记号而已，加法没有专门的记号，减法用记号丫一表示，例 如父m表示40一3，关于乘法，巴比伦人是在整数范围 内进行的，其记号是一】·如果要计算36×5，他们的 做法是30×5十6×5。这可以看作是乘法分配律的萌芽。为了 便于计算，他们大约在公元前2000年以前已经编制了从1× 1到60×60的乘法表，并用来进行乘法运算了。 关于除法，巴比伦人进行的是整数除以整数的运算，这种 运算可以采用与倒数相乘的办法来进行，于是经常要使用分 数。在巴比伦人遗留下来的数学泥板中有许多数表，其中包括 把是形式的数（这里。=235'）化为有限位的六十进制“小 数”。这个倒数表可以用现代的记号表示为 2 30 3 20 1 20 45 121 44 26 40 其意思是 1= 30 260 120 3 60 ◆年。 145 80602, 1160000 81=60 对于不能写作有限位小数”的数如，品吉等随用近 -11
似值表示，例如把表示为 8+34+17+8+34+17 60+602+60+60+605+606 除了乘除法之外，巴比伦人还能借助于泥板上的数表来 进行平方、开平方、立方、开立方的运算。对√2的近似表达 也已达到了很高的水平，但是还没有根据证明他们已认识了 无理数。 3.巴比伦的代数知识 大约于公元前2000年，古代巴比伦人已能使用代表抽象 概念的代数语言，可能由于许多代数问题都与几何有关，因此 他们常常用“长”，“宽”，“面积”来代表未知数和它们的乘积 等。 例如“给定矩形的周长和面积，试求边长”也就是相当于 求解方程组 x十y=a, xy=b。 早期巴比伦代数中的一个基本问题是：“求一个数，使它 和它的倒数之和等于一个给定的数。”用现代的记号来写就是 x十2=a, 即x2-a.x十1=0。 对于这个二次方程，他们给出的答案相当于 +√号)-1和号-√（号）-1。 由于当时还没有负数的概念，所以负根略去不记，这表明 巴比伦人实际上已经会解二次方程了。 通过解二次方程可以求解一些高次方程。例如“我把长乘 宽的面积10，我把长自乘的面积，我把长大于宽的量自乘，再 -12一
把这个结果乘以9，这个面积等于长自乘所得的面积，问长和 宽各是多少？” 用现代的记号表示为方程组 xy=10, 9(x-y)2=x2。 在求复利问题的时候，甚至巴比伦人还能解指数方程。例 如“有一笔钱，利息率为每年20%，问经过多长时间以后利息 与本金相等？”这实际上是求解指数方程 (1.2)=2。 解的结果是x=4年减去(2+8+器)月。 上述例子表明古代巴比伦在代数学上的成就确实很高。 纽格包尔()tto Neugebauer)和萨克斯(Sachs)于1945 年对收藏在哥伦比亚大学普林顿收藏馆的第322号巴比伦数 学泥板（简称为普林顿322号）作了成功的解释。普林顿322 号包括基本上完整的三列数字。左边应该还有第四列数，但已 佚失。将它用现代十进位符号改写，得到图1-3。显然最右边 的那一列只不过是用来表示行数的，他们两人还发现：两列中 的对应数字（除了四个例外）正好构成一个边长为正整数的直 角三角形的斜边（图1-3中的中间一列）和一个直角边。在图 1-3中带括号的四个值是例外值，放在经我们改正的数字的 右边。 现在人们把象(3,4,5)这样一组能作为一个直角三角形 的边的正整数称为毕达哥拉斯数（简称为毕氏三数）如果这样 一组数除了1以外，没有其他公因子，则就称它为素毕氏三 数。(3,4,5)是素半氏三数，而(6,8,10)则不是。 现在我们已经证明了所有的素毕氏三数(a,b,c)能用下 列参数式表达： -13
119 169 3367 4825（11521) 4601 6649 123 12709 18541 生 65 97 5 319 481 2291 3541 799 1249 78 481(541) 769 4961 8161 45 75 1679 2929 接 161(25921) 289 13 1771 3229 1 56 106(53) 图1-3 b T 120 119 169 12 5 3456 3367 4825 64 2 4800 4601 6649 75 2 13500 12709 18541 125 54 72 65 97 9 4 360 319 481 20 9 2700 2291 3541 54 25 960 799 1249 32 15 600 481 769 25 12 6480 4961 8161 81 40 60 45 75 2 2400 1679 2929 48 240 161 289 15 2700 1771 3229 50 2 90 56 106 9 图1-4 a=2uv, b=u2-v2,c=u2+v2。 这里，u和v互素，奇偶性不同，并且u>v,例如，u =2,v=1则得素毕氏三数a=4,b=3,c=5。 假定我们用普林顿322号数学泥板上给出的斜边c和直 -14-
角边b来确定那个边为正整数的直角三角形的另-一边a,则 得如图1-4的毕氏三数。我们还注意到，图14中的毕氏三 数，除了第11行和第15行外，都是素毕氏三数。为了便于研 究和讨论，我们也列出了这些毕氏三数的参数值和v。(图 1-4)对数学泥板的解释工作现在还在继续进行，今后也许还 会有新的发现。 4.巴比伦的几何知识 古代巴比伦人的几何知识，与他们在代数学上所取得的 成就来比，相对地要逊色得多。巴比伦几何学的主要特征是它 的代数性质，一些比较复杂的问题虽然以几何术语来表达，但 实质上还是一些特殊的代数问题。从泥板的资料可知巴比伦 人在公元前2000年到前1600年，就能计算长方形、直角三角 形和等腰三角形（也许还知道一般三角形）的面积，长方体以 及以特殊梯形为底的直棱柱体积，在计算圆的周长和面积时 取π值为3。 从上述两个古代东方文明古国的数学知识来看，他们各 自独立地发明了计数和计算方法，如果说古巴比伦人突出的 成就在于代数方面的话，侧古埃及人却是在儿何方面。 第二节中国春秘战国以前的 数学、墨家学派 距今约一万年前，我国进入新石器时代，在浙江余姚的河 姆渡发现了七千年前的遗址。著名的西安半坡遗址距今约6 千年。公元前21世纪（距今四千多年）出现夏朝。约500年后 由商朝代替。公元前1200年建立周朝，公元前771年的周朝 称为西周，以后进入春秋时代。 -15