复变函数，、 且z≠0. 例2设z=x+iy,y≠0，y≠士i.证明：当且只当2+y2=1时1十子 是实数. 证1十2是实数等价于 12=(1+）1产2 的 z+222=2+22, 亦即 (z-z)(1-z2)=0. 因y≠0，故2iy=z-2卡0，从而 1-zz=0,」z12=1. % x2+y2=1. 由于上述推导的每一步都是可逆的，故命题得证。 例3求(2)=}兰的实部虚部及模。 解因为 -提#没=影 1-z-2+22 所以 m)=a-,> 因为 1zP=)@=得 所以 ·4·
第1章复数和平面点集 =√得多 例4试证明实系数多项式的根共轭存在. 证设zn是n次多项式 p(2)=z+az1+.+an-iz+an 的根，其中，各系数a1,a2,.,an都是实数.由共轭复数的性质，有 p(20）=(zo)+a1(z0)m-1+.+am-1z0+am =26+a1z6+.+amz0+am =z6+a1z6+.+am-1z0+am=p(z0)=0. 这就证得zo也是p(z)的根. 例5设z1,z2为任意复数，证明 |z1+22|2=|z112+|z2|2+2Re(z1z2). 证由共轭复数的性质，有 |z1+z212=(z1+22)(z1+z2)=(z1+z2)(z1+z2) =1z112+|z212+z122+22z1 而 z1z2+z2z1=z122+(z12)=2Re(z1z2), 所以 |z1+z212=|z112+|z212+2Re(z1z2). 1.1.3复数的几何表示、模与辐角 在平面上取定直角坐标系Oxy,命坐标为(x,y)的点与复数z=x+iy相对 应，显然，对于每一个复数，平面上都有唯一的一个点与之相应；反之，对于平面上 的每一个点有唯一的复数与之相应.这就是说，复数的全体和平面上的点之间建立 了一一对应关系.当平面上的点被用来代表复数时，我们就把这个平面叫做复数平 面.复平面上x轴上的点代表实数，故x轴称实轴.y轴上的点（除坐标原点）代表 纯虚数iy,y≠0，故y轴也称为虚轴.以后我们对复数和平面上的点将不加区别， 代表复数z的点，就称点z.例如说点3+2i也是指这个复数.按照表示复数的字母 z,w,.,把相应的复平面简称为z平面，w平面. 复数z也可以用平面上的一个自由向量来表示，这个自由向量在实轴和虚 轴上的投影分别为x和y,它的起点可以是平面上任意一点.如果起点是原点，则 向量的终点即是平面上的点z,点z的位置也可以用它的极坐标，和P来确定 ·5·
复变函数 (图1.1). r=x2+y,tan9=￥ s=x+iy r就是复数z的模，P称为复数z的辐角，记作 r=z,Argz. 关于辐角有两点必须注意： 1)对于任一复数z≠0有无穷多个辐角.我 们约定，以下用argz表示Argz中的某一个确定 的值，必要时将指出是哪一个值.对于Argz的任 图1.1 何一个确定值argz,则 Argz=argz+2nx,n为任意整数 给出了z的全部辐角.又把落在一π<P≤π这个范围内的值称为辐角的主值，也 记作argz.显然，主值argz是由z唯一确定的.例如，在正、负实轴上辐角的主值分 别是0及π；在上、下半虚轴上辐角的主值分别是π/2及一π/2；一般地根据辐角主 值范围的规定，可得 arctan， (z在第一、四象限内) argz =x+aretan (z在第二象限内) -x+arctan-， (z在第三象限内) 2)当z=0时，辐角是无意义的 知道了复数z(≠0)的模，和辐角P后，这个复数也就完全确定了.因 x rcose,y rsing, 故 z=r(coso isinp). 这就是复数的三角表示.例如 -2i=2[cos(-）+isin(-)], 1+i=2(cos还+isin牙) 利用欧拉(Euler)公式 eis cos ising, 还可以把复数写成指数形式 ·6
:·第1章复数和平面点集 z=reir. 例如：-2i=2ei2,1+i=√2e4,i=e2,er=-1. 在最后这个等式中，e来自微积分、π来自几何学、，i来自代数.结合起来成e"后 就给出-1，并导出计算的基本单位. 两个指数形式（或三角形式）的复数z1=r1c,及z2=r2c相等的充要条 件是 r1=T2,91=92+2kr, 其中，k为任意正负整数或零.而两个复数共轭的条件则可以用关系 z=z|,argz=-argz,argz≠π 来表示. 现在说明复数四则运算的几何意义，先讲加减法的儿何意义.两个复数相加减 时，其实部和虚部分别相加减，因此代表复数的向量应按平行四边形法则或三角形 法则相加减，如图1.2所示. 由图1.1及图1.2，可以得到关于复数模的几个重要不等式： 1)Ix|=|Rezl≤|z|, y|=|1mz≤z 2)|z≤1Rez|+|lmz|. 3)|z1+z2|≤|z1|+|z2|(三角形两边和≥ 第三边) 4)|川z11-|z21川≤|z1-z2|(三角形两边差 ≤第三边). 在3)及4)的两个不等式中，等号当且只当z1和z2 有相同的辐角才成立.这时三角形成为退化的（即三 图1.2 点共线).这两个不等式还可以用代数方法证明.由前面例5的结果及1)的第一个 不等式，得 |z1+z22=|z1I2+!z212+2Re(z1z2) ≤z12+|z212+2|z1221 =1z112+|z22+2|z11z21 =(1z11+|z2)2, 所以 1z1+z2≤1a1|+|z21. 4)中的不等式可类似证明. 利用3)的不等式及数学归纳法，读者可自行证明： 。7
复变函数 5)|z1+22+.+zm≤|z11+|z2|+.+|zm1. 再强调指出，|z1-z2}在几何上就是点z1和z2之间的距离.因此，对任意固 定的复数zo和实数p>0,由条件 |z-z0|=p 所确定的复数集合，就是以z。为中心p为半径的圆周.集合{z|!z-z。<p}则 表示上述圆周的内部（不包括圆周），集合{z川z-z0>ρ}则是上述圆周的外 部. 利用复数的指数形式作乘除法不仅比较简单，而且有明显的几何意义.设有两 个复数 z1=rie=r(cos isin), z2 rzei ra(cos2 isingz). 那么 +i(sincos2+cosisin)] =rr2[cos(9:2)+isin(+2)] =r1r2e1+2) 这就是说，两个复数的乘积是这样一个复数：它的模等于原两复数模的乘积，它的 辐角等于原来两复数辐角之和.即 Iz1 zz=z2,Arg(z:zz)=Argz Argzz. (1.2) 由于第二个等式的两边各是无穷多个数，应这样来理 解：对于Arg(z1z2)的任一值，一定有Argz1及 Argz2的各一值与它相应，使得等式成立：反过来也 是这样. 由上讨论得知，把表示21的那个向量转动一个 角度92，并将长度“放大”2倍，就得到代表z1z2的 向量.应该注意，当r2<1时，所谓“放大”其实是缩 小（图1.3）.例如，复数e0的模为1，辐角为0.因此把 图1.3 向量z转动一个角就得到向量z.特别地，由于ⅰ= e2,所以向量iz是一个与向量z垂直，且与z长度相等的向量 对于除法，同样有公式(z2≠0) =月[cos(g,-9,)+sin9-9小. ·8