复变函数)们 1<+a.代入球面方程后，得到参数1应满足的方程2(x2+y2+4)-4t=0. 其根t=0对应于北极N=(0,0,2),而根1=z号+4就对应于此直线与 球面的交点 4Rez 4Imz 2 z2 Z=（2+4'1zP+4'z2+4 反之如知球面上的点Z,75.从x=月y=寻及1=22消去1，得 2 到z平面上与Z对拉的唯-点2=(2兰2乳) 如知z平面上一个以原点为圆心的圆周为x2+y2=R2,故有4(+7)= R2(2-5)2. 当5≠2时，恰有平行于0平面的平面方程5=R放某个纬圆为 (2+72+(5-1)2=1 s= 若5<1，即球面上南半球面的点，有R2<4,就与z平面上在x2+y2=R2内 的点相对应；若5>1，即球面上北半球面的点，且有R2>4,就与在x2+y2=R 外的点相对应.当R=0时，x=y=0就与=？=5=0对应，即原点映射成 南极：当R=2时，有5=1，故z平面上半径为2的圆周映射成赤道圆周，即有 12+72=1 5=1. 当|z|越大，即R越大时，Z就越靠近北极点N=(0,0,2).当z~∞时，Z就是N 增加了∞点的复数平面称为扩充平面或闭复平面，与它对应的就是整个球 面，称为复数球面或黎曼(Riemann)球面，由上讨论可知，扩充平面的一个儿何模 型就是复数球面.原来的复数平面则称为开平面或有限平面， 关于无穷远点，还作如下一些约定： 1)∞点的实部、虚部及辐角都无意义，其模|∞|=+的 2)若a≠0，则a·∞=9·a=∞，号=∞. 3)若a≠0，则a士0=的士a=∞，品=0,8=m, 4)在闭复平面上任何一个以原点O为中心的圆的外部引z>R,都称为无穷 远点的邻域，从复数球面上看，就是某个纬圈以北的地区， ·14·
第1章复数和平面点集 我们约定，以后某些论断涉及闭平面时，则强调“闭”字，凡是没有特别指明的 地方，均指开复平面 1.2平面点集 1.2.1基本概念 关于平面点集的一些基本概念，在高等数学中已学过，这里先把这些概念回顾 设z是复平面上一点，P是任一正数，点集 {z|z-z01<P} 称为z。的p邻域. 设已给集E,利用邻域可以把复平面上的点分类：设M是复平面上一点，如果 M有一个p邻域完全属于E,M称为E的内点：M的任一P邻域内既有集E的点， 也有非E的点，M称为E的边界点.边界点可以属于集E,也可不属于集E;M有一 个P邻域完全不属于集E,M称为集E的外点. 如果集E的点全部是内点，E称为开集，E的全部边界点的集合，称为E的边 界.如果E的边界全属于E,E称为闭集.如果集E可以包含在原点的某个邻域内， E称为有界集；否则集E称为无界集. 1.2.2区域与曲线 定义2具有下列性质的非空点集D称为区域： 1)D是开集； 2)D中任意两点可以用一条全在D中的折线连接起来（连通性） 区域D加上它的边界C称为闭域，记为D=C+D. 为了研究区域的边界，下面介绍约当(Jordan)意义下的曲线概念.设x(t)及 y(1)是定义在[a,们上的连续函数，则由方程 y=y)或之=z()=x)+iy(r),。≤1≤B x=x(t) 所决定的点集1，称为复平面上的一条连续曲线：设已给一条连续曲线I,如果t1, ·15·
复变函数行：) t2是[a,们上的两个不同的参数值，且它们不同时是[a,们的端点，那么它们就对 应着曲线1上不同的点，即z(t1)≠z(t2),这样的曲线叫做约当曲线或简单曲线； 一条约当曲线，如果满足z()=z(),称为约当闭曲线或简单闭曲线.由定义可 见，简单曲线是一条无重点的连续曲线。 显然，圆是一条简单闭曲线，它把平面分成两个没有公共点的区域，其中一个 有界，一个无界，并且这两个区域都以已给圆为边界.任一条简单闭曲线也把整个 平面分成两个没有公共点的区域，其中一个有界称为它的内区域，一个无界称为它 的外区域，这两个区域都以这条简单闭曲线作为边界，这个结果看来很直观，但是 它的严格证明比较复杂，超出了本课程的范围.用简单闭曲线所围成的区域，是比 较简单的区域，也是通常所考虑的区域 约当闭曲线的内区域D有这样一个性质：域D中任何简单闭曲线的内区域中 的每一点都属于D.一般地，我们把具有这种性质的区域，叫做单连通区域，简称单 连域.不是单连通的区域，称为多连通区域. 复平面上的区域，常是由复数的实部、虚部、模及辐角的不等式所确定的点集 例如，上半平面：lmz>0;左半平面：Rz<0;水平带域：y<Imz<y2,y,2是 实常数；上半圆：|z|<1,lmz>0(也可表为0<argz<π)等等都是单连通区域； 而圆环：r<|z-a<R(r及R是正实常数)及去掉实数轴上的线段-1≤RCz ≤1的竖直带域-2<Rez<2(图1.6)是多连通区域.如果把一个单连通域挖去 若干个点，所得的区域也是多连通域.例如，a点的去心邻域 0<}z-a1<6. 这种多连通域以后常用到.一般说来，多连通区域的边界是由有限条闭曲线及一些 割痕和点组成的（图1.7）. 图1.6 图1.7 ·16
,)第1章复数和平点集 习题 1.用三角式及指数式表示下列复数，并求辐角的一般值： (1)z=2-2i; (2)z=-√3i； (3)z=-2-3i: (4)z 1-cos isin0. 2.解下列方程： (1)z3=-1+i3; (2)z3=-i: (3)z4=-1. 3.如果w是1的立方根中的一个复根，求证 1+w+w2=0. 4.设x+iy=√a+bi,求x,y,这里要求用a,b的代数式表示x,y 5.利用复数的指数式，证明以下等式： a字cos0-专，如a+e, 2sin 22sn切=mr号-oa+加 ,0<0<π 2sin0 6.证明|z1+z22+|z1-z22=2(1z112+|z212),并说明其几何意义 7.4)如果1z=1,证明品=1. 2如果1z<1.1a<1,证明品<1 8.(1)证明 |21+22+.+2m|≥|z1|-|z2|-.-|zm1. (2)设0<a0≤a1≤.≤am,证明：方程 pm（z)=a0z"+a1z"-1+.+an-1z+an=0 在圆|z|<1内无根. 9.证明下列三条件之任一，都是三点z1,z2,23共线的充要条件： 1)二号=实数：2)22+2西+2=实数： (3)存在不全为零的实数A1,入2，入3，使 ·17
复变函数门0 1入1+A2+A3=0 λ1z1+A2z2+A3z3=0. 10.证明：四点共圆共线的充要条件是 路二经=实数 11.如果|z1|=|z2|=|z3{=1,且z1+z2+z3=0,证明z1,z2,z3构成 一内接于单位圆的内接正三角形。 12.设z1,z2是两复数，如果21+2红和1z2都是实数，证明21和22或者都是 实数，或者是一对共轭复数。 13.设a,b是正方形的两个项点，求在所有可能情况下其他的两个顶点. 14.下面复数列是否有极限？如果有的话求出其极限值：如果没有，则说明理 由： ②1宝京方言-7音. 1 (3)1,i,-1,-i,1,i,-1,-i,. 15.设zm→zo,argz表示主值，证明： (1)2m→z0. (2)当z0≠0及负数时，arg2m→argzo,又问当z0=0及负数时结论如何？ (3)当z0=∞时，上述结论是否成立？ 16.求满足下列关系的点z是什么曲线并作图 (1)1z-4|=|z-b; (2)|z-a|+lz-b1=R,R>|b-a1: （以上a,b为复常数，R为正实常数) (3)Re (4)arg (⑤6)经+=a0为实带数： 17.试在复平面上画出满足下列关系的点集的图形，其中哪些关系确定的点集 是区域？它们的边界是什么？ (1)Rez<2: (2)mz≥3： (3)argz|<平；(4)平<argz<号且1<|z<2: ·18·