《线性代数》课程PPT教学课件（B）第五章 相似矩阵与二次型_5-5二次型及其标准形

由于对任意的实对称矩阵A,总有正交矩阵P, 使P-1AP=人，即P'AP=人.因此任意一个实二次型 都可以化为标准形. 1.用正交变换化二次型为标准形 定义5.3.3如果线性变换X=CY的系数矩阵C=(cnxm 是正交矩阵，则称为正交线性变换，简称正交变换 显然正交变换是可逆的

1 , , , . A P P AP P AP       由于对任意的实对称矩阵 总有正交矩阵 使 即 因此任意一个实二次型 都可以化为标准形. 1.用正交变换化二次型为标准形 定义5.3.3 如果线性变换X=CY的系数矩阵C=(cij)n×n 是正交矩阵，则称为正交线性变换，简称正交变换. 显然正交变换是可逆的

定理5.5.1任给实二次型f=XAX('=A)总有 正交变换X=PY,使f化为标准形 ∫=入片+元片+.+入y 其中，几2，.，2是矩阵的特征值. 例1求正交变换X=PY,把二次型 f=4x+3x子+2x2x3+3x化为标准形. 解1)二次型的矩阵为： 40 A= 03 0 13

2 2 2 1 1 2 2 1 2 5 ( ) , , . .5.1 n n n f X AX A A X PY f f y y y A                 任给实二次型 ，总有 正交变换 ，使 化为标准形 其中 ， 是矩阵 定 的特征值 理 2 2 2 1 2 2 3 3 1 4 3 2 3 . X PY f x x x x x      例 求正交变换 ，把二次型 化为标准形 解:(1)二次型的矩阵为： 4 0 0 0 3 1 0 1 3 A       

0 0 (2)由§5.4例1知存在正交矩阵 1 1 P= 1 使得 「2 00 P-AP=P'AP= 040 004 (3)作正交变换X=PY,则 f=X'AX=Y'P'APY=2y+4+4y

(2)由§5.4例1知存在正交矩阵 0 1 0 1 1 0 2 2 1 1 0 2 2 P         1 2 0 0 0 4 0 0 0 4 P AP P AP           使得 2 2 2 1 2 3 f  XAX  YPAPY  2 y  4 y  4 y (3)作正交变换X=PY,则