复变西数 ≤If(z)-f(zo)|≤Iu(x,y)-u(xo,yo）I v(x,y)-v(xa,yu)I, 立即得知，等式 limf(z)=f2) 和下面两个等式 imuy》=(o为）及winx,y》=v(w%） 等价，因而定理得证 上面引进的复变函数极限和连续性的定义与实变数函数的极限和连续性的定 义在形式上完全相同.因此，数学分析中证明过的关于连续函数的和、差、积、商（分 母不为0的点)及复合函数仍然连续的定理依然成立.由此，即可断定幂函数 w=z",n为正整数 更一般地，多项式 P(2)aoz"+az"+.+a 是全平面上的连续函数；而有理函数 a0z+a1zn-1+.+dn R(z)=02n+b12+.+万n 除去若干个使分母为零的点外，在全平面处处连续. 例3研究函数 j2)=ar82,之≠0，-元<arg2≤ z=0 的连续性。 解分几种情形考虑： 1)若zo=0.由于当z沿直线argz=0,-π<0，≤π趋于原点时，∫(z)趋 于0.这里0。可以取各种不同值，因而f(z)在z=0处不连续. 2)若z。=x(<0).由定义当z从上半平面趋于zo时，f(z)趋于π；当z从下 半平面趋于z0时，∫(z)趋于-π.所以∫(z)在负实轴上不连续。 3)其他点z0,作一个以20为中心，ò为半径的圆，只要8充分小，这个圆总可 以不与负实轴相交（参看图2.3）.以下用第1章定理2中必要性的证明完全相同的 叙述，即可证得f(z)在z。连续. 综上讨论得知，f(z)除原点及负实轴上的点外处处连续. 同理可证：函数 f(z)=argz,z≠0，a≤argz<a+2r ·24·
第2章复变数函数 除原点及射线argz=a外处处连续. 2.3导数和解析函数的概念 复变数函数的导数的概念，从形式上看，和实变数函数的导数概念完全相同， 定义5设w=f(z)在z点的某邻域U内有定义，z+△z∈U.如果极限 im KatAz)f) △Z 存在，就称函数(z)在z点可微，而且这个极限称为f(z)在z点的导数或微商.记为 fz,g或股 即 f(z)=lim2+4)-f2) (2.1) △Z 设(z）在点z可微，令 a=f2+△2)-f2-f(z). △2 lima =0. 所以 f(z+△z)-f(z)=f(z)△z+o(|△z|). (2.2) 其中，o(|△z|)=a△z是|△z|的高阶无穷小量.由(2.2)式立即得到 limf(z+△z)=f(z). 这就证得，若∫(z)在点z可微，则在此点连续 定义6如果f(z)在区域D内的每一点可微，则称f(z)在D内解析，或者说 f(z)是D内的解析函数；如果f(z)在点za的某个邻域内可微，则称f(z)在点zn 解析：如果∫(z)在点zo不解析，则za称为f(z)的奇点. 从定义可见，函数的解析性概念是与一个区域联系在一起的.即使是说到∫(z) 在点z解析，也是指它在zo的某个邻域内解析.由于区域是开集，所以函数在区域内 解析和函数在区域内每一点解析的说法是等价的.以后还要用到f(z)在闭区域D上 ·25·
复变函数 解析的概念，这应理解为f(z)在包含D的某个区域内解析.解析函数是复变函数中 类加了很强条件的函数，它有许多完美的性质，将在以下各章中陆续讨论， 例4幂函数w=z”是全平面上的解析函数，且 竖=. 事实上，由二项式定理有 (2y=m2+△2)”-x △z =m△2[C4z-△z+C2-2(△z)2+.+(△z)"] NZ1-1. 这说明w=z”在全平面上每一点都可微，因而是全平面上的解析函数， 例5w=z在全平面上每一点都不可微.事实上 △2 △2 当△z沿实轴方向（即令△z=△x)趋于0时，它趋于1；而让△z沿虚轴方向（即令 △z=iy)趋于0时，它趋于-1，所以当△z→0时，会的极限不存在.又显然 w=z=x-y在全平面上处处连续.这样，我们就轻而易举地得到了一个在全平 面处处连续，但却处处不可求导的函数.在实函数中虽然也有这样的函数，但要把 这样的函数具体地构造出来就不那么容易了· 由于复变函数的导数定义在形式上与实变数函数的定义完全-一样，因此关于 微商运算的基本法则也与实的情形相同.现将几个求导法则罗列如下： 1)[f(z)±8(z)]'=f(z)±8'(z). 2)[f(z)g(z)]'=f(z)g(z)+f(z)g'(z). 3)[gJ=gagzr2)-fzg],8a)≠0. 4){f[g(z)]}'=f(w)g'(z),其中，w=g(z). 5)了(2)=pwm)其中，w=f(z)与z=9(w)是两个互为反函数的单值函 数，且9'(w)≠0. 当然，这些法则的成立，要求各式右边出现的微商都存在，这些公式的证明建 议读者自己来完成. 根据这些法则及z·的可微性，我们立刻可以断定，多项式 ·26·
·:第2章复变数函数 P(z）=aoze+a1zn-1+.+an 是全平面上的解析函数：有理函数 a0z"+a1zn-1+.+an R(z)=602m+b12n+.+bm 除掉分母为0的点外也在全平面上处处解析. 到这里为止，读者可能会有这样一种印象：整个复变函数论就只是把数学分析 中许多概念和定理，如连续性、导数和积分等一个个照搬到复变数函数来而已，至 多也不过是把实变数x换成复变数z这只是一种表面现象！实际上，就是由于把实 变数x换成复函数z,二者产生了很大的差别.拿导数概念来说，一个复变函数∫(z) 在点z可微，意味着当z+△z沿复平面上任意的路径趋于点z时，比值 f(z+△z)-f(z) A7 的极限都存在，而且所有这些极限都相等，这是一个很强的要求.而实变数函数 f(z)在点x可微只是要求当点x+△x由x的左边（△x<0)或x的右边（△x>O) 两个方向趋于x时，比值 fx+△x)-f(x) 的极限存在而且相等.这个要求显然比前者低得多.正是由于这个原因，复变函数 和实变函数在可微性问题上显出深刻的差异.以后会看到：只要一个复变函数在某 个域内的每一点都有一阶微商，那么就可以证明在这个域中的每一点都有任意阶 微商，而且在这点附近还可以展开成幂级数.读者在数学分析的学习中已经知道， 对于实变数函数这些都是办不到的这些特殊的性质是我们今后要讨论的，也正是 由于这些特殊的性质，才构成了复变函数这门学科的内容. 2.4柯西-黎曼方程 复变函数与实变函数在可微性问题上的差异，首先体现在本节要讲的柯西 (Cauchy)-黎曼方程中. 前面曾经说过，一个复变数函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)相当于两个二元 实变数函数，而且它在点z=x+iy连续等价于u(x,y)和v(x,y)作为x,y的二 ·27·
复变西数 元函数在点(x,y)连续.因此，∫(z)在点z是否可微，自然也与，v的性质有关， 现在要问f(z)在点z可微是否相当于“，v在点(x,y)可微？2.3节例5的函数 2=x-iy否定了这一结论.事实上，这个函数的实部4=x及虚部v=-y在全 平面上处处可微，而复变数函数z=x-iy却处处不可求导，那么为使f(z)可微， 还要对4，v添加什么条件呢？下面的定理回答了这个问题. 定理2函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z=x+iy可微的充要条件是： 1)二元函数u(x,y),v(x,y)在点(x,y)可微. 2)u(x,y)及v(x,y)在点(x,y)满足柯西-黎曼方程（简称C-R方程） 证先证必要性.设f(z)在点z=x+iy可微，记f(z)=a+ib,则由(2.2) 式，有 f(z+△z)-f(z)=(a+ib)△z+o(|△z) =(a +ib)(Ax +iny)+o(p). (2.3) 其中，△z=△x+iy,△x及△y是实增量，p=△z|=√/△x2+△yZ.(2.3)式两 边分别取实部及虚部，就得到 u(x+△x,y+△y）-u(x,y)=a△x-b△y+o(p), (2.4) v(x+△x,y+△y)-v(x,y)=b△x+a△y+o(p). (2.5) 这就是说，二元函数u(x,y)及v(x,y)在点(x,y)可微，并且 =a, dx 器-，=b,器=a 从而 (2.6) 再考虑条件的充分性.容易看出上述推导是可逆的.事实上·由于(2.6)式成 立，且二元函数u(x,y)及(x,y)可微，从而(2.4)式及(2.5)式成立，(2.4)+ i(2.5)即得(2.3)式.这就证得f(z)在点z有导数a+ib. 从上面的讨论可见，当定理2的条件满足时，可按下列公式之任一计算∫(z) (2.7) 从定理2还立即得到解析函数的另一个等价定义： 定理3 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内可微（即在D内解析） ·28·