第】章复数和平面点集 |=ANg(2)=A加g2-Ag2 对于后一个等式应与前面(1.2)式中第二个等式一样理解. 下面举儿个例题说明如何利用复数表示平面曲线· 例6试将圆的方程 A(x2+y2)+mx ny +C=0 改写成复数形式，其中，A,m,n,C为实常数，且A≠0. 解令z=x+iy,则有 x=名+2，y=2, 2 2i 及 x2+y2=z2. 将以上三式代入圆的方程，得复数方程 Azz +Bz Bz +C=0, (1.3) 其中，B=(m+ni)/2. 从这个例子可以看出，任何一条用隐式方程F(x,y)=0表示的平面曲线，都 可表示为复数方程 (2士2,222）=0. 下面讨论方程(1.3)（设A,C为实常数，A≠0，B是复数）.把它改写成 云+异+异+眼-限-， 即 (+A)(在+)=1BAc, 亦即 -AC. 由此可见，当|B|2-AC>0时，复方程(1.3)表示一个圆，其圆心为-B/A,半径 为BAC,当1B:=AC时，方程1.3》表示-个点：当B2-4C<0 时，方程(1.3)是一个虚圆（空集）. 例7求方程 ·9
复变西数 |z-1+|z+2-i|=6 所表示的复数集合 解上式表示点z到点1及点-2+i的距离之和为6，所以这个方程表示以1 及-2+i为焦点，长、短半径分别是3及√26/2的椭圆周.而不等式 |z-1|+|z+2-i|<6及1z-11+|z+2-i|>6, 则分别表示上述椭圆周的内部及外部. 例8求方程 arg(z -i)= 所表示的复数点集 解ag(z-i)是从x轴正向到向量z一i的旋转角.故所给方程表示-一条从i点 出发的与x轴交角为π/4的半射线（不包括起点）. 1.1.4复数的乘方和开方 设n是正整数，z”表示n个z的乘积.当z=0时，z”=0.当z≠0时，设z= reP,由乘法规则，得 z"=r"eimp r"(cosn isinng). (1.4) 显然，上式对n=0(定义z°=1)时也成立.如果定义 2= 则 z=r[cos(-np）+isin(-np)门=r"e-iw (1.5) 特别地，在(1.4)及(1.5)式中，令r=1,得 (cos ising)"=cosn isinng. 这个公式称为德·莫弗(de Moivre)公式，它对任意整数n都成立. 设z为已给复数，方程 w"=z (1.6) 的所有解，称为z的n次方根，记作2.当z=0时，方程(1.6)只有唯一解w=0. 当z≠0时，设z=re,w=pe,代入(1.3)式，并利用德·莫弗公式，得 0Rc三re1, 再比较两端得 p"=r,n0=9+2kπ，k=0,±1，±2，. 由于p和r都是正实数，故由第一式即可唯一确定P,并记之为 ·10·
”「1第1章复数和平南点集 p=(F), 其中，圆括号表示P是r的唯一正实根（算术根）.由第二式可得 日=P+2kx 由此即得出公式 E=()(cos型+，2kx+isin9+2kx) 这个公式里k虽然可以取任意整数，但所得出的复数只有”个是互不相同的，即相 当于k=0,1,2,.,n-1的情形： w=((cos号+n号)】 w()(cos isin). , wa1=()[cos里+2n-1D+isin2+2n-1)m7】 这n个n次根的模都是(F),因此它们都位于以原点为中心，(F)为半径的圆上 且由于相邻二根的辐角相差都是2π/n,所以这n个点刚好把圆周分成n等分.它 们是内接于圆的正n边形的顶点. 加、减、乘、除、开方及乘方这六种运算合称为代数运算.从以上的讨论可见，在 复数域内代数运算是通行无阻的（除了除法要求分母不为零），这是复数域与实数 域的一个重要区别. 例9求一8的全部值. 解把-8表成三角形式为：-8=2(cosπ+isinπ)，则 9-8=2(cos+2kx+1sin+2km）,k=0,1,2. 即 1+iW3,k=0 -8={-2,k=1 1-i3,k=2. 1.1.5复数序列的极限、无穷远点 定义1设z1,z2,.,2n.是一个复数序列，z0是已给复数，如果 ·11
复变函数3 lim I z-zo=0, 就称复数zo是复数列(zn〉的极限，记作 上述定义用“e-N”的语言来说就是：对任给正数ε>0，存在自然数N,使当 n>N时，总有 {zm-z01<e. 也就是说，当n>N时，点zn全部落人以za为圆心，e为半径的圆内 定理1设z0=x0+iy%,zm=xm+iym,n=1,2,.,则1imzn=z0的充 分必要条件是 l1imxn=x0及limy=yo 证由不等式 |xm-x0|或yn-y|≤|zm-z01 即得条件的必要性.而由不等式 Izn-zo-xo+yn-yo 可得条件的充分性. 定理2如果z0≠0，则1imzm=z0的充分必要条件是 lim zn=zo lim Argz.Argzo. 上面的第二个等式应这样来理解：对于Argzo的任-个值argzo,总可以选取一个 序列{argzn},使得argz.→argz0. 证必要性：由三角不等式 {川zm-|z0|{≤引zm-z0 及1lim1zw-zo|=0,即得im}zn|=|zo 下面证明第二个等式.任取Ag2a的一个值 0,以z0为中心，6为半径作一个圆.因zm→z0 故存在自然数N,当n>N时，zm落人这圆内.从 原点引此圆的两条切线，则此两条切线的夹角为 2pd(9(》=inT高7）水图1.4.因此总可 国1.4 以选取Argzn的一个值argzn,当n>N时，有 I argzn -0o<(). 因8→0时，p(8)→0，因而总可以选取8，使P(8)小于任何给定的ε>0.这就证 得第二个等式 ·12·
第1章复数和平面点 充分性：由于 =zn cos(Argz )y.=z sin(Argz), 利用余弦函数及正弦函数的连续性，由所设条件即得 lim=zo cos(Argzo) lim y.=I zo I sin(Argzo). 再利用定理1即得1imzn=z0 如果数列z1,z2,z,.具有这样的性质：对任意正数M,总可以找到一个 自然数N,使当n>N时，有|z。|>M,即当n增大时zm的模可以变得大于任意 预先指定的界限，那么我们就说这个数列收敛于无穷远点，并记作 limz= 通过上面的定义实际上是在复数平面上增加了一个“理想点”一无穷远点 记作∞，对此我们通过复数的球面表示法来作出一个直观的解释. 取一个在原点O与z平面相切的单位球面，过O点作z平面的垂线与球面交于 N点，N称为北极或球极（图1.5）.对于平面上的任一点z,用一条空间直线把它和 图1.5 球极N连接起来，这条直线还和球面相交于另一点Z.显然，对于每一复数z都对 应于球面上不是N的唯一的点Z;反之，球面上除N以外的每一个点Z,也对应于 唯一的复数z.这样，就建立起球面上的点（不包括北极点N)与复平面上的点之间 的一一对应，因而可以用球面上的点Z表示复数z=x+y.从几何上很容易看出， z平面上的每一个原点为圆心的圆周，都对应着球面上的某一个纬圈：这个圆周外 面的点，则对应于相应纬圈以北的点.而且若点z的模越大，它的相应的点Z就越 靠近北极N.为了使得球面上的北极N,也在z平面上有一个对应点，我们就约定 在z平面上引进一个理想点，称为无穷远点. 实际上，如知z平面上的点z=(x,y).设单位球面为2++(5-1)2=1.过 北极N=(0,0,2)与点z的空前直线参数方程为=tx,7=y,5=2-2t,-∞< 13◆