定理设函数f(x)在区间(a,b)内可导，则函数f(x)在区间(a,b)内单调增加(单调减少)的充分必要条件是：f(x)≥0(f(x)≤ 0),xE(a,b),而f(x)=0只在个别点处成立注意：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) 0( ( ) 0), ( , ), ( ) 0 . f x a b f x a b f x f x x a b f x = 设函数 在区间 内可导，则函数 在区间 内单调增 单调 的 充分必要条件是： 而 只在个别点 少 理 加 减 处成立 定 注意:函数的单调性是一个区间上的性质， 要用导数在这一区间上的符号来判定，而不 能用一点处的导数符号来判别一个区间上的 单调性．
例1 证明函数y=x-ln(1+x2)是单调增加的提示与分析：单调增加f'(x) ≥ 0.证y=x-ln(1+x2)D = (00, +80)1(1-x)2≥0.y'=[x-In(1+x)}= 12x1+x21+x?所以函数y=x-ln(1+x2)是单调增加的
例1 ln(1 ) . 证明函数y x x = − + 2 是单调增加的 提示与分析： 单调增加 f x ( ) 0. 证 2 y x x = − + ln(1 ), D = − + ( , ). 2 y x x = − + [ ln(1 )] 2 1 1 2 1 x x = − + 2 2 (1 ) 1 x x − = + 0. 所以函数y x x = − + ln(1 ) . 2 是单调增加的
例1 证明函数y=x-In(1+x2)是单调增加的,-32516349102
例1 ln(1 ) . 证明函数y x x = − + 2 是单调增加的
例2讨论函数y=e*-x-的单调性解 ： y' = e* -1, D = (-80,+0):在(-80,0)内,y<0,函数单调减少;在(0,+oo)内,y>0,函数单调增加
例2 1 . 讨论函数y x = − − e x 的单调性 解 y D = − = − + e x 1 ( , ). ， − 在( ,0) , 0 内 y ，函数单调减少； 在(0, ) , 0 . + 内 y ，函数单调增加
例2 讨论函数y=e-x-1的单调性1816y=e*-x-11412上升10下降单调区间-2023-1函数在整个定义域内不是单调的，但在子区间上单调。如何求函数的单调区间？
例2 1 . 讨论函数y x = − − e x 的单调性 e 1 x y x = − − 函数在整个定义域内不是单调的，但在子区间 上单调． 单调区间 如何求函数的单调区间？ 下降 上升