目 次 总序.（） 前言.(f) 第1章复数和平面点集.(】) 1.1复数.(1) 1.2平面点集.（15） 第2章复变数函数(20） 2.1复变数函数的概念.（20) 2.2函数极限和连续性.（23) 2.3导数和解析函数的概念.（25) 2.4柯西-黎曼方程.(27) 2.5初等函数.（30)》 第3章解析函数的积分表示.(50) 3.1复变函数的积分.(50) 3.2柯西积分定理.（54) 3.3原函数.(56) 3.4柯西积分公式.(59) 3.5解析函数的性质.（63) 第4章调和函数.(69) 4.1解析函数与调和函数的关系.(69) 4.2调和函数的性质和狄利克雷问题.（72) 第5章解析函数的级数展开. .(77) 5.1复级数的基本性质.(77)
复变函数 5.2幂级数. .(82) 5.3解析函数的泰勒(Taylor)展开.(85) 5.4罗朗(Laurent)级数.（91） 5.5解析函数的孤立奇点.(98)》 第6章留数及其应用.(107) 6.1留数定理.(107) 6.2积分计算.（们11） 6.3辐角原理.(126) 第7章解析开拓.（们34） 7.1唯一性定理和解析开拓的概念.（们34) 7.2含复参变量积分及T函数.(138) 第8章保形变换及其应用.(145) 8.1导数的几何意义.(145) 8.2保形变换的概，念.(147) 8.3分式线性变换 .(149) 8.4初等函数的映照.(156) 8.5许瓦兹-克利斯托菲变换.(163) 8.6平面场.(171) 第9章拉氏变换 .(186) 9.1拉氏变换的定义.(186) 9.2拉氏变换的基本性质.（们89） 9.3由像函数求本函数.(200) 附表1基本法则表. . (209) 附表2拉普拉斯变换表.(210) 习题参考答案.(218) ·i·
第1章复数和平面点集 复变函数这门科学的一切讨论都是在复数范围内进行的.本章内容是中学复 数知识的复习和补充. 1.1复数 1.1.1复数的四则运算 复数的概念是为了解决数学本身发展过程中所遇到的矛盾而产生的.由于二 次方程 x2+1=0 (1.1) 在实数范围内没有解，为了使这个方程有解，就把数的概念扩大，引进了虚单位 i=I, 要求它能和普通的实数一道进行运算，服从实数范围内原来成立的那些基本运算 法则，并满足条件 =-1. 这样引进一个虚单位后，不仅方程(1.1)有了两个解x=±i,而且（以后将要证明） 任何代数方程的解都可以用a+ib(a,b为实数)这种形式的数表示出来。 我们把形如 z=x +iy 的数称为复数，其中，x和y是任意实数，分别称为z复数的实部和虚部.记为 x=Rez,y Imz. ·1·
复变函数· 特别地，当lmz=0时，z=Rez+i0=x是实数；当Rez=0且lmz≠0时， z=ilmz=iy称为纯虚数， 两个复数z1=x1+iy1,z2=x2+iy2相等，是指它们的实部和虚部分别相等， 即 X1三X2,y1=V2. 如果一个复数的实部和虚部都等于零，就称这个复数等于零，即0+0=0. 两复数x+iy和x-y称为相互共轭的，如果其中之一用z表示，则另一个用 z表示.显然实数的共轭仍为该实数. 设有两个复数z1=x1+y1和z2=x2+iy2,它们的四则运算规则定义如下： 加法和减法：21及z2的和与差分别为 z1+z2=(x1+x2)+i(y1+y2) z1-22=(x1x2)+i(y1-y2). 乘法：z1和z2相乘，可以按多项式的乘法法则来进行，只需将结果中的代 之以-1，即 z1·z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1). 特别地，当z=x+iy时，有 2z=x2+y2 通常称非负实数√x2+y为复数z的模，记为|z|.于是可写成下式 z2=|z2. 除法：z1除以z2≠0的商定义为 =(xix2+yyz)+i(xay-xiy2) x经+y 读者很容易利用乘法运算规则直接验证，这样定义的除法运算是乘法运算的逆运 算，即有 a. 从上面的运算规则可见，复数运算满足下列规律，设z1,22,23是复数，则 21+z2=22+21,21·z2=z2·z1(交换律)： （z1+z2)+23=21+（z2+23),(z1·2)23=z1(z2·z3)(结合律)： 21(22+23)=2122+21z3(分配律). ·2·
第】章复数和平而点集 全体复数引进了上述相等关系及算术运算后称为复数域.在复数域中，两个复 数是不能比较大小的，这是复数与实数的一个不同之处，这是因为实数域中的大小 用“>”表示.且存在ACR,=(0,+∞)具有下列性质：1'Va≠0，a或-a(但不 同时)∈A;2若a,B∈A,则a+B∈A3若a,P∈A,则a3∈A.当A存在 时，记a>B,即a-3∈A. 不过，对复数域是不存在非空集合A满足上述条件.若不然，假定存在ACR.· 使1°一3成立.取a=i∈A,再取B=2i,a=1∈A.若a+B=3i∈A,但8 =i·2i=-2∈A.这与假设矛盾.故i∈A,同样-iEA.因此A不存在，所以 无法判断复数的大小. 例1对于两复数z1,z2,求证z1z2=0的充要条件是z1与z2中至少有一个 为零 证1)设z1=0,由乘法法则，得 z1z2=(0+0i)(x2+iy2)=0. 2)设z1z2=0且z2≠0.则z存在，于是由1)可得 （z122)z2=0·z2=0. 另一方面，有 (z1z2）z2=z1(z2z2）=21·1=z1. 比较以上两式，可知z1=0. 由上例的结论可知，两个都不为零的复数的乘积必不为零，这给复数运算带来 很大的方便，我们知道，并非数学中所研究的对象都有这一性质.例如，矩阵的乘法 就不具备这个性质， 1.1.2共轭复数 共轭复数的运用，在复数运算上有着重大意义.先把它的一些运算性质罗列如 下： 1)z=z 2)z+z 2Rez,z -z 2ilmz. 3)z1±z2=z1±z2. 22 5)zz=(Rez)2+(1mz)2=|z|2. 这些性质都不难证明，留给读者做练习.此外，由性质2)的第2个式子可知，复数？ 是实数的充要条件是z=z;由第1个式子得知，z是纯虚数的充要条件是z=-2, 。3