (7) K(x)=l")=e2=e 7)+4c dx a/+2e e y(x)=0
e.g.Hemit : y¢¢ ¢ - 2xy y + = 2 0 l （7） ∴ （7）→ 2 2 - - 2 ( ) 0 d x x dy e e y x dx dx l é ù + = ê ú ë û 2 ( ) 2 ( ) P x dx xdx x K x e e e ò ò - - = = =
2自然边界条件 (1)定义:不是定解问题给定的,而是问题本身应 具有的边界条件 △u=0,→Φ(q+2丌)=①(q) (1-x2)y”-2xy+1(1+1)y=0+ykx→有限 (2)对于SL方程(1) K(a)=0,K(b)=0 当在边界上时有:{or:K()=0,K(6)≠0 k(a)≠=0,K(b)=0
(1)定义：不是定解问题给定的，而是问题本身应 具有的边界条件 D u = 0 , ® F (j + 2p j ) = F ( ) 2 1 (1 ) 2 ( 1) 0 x x y x y l l y y = ± - ¢¢ ¢ - + + = + ® 有 限 (2)对于S—L方程（1） 当在边界上时有： ( ) 0, ( ) 0 : ( ) 0, ( ) 0 ( ) 0, ( ) 0 K a K b or K a K b K a K b ì = = ï í = ¹ ï î ¹ = 2.自然边界条件