2存在条件:当P(x,y),Q(x,y)在光滑曲线弧L 上连续时,第二类曲线积分存在 3组合形式 P(x,y)+」,Q(x,y) P(x)+xy)=F而 其中F=P+Q,d=d+d 上页
2.存在条件： , . ( , ), ( , ) 上连续时 第二类曲线积分存在 当P x y Q x y 在光滑曲线弧L 3.组合形式 = + + L L L P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) F Pi Qj, ds dxi dyj. 其中 = + = + . = L F ds
4.推广 空间有向曲线弧rJPd+g+Rt P(xn,l=m∑P(5,n)△x i=1 「(x,,)=m∑Q(5,m,5A → i=1 R(x,y,z)=lm∑R(,m,)△x 入->0 i=1 上页
4.推广 空间有向曲线弧 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i P x y z dx = P i x = → . Pdx + Qdy + Rdz ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i Q x y z dy = Q y = → ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i i i n i i R x y z dz = R z = →
5性质 (1)如果把L分成L和L2,则 生+=P+Qb+P+Q小 (2)设L是有向曲线弧,-L是与L方向相反的 有向曲线弧,则 王∫,P(x,)+(x,=JP(x,y)+(x,y)h 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 上页
5.性质 . (1) , 1 2 1 2 + = + + + L L L Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy 如果把L分成L 和L 则 有向曲线弧 则 设 是有向曲线弧 是 与 方向相反的 , (2) L ,−L L 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. + = − + −L L P(x, y)dx Q(x, y)dy P(x, y)dx Q(x, y)dy
三、对坐标的曲线积分的计算 定理设P(x,y),Q(x,y)在曲线弧上有定义且连 续,L的参数方程为+=g), 当参数单调地由a变 ∪y=v(t), 生到耐点M(x从的起点沿运动到终点B q(t),y(1)在以a及端点的闭区间上具有阶连 王续导数且0+y°(00则曲线积分 』P(x+x,)春在 上页
三、对坐标的曲线积分的计算 ( , ) ( , ) , , ( ) ( ) 0, ( ), ( ) , ( , ) , ( ), ( ), , ( , ), ( , ) 2 2 存 在 续导数 且 则曲线积分 在 以 及 为端点的闭区间上具有一阶连 到 时 点 从 的起点 沿 运动到终点 续 的参数方程为 当参数 单调地由 变 设 在曲线弧 上有定义且连 + + = = L P x y dx Q x y dy t t t t M x y L A L B t y t x t L P x y Q x y L 定理
且』P(x,d+(x,y)d ={Plo(.(o)lp()+gp(y(o)()t 特殊情形 (1)L:y=y(x)x起点为a,终点为b 牛则P+h=Pxy(+x((k (2)L:x=x(y)点为e,终点为d JI, Pdx+ody=(PIx(), ylx'(y)+Q(x(y), yl)dy
P t t t Q t t t dt P x y dx Q x y dy L { [ ( ), ( )] ( ) [ ( ), ( )] ( )} ( , ) ( , ) = + + 且 特殊情形 (1) L : y = y(x) x起点为a，终点为b. Pdx Qdy {P[x, y(x)] Q[x, y(x)]y (x)}dx. b L a 则 + = + (2) L : x = x( y) y起点为c，终点为d. Pdx Qdy {P[x( y), y]x ( y) Q[x( y), y]}dy. d L c 则 + = +