第2章变数面数 的充要条件是： 1)二元函数u(x,y)及v(x,y)在D内可微. 2)u(x,y)及v(x,y)在D内处处满足C-R方程. 例6试证f(z)=e(cosy+isiny)在全平面上解析，且∫(z)=f(z) 证因为u=e*cosy及v=esiny在全平面上都有连续的偏导数，且 3张=eosy-e'siny=-3张， av au 即C-R方程处处成立.由定理3，它是全平面上的解析函数.又由(2.7)式 ()=e'cosy+ie'siny =f(). 读者还记得，实指数函数f(x)=e的一个特征性质就是它的变化率等于函数 自身，即f'(x)=(x).例6中所讨论的函数也有这一性质，下一节我们将把这个 函数，作为复指数函数，并详细研究它 例7研究分式线性函数 w=贴 的解析性，式中，a,b,c,d为复常数，且ad-bc≠0. 解由导数的运算法则，除了使得分母为零的点z=-d/c外，这个函数在全 平面上处处可微.因而，除点z=-d/c外，它在全平面上处处解析.且 accs dyazb)ted 例8讨论w=|z2的可微性和解析性。 解w=|z=x2+y2,所以u=x2+y2及v=0都是全平面上的可微函 数，由 股=2x,器=2，=0=0 可知CR方程只在点(0,0)成立.由定理2，这个函数在z=0可微，且由(2.7)式， 得 f0)=股+i00=0. 对于其他的点z≠0，这个函数不可微.所以这个函数在z=0不解析.从而，这个函 数在复平面上处处不解析 ·29
复变函数 2.5初等函数 这一节把数学分析中几个最常用的初等函数推广到复变量的情形，并研究它 们的性质先引进单叶函数的概念。 定义7如果w=f(z)是区域D内的一一解析映照，则称f(z)是D内的单 叶函数，D称为∫(z)的单叶性区域. 2.5.1冪函数 设n是大于1的自然数，幂函数 w=z 定义在整个闭复平面上，把z=0及∞分别映为w=0及∞.它在有限复平面： 解析，且w=nz-1.当w≠0及∞时，由 2=wTexp(igw),0.1.2.n1. 得知（这里exp{id}即是ei0),w有n个原像.即w=z"在有限复平面上不是一一 映照.下面先研究它在怎样的区域是单叶的.设有两个不同点z1=r1及z2= r2e%经w=z映照成同一点，即 rieim=reinta 则 r1=r2,n91=n92+2kπ，k为任一整数 n=、9,=2+k2 (2.8) 反之，映照w=z“把任何两个满足(2.8)式的点z1及z2变为同一点这就是说，w= z”是区域D内的一一映照的充分必要条件是：D内不得含有任何两个满足条件 z1=|z2,argz1=arg2+k2,k≠0是整数 的点z1和z2, 由上讨论可知，z平面上的任何一个以原点为顶点而跨度不大于2π/n的角域 a<argz<B,B-a≤2x/n ·30·
的·，第2章复变数函数 都是变换w=z”的单叶性区域.现在我们把函数w=z“的定义域限制在这个角 域上，令z=re,则 w=z"r"einp. 现设z在此角域内的一条射线L(不包括原点)：P=a。,a<ao<B上变动，那么 w-r"cxp(ina0).于是|w|=r",0<r<+∞从0（不包括0）增大到+∞，而 argw=nao保持不变.因此，w就相应地描出一条射线L1:argw=nao(不包括 w=0).如果让ao从a(不包括a)递增到（不包括），这射线L将按反时针方向 扫过角域a<argz<B(图2.4)，相应地，argw-ao从na(不包括na)递增到 nB(不包括n3),射线L,则按反时针方向扫过角域na<argw<n3.由此可见，w =z"确定从角域a<argz<P,B-a≤2π/n到角域na<argw<n3上的单叶 映照.由|w】=|z|",可见这个映照把位于角域a<argz<中的一段圆弧|z =R,变为角域na<argw<n3中的一段圆弧w|=R".特别地，w=z把角 域0<argz<π/n单叶地映成上半w平面0<argw<r. A 图2.4 现在考虑张角为2π/n的角域.首先是角域Do:-π/n<argz<π/n,它被单 叶地映成沿负实轴割开了（即去掉负实轴）的w平面-π<argw<π（图2.5） (w) arg: w=z” 上岸 岸 z=(Nm。arg 图2.5 角域的一边argz=-π/n映为w平面的负实轴的下岸argw=-π，另一边 ·31·
复交西数》 argz=π/n映为w平面的负实轴的上岸argw=元.由于w=z”把定义域限制在 角域-π/n<argz<π/n是单叶函数，由此可以定义它的一个单值反函数，我们 把它记作z=("w)a,它把沿负实轴割开了的w平面-π<argw<π映成角域 -x/n<argz<π/n.由复数的开方运算可知，这个反函数的表达式是 z=(w。=/Twiexp(iarg"）,-x<argw<元 同样，角域D：π/n<argz<3π/n,被单叶地映成区域π<argw<3π，这仍是 一个去掉了负实轴的w平面.一般地，w=zR把角域Dk: 2k1x<argz<2k+1x,k=0,1,2.,n-1 n 单叶地映照成沿负实轴割开了的w平面(2k-1)π<argw<(2k+1)π.于是， 把w=z”的定义域限制在角域Dk上就可以确定出相应的单值反函数 z=(m)=9 wTexp）,(2k-1)x<argw<(2k+1D元. 这样，每一个单值函数z二(w)k都把沿负实轴割开了的w平面变成相应的角域 Dk.依习惯用z作自变量.图2.6画出了n-6时，函数w=(2)k的对应关系. (w) (2) w=(2) k0,1,5 图2.6 2.5.2根式函数 下面一般地研究幂函数w=z”的反函数 w=2,n是大于1的自然数. 当z=0及∞时，w分别为0及∞.当z≠0及∞时，令z=r,有 w=2=fcp(62+2k）=epA2）,k=0.1,2,n-1. (2.9) 这就是说，它是一个值函数.多值函数是复函中一个比较复杂的问题，下面以根 ·32·
第2章复变数西数 式函数为例，叙述与多值函数有关的一些基本概念.先讲辐角变化的概念， 设在z平面上有一条起点为a终点为b的曲线l,如果选定点a的辐角arga 当z沿l从a向b运动时，辐角也将从arga开始连续变化，而得到b点的辐角的一 个确定的值argb=arga+a(图2.7).并称a=argb-arga为z沿曲线l的辐角 变化，记为△argz.显然，△，argz与arga的选定值无关.例如，l是|z|=1的上半 圆周（图2.8），当z沿1从1变到-1时，辐角增加了π，因而 △argz=arg(-1)-argl=π. 海X 图2.7 图2.8 现在考虑z沿着一条闭曲线1运动时，它的辐角的变化.这里有两种不同情况： 1.设原点在1的内部（图2.9）.这时当z由点A出发沿着1的正向转一圈回到 A点时，辐角增加了2π，即△argz=2π. 一般地，如果z沿一条闭曲线！的正向绕原点运行了k圈（图2.10），则 △，argz=2kπ. 这里，我们允许k取负整数，这时z实际上是沿1的负向绕原点转|k|圈.更一般 地，可能是绕负向转的圈数比绕正向转的圈数多|k|圈。 图2.9 图2.10 2.设原点在1的外部（图2.11）这时z由点A出发绕1一周回到A时，辐角没 有变化，即 ·33·