导数的概念 导数的定义 引:导数的思想最初是法国数学家费马( Fermat 1601—1665)为解决极大,极小问题而引入的, 但导数作为微分学中最主要的概念却是英国数学 家牛顿( Newton)和德国数学家菜布尼兹( Leibniz)分 别在研究力学和几何学过程中建立的。 为下面我们以速度问题背景引入导数概念,随后 再介绍导数的几何意义及应用 已知自由落体的运动方为:S=gt [O,刀 试讨论落体在时间to的速度 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 导数的概念 一、导数的定义 引：导数的思想最初是法国数学家费马(Fermat 1601 —1665)为解决极大，极小 问题而引入的， 但导数作为微分学中最主要 的概念却是英国数学 家牛顿(Newton)和德国数学家莱布尼兹(Leibniz)分 别在研究力学和几何学过程中建立的。 已知自由落体的运动方为： 试讨论落体在时间 t0 的速度。 为下面我们以速度问题背景引入导数概念，随后 再介绍导数的几何意义及应用 2 2 1 s = gt t 0,T
分析过程 取一邻近于t的时刻t这时落体 在t到t这一段时间内的平均速 S g 度 g g (t+t)(1) t-t 2 它近似地反映了落体在时刻t 的快慢程度,但当t越接近于 t时,它则反映得越准确,若 令t>t则(1)式的极限gt就刻 划了落体在时刻t的瞬时速度 (或速度)。 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 分析过程: 2 0 0 2 1 s = gt2 2 1 s = gt 取一邻近于t0的时刻t这时落体 在t0到t这一段时间内的平均速 度： ( ) 2 2 1 2 1 0 0 2 0 2 0 0 t t g t t gt gt t t s s v = + − − = − − = （1） 它近似地反映了落体在时刻to 的快慢程度，但当t越接近于 to时，它则反映得越准确，若 令t-> to则（1）式的极限gt0就刻 划了落体在时刻to的瞬时速度 （或速度）
般说:一质点作直线运动,设其运动方程 为:s=平(t) 为其某一确定的时刻,t为邻近于to的时刻, 则 (t-y(t) (2) 是质点在t到着一时间间隔内的平均速度 (或称平均变化率) 若t>t时,(2)式极限存在,则称其极 限值: y(t-y(t) v=lim (3) r→o 为质点在时刻t的速度(或称变化率)。 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 一般说：一质点作直线运动，设其运动方程 为：s=Ψ(t) 为其某一确定的时刻， t为邻近于t0的时刻， 则 0 0 ( ) ( ) t t t t v − − = （2） 是质点在t0到t着一时间间隔内的平均速度 （或称平均变化率） 若t->t0时，（2）式极限存在，则称其极 限值： 0 0 ( ) ( ) lim t t t t v o t t − − = → （3） 为质点在时刻t0的速度（或称变化率）
我们会发现,在计算诸如物质比热,电流强度 线密度,曲线的切线斜率等问题中,尽管它们 的具体背景各不相同,但最终都归结为讨论形 如(3)式的极限,也正是由于这类问题的研究 促使导数概念的产生。 定义1:设函数y=f(x)在点x的某个邻域内有定义 若极限: lim f(x)-f(xo)(i) x→x 存在则称函数在点x可导,并称其极 限值为函数在x的导数,记作:f(x) 也可记作: 或 dx 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 我们会发现，在计算诸如物质比热，电流强度， 线密度，曲线的切线斜率等问题中，尽管它们 的具体背景各不相同，但最终都归结为讨论形 如（3）式的极限，也正是由于这类问题的研究 促使导数概念的产生。 定义1：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义 若极限： 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x − − → （ⅰ） 存在则称函数f在点x0可导，并称其极 限值为函数f在x0的导数，记作： ( )0 f x 也可记作： 0 0 0 | ( ) | , | x x x x x x d x d f x d x d y y = = = 或
注:函数f(x)在点x处存在导数简称函数(x)在点x处可导。 若令x=x+△x,△y=f(x0△x)-f(x)则(1)式可改 写成lim(x f(x。+Ax)-f(x) ∫(x) △x △ 所以导数是函数增量△y与自变量△x之比 △x (也称为差商)的极限。若(i)(或(i)) 式的极限不存在,则说函数在x不可导。 注:函数y=f(x)在x0点的导数定义的两种表示法 (i)(i)以后都要用到。 首页上一页下一页
首页 上一页 下一页 注：函数f(x)在点x0处存在导数简称函数f(x)在点x0处可导。 若令x=x0+△x，△y=f(x0+△x) -f(x0) 则（1）式可改 写成 lim ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0 f x x y x f x x f x x x = = + − → → （ⅱ） 所以导数是函数增量△y与自变量△x之比 x y （也称为差商）的极限。若（ ⅰ）（或（ ⅱ）） 式的极限不存在，则说函数f在x0不可导。 注：函数y=f(x) 在 x0点的导数定义的两种表示法 （ ⅰ）（ ⅱ）以后都要用到