第】章复效和平面点紫 (5)0<arg(z-iD<吾， (6)2<z+1|<3且-2<Rez≤2； (7)|z|>2且1z-2|<2;(8)1mz>1且1z1<2: (9)y1<1mz≤y2； ao+>1 18.证明复平面上的直线方程可以写成 a2+az=C,a≠0是复常数，C是实常数 19.求下列方程(t为实参数)所给出的曲线： (1)z=(1+i)1,-∞<t<+e (2)z=acost+ibsint,0≤t≤2m,a>0,b>0 (3)z=1+,1≠0 (4)z=2+,2,t>0 20.试写出方程x2+2x+y2=1的复数形式. ·19·
第2章复变数函数 本章先引入复变数函数、极限、连续和导数的概念，然后讨论复变函数的主要 研究对象一解析函数，这类函数在理论和实际问题中都有着广泛的应用.接着 介绍-一些常用的初等函数，特别是用较多的篇幅讨论了初等多值函数 2.1复变数函数的概念 复变数函数的概念和微积分中-一元函数的概念形式上完全相同，不过自变量 和因变量都取复数值（当然也包括取实数值）. 定义1设E是复平面上的一个点集，如果对E中的每一个点z,可以按照 定的规律找到一个复数与之相对应，就称在E上定义了-一个复变数函数，也简称 为函数.记作w=f(z). 如果和每个点z对应的复数w不止一个，而是好几个，那么这个函数就称为一 个多值函数.如w=2,≥2就是定义在整个平面上的多值函数，对应于z的每 个不为零的值，w有n个互不相同的值.又如函数w=Argz是无穷多值的，对应于 每个z≠0，w有无限多个值，每两个这样的值相差2π的一个整数倍.在以下的讨 论中，如未作特殊声明时，所谈到的函数都指单值函数， 设z=x+iy,w=4+iv,则函数关系w=f(z)相当于实变量x,y的两个 实值函数 u=u(x,y)及v=v(x,y), 例如，当w=z2时，命z=x+iy,w=u+iv,则由 u +iv=(x +iy)2=(x2-y2)i2xy, ·20
第2章复变数西数 有 u=x2-y2及v=2xy. 为了赋予复变数函数w=(z)以几何意义，我们取两个复数平面：z平面和W 平面.对z平面上点集E中的每个点z,我们在w平面上描出相应的点w(f(z).当 z在z平面跑遍E时，w就相应地跑遍w平面上的一个点集E(图2.1).这样一来， 函数w=∫(z)就可以看成是一个变换（或映照），它把z平面上的一个点集E变换 成w平面上的一个点集E',E'常记作f(E).在映照w=f(z)下，w。=∫(zo)及 E'=f(E)分别称为点zo及点集E的像，而点zo及点集E则分别称为w及E'的 原像. w-f(z) 图2.1 对于单值函数w=(z),每一个点z只能对应一个像点w.但是一个像点的原 像却可能不止一个，例如w=z2,点z=±1的像点都是w=1,即点w=1有两 个原像z=1和z=-1. 定义2设w=f(z)是集合E上的单值函数，如果对于E中的任意两个不同 点z1及z2,它们在（函数值）集合E中对应的点w1=f(z1)及w2三f(z2）也不 同，则称w=(z)是集E中的一个一一映照（或双方单值映照）.或者说，w= f(z)双方单值地把集E映成集E'. 上述概念（即把一个复变函数看成一个变换）虽然非常简单，可是在复变函数 理论的发展中却起者重大作用.下面举几个具体例子说明这些概念. 例1考虑函数w=az,其中，a是不为零的复常数.虽然这是一个把整个z 平面映为整个w平面的一一映照.依我们对∞所规定的运算，它把z平面上的无穷 远点映为w平面上无穷远点，因此它把闭之平面双方单值地映为闭w平面 令a=r(cos0+isin0),则函数w=az是由下面两个函数复合而成： @=(cos0 ising)z,w ro. 如果把z,w,w都看作是同一个平面上的点，由于w与z的模相同，而w的辐角等于 。21
复变函数 z的辐角加8，因此上列第一个映照，是z平面上的一个 旋转；w与w有相同辐角，w的模是ω的模的r倍，因此 第二个映照是一个以原点为中心的相似变换（图2.2）， 综上所述，映照w=z是由一个旋转和一个相似映照 送合而得， 例2求下列曲线在映照w=z2下的像： 1)平行于坐标轴的直线. x 2)双曲线族x2-y2=c1及2xy=c2. 图2.2 3)位于第一像限内的圆弧z=re”,0<8<π/2 解1)先求直线x=c的像.令z=x+iy,w=u+iv,则 u=x2-y2,v =2xy. 将x=c:代人上面两式，得 u=c号-y2,y=2c1y. 从这两个方程消去y得（当c1≠0时） 搭 这是w平面上的一族抛物线.此外易见z平面上的虚轴x=0被变换成 u=-y2,v=0, 这是w平面上的负实轴，同样道理，它把y=c变成 4=x2-c2,y=2cx, 消去x得 这也是w平面上一族抛物线.容易知道y=0这时被变成w平面上的正实轴。 2)因为u=x一y2,所以双曲线x2-y2=c1的像曲线上的点(u,v),满足 方程 =C1. 又点(x,y)在双曲线上变化时，v=2xy可取全体实数.这就是说，x2-y2=c,在 映照w=z2下的像是w平面上的直线4=C1. 同理，双曲线2xy=c2在映照w=z2下的像是直线v=c2: 3)令w=z2=pe9,因z=re0,所以 p=r2,p=20. 当0在(0，π/2)内变化时，9在(0，x)内变化.因而所求的像是w平面内以原点为圆 ·22·
:第2章复变数面数 心，r为半径的位于u轴上方的半圆周 w=r2e9,0<p<r. 2.2函数极限和连续性 先给出复变函数的极限概念 定义3设函数w=f(z)在区域0<{z-z1<P内有定义.如果对任意 e>0,总能找到6>0，使当0<|z-z0i<8,6≤p时，就有|f(z)-w%|<e成 立，就称当z趋于zo时，f(z)的极限值是w%,记作 limf(z)=wo. 这个定义在几何上意味着：当变点进人z的一个充分小的8邻域时，它们的像 点就落入w的一个给定的e邻域（图2.3）. w1(2 >x0 图2.3 有了极限的概念，就可以定义函数的连续性， 定义4如果等式 limf(z)=f(zo) 成立，就称函数f(z)在点zo连续.如果∫(z)在区域D中的每点都连续，就称∫(z) 在区域D中连续. 定理1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在zo=x+iyo连续的充要条件 是u(x,y)和v(x,y)作为二元函数在(x0,yo)处连续. 证由不等式 u(x,y)-u(x0y)|(或|v(x,y)-v(x,y)|) ◆23