实用标准文案 指数函数 1.指数函数0定义 函数y=a(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R 2.指数函数0图象和性质 在同坐标系中分别作出数y2,y(),y=0,=()0图象 y=a(aoa≠D 我们观察y=2,y=/1 2),y=10x,y= 图象特征,就可以得到 (a>0且a≠1)O图象和性质。 0<a<1 象 定义域:R 性 (2)值域:(0,+∞) 质 (3)过点(0,1),即x=0时,y=1 (4)在R上是增函数 (4)在R上是减函数 指数函数是高中数学中0一个基本初等函数,有关指数函数O图象与性质O 题目类型较多,同时也是学习后续数学内容0基础和高考考查0重点,本文对此 部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨 1.比较大小 例1已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b)与 精彩文档
实用标准文案 精彩文档 指数函数 1．指数函数の定义： 函数 y = a (a 0 a 1) x 且 叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数定义域是 R 奎屯 王新敞 新疆 2.指数函数の图象和性质： 在同一坐标系中分别作出函数 y= x 2 ，y= x 2 1 ，y= x 10 ，y= x 10 1 の图象. 我 们 观 察 y= x 2 ， y= x 2 1 ， y= x 10 ， y= x 10 1 图 象 特 征 ， 就 可 以 得 到 y = a (a 0 a 1) x 且 の图象和性质。 a>1 0<a<1 图 象 6 5 4 3 2 1 -1 -4 -2 2 4 6 0 1 6 5 4 3 2 1 -1 -4 -2 2 4 6 0 1 性 质 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过点（0，1），即 x=0 时，y=1 （4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数 指数函数是高中数学中の一个基本初等函数，有关指数函数の图象与性质の 题目类型较多，同时也是学习后续数学内容の基础和高考考查の重点，本文对此 部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例 1 已知函数 2 f x x bx c ( ) = − + 满足 f x f x (1 ) (1 ) + = − ，且 f (0) 3 = ，则 ( )x f b 与
实用标准文案 f(c)0大小关系是 分析:先求bc⑩值再比较大小,要注意b,cO取值是否在同一单调区间 内 解 +x)= 函数f(x)O对称轴是x=1 故 又f(0)=3, 函数fx)在(∞]上递减,在[+∞)上递增. 若x≥0,则3≥22≥1,∴f(3)≥f(2); 若x<0,则3<2 综上可得f(3)≥f(2),即f(c)≥f(b2) 评注:①比较大小常用方法有:作差法、作商法、利用函数O单调性或中 间量等.②对于含有参数0大小比较问题,有时需要对参数进行讨论 2.求解有关指数不等式 例2已知(a2+2a+5)>(a2+2a+5),则x⑩取值范围是 分析:利用指数函数单调性求解,注意底数O取值范围. 解 +2a+5=(a+1)2+4≥4>1 函数y=(a2+2a+5)在(-∞,+∞)上是增函数, 3x>1-x,解得x74·xO取值范围是,+∞ 评注:利用指数函数O单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同O 指数式,并判断底数与10大小,对于含有参数O要注意对参数进行讨论 3.求定义域及值域问题 例3求函数y=√h-60定义域和值域. 解:由题意可得1-6-2≥0,即6-2≤1, x-2≤0,故x≤2.∴函数f(x)0定义域是(∞,] 令t=6-2,则 又∵x≤2 0≤1-1<1,即0≤ 精彩文档
实用标准文案 精彩文档 ( )x f c の大小关系是_____． 分析：先求 b c ， の值再比较大小，要注意 x x b c ， の取值是否在同一单调区间 内． 解：∵ f x f x (1 ) (1 ) + = − ， ∴函数 f x( ) の对称轴是 x = 1． 故 b = 2 ，又 f (0) 3 = ，∴ c = 3． ∴函数 f x( ) 在 (−∞，1 上递减，在 1，+∞) 上递增． 若 x≥0 ，则 3 2 1 x x ≥ ≥ ，∴ (3 ) (2 ) x x f f ≥ ； 若 x 0 ，则 3 2 1 x x ，∴ (3 ) (2 ) x x f f ． 综上可得 (3 ) (2 ) x x f f ≥ ，即 ( ) ( ) x x f c f b ≥ ． 评注：①比较大小の常用方法有：作差法、作商法、利用函数の单调性或中 间量等．②对于含有参数の大小比较问题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例 2 已知 2 3 2 1 ( 2 5) ( 2 5) x x a a a a − + + + + ，则 x の取值范围是___________． 分析：利用指数函数の单调性求解，注意底数の取值范围． 解：∵ 2 2 a a a + + = + + 2 5 ( 1) 4 4 1 ≥ ， ∴函数 2 ( 2 5)x y a a = + + 在 ( ) − + ∞， ∞ 上是增函数， ∴ 3 1 x x − ，解得 1 4 x ．∴x の取值范围是 1 4 + ， ∞ ． 评注：利用指数函数の单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同の 指数式，并判断底数与 1 の大小，对于含有参数の要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例 3 求函数 2 1 6x y − = − の定义域和值域． 解：由题意可得 2 1 6 0 x− − ≥ ，即 2 6 1 x− ≤ ， ∴ x − 2 0 ≤ ，故 x≤2 ． ∴函数 f x( ) の定义域是 (−∞，2． 令 2 6 x t − = ，则 y t = −1 ， 又∵ x≤2 ，∴ x − 2 0 ≤ ． ∴ 2 0 6 1 x− ≤ ，即 0 1 t≤ ． ∴ 0 1 1 ≤ − t ，即 0 1 ≤y ．
实用标准文案 函数⑦值域是[) 评注:利用指数函数O单调性求值域时,要注意定义域对它①影响 4.最值问题 例4函数y=a2+2a-1(a>0且a≠)在区间-1上有最大值14,则a0值 分析:令=a可将问题转化成二次函数0最值问题,需注意换元后1①取值 范围 解:令t=a,则t>0,函数y=a2+2a-1可化为y=(+1)2-2,其对称轴为 当a>1时,x∈[-l ≤a2≤a,即≤t≤ 当t=a时,ynm=(a+12-2=14. 解得a=3或a=-5(舍去); 当0<a<1时, 时 解得a=1或a=-1(舍去),∴aO值是3或1 评注:利用指数函数0单调性求最值时注意一些方法运用,比如:换元法, 整体代入等 5.解指数方程 例5解方程3+2-3-x=80 解:原方程可化为9×(3)2-80x32-9=0,令t=3(>0),上述方程可化为 92-80y-9=0,解得t=9或1=-1(舍去),∴y=9,∴x=2,经检验原方程O 解是x=2 评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根 6.图象变换及应用问题 例6为了得到函数y=9×3+50图象,可以把函数y=3图象() A.向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B.向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度 C.向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度 精彩文档
实用标准文案 精彩文档 ∴函数の值域是 01，) ． 评注：利用指数函数の单调性求值域时，要注意定义域对它の影响． 4．最值问题 例 4 函数 2 2 1( 0 1) x x y a a a a = + − 且 在区间 [ 11] − ， 上有最大值 14，则 a の值 是_______． 分析：令 x t a = 可将问题转化成二次函数の最值问题，需注意换元后 t の取值 范围． 解：令 x t a = ，则 t 0 ，函数 2 2 1 x x y a a = + − 可化为 2 y t = + − ( 1) 2 ，其对称轴为 t =−1． ∴当 a 1 时，∵ x − 11，， ∴ 1 x a a a ≤ ≤ ，即 1 t a a ≤ ≤ ． ∴当 t a = 时， 2 max y a = + − = ( 1) 2 14． 解得 a = 3 或 a =−5 （舍去）； 当 0 1 a 时，∵ x − 11，， ∴ x 1 a a a ≤ ≤ ，即 1 a t a ≤ ≤ ， ∴ 1 t a = 时， 2 max 1 y 1 2 14 a = + − = ， 解得 1 3 a = 或 1 5 a = − （舍去），∴a の值是 3 或 1 3 ． 评注：利用指数函数の单调性求最值时注意一些方法の运用，比如：换元法， 整体代入等． 5．解指数方程 例 5 解方程 2 2 3 3 80 x x + − − = ． 解：原方程可化为 2 9 (3 ) 80 3 9 0 x x − − = ，令 3 ( 0) x t t = ，上述方程可化为 2 9 80 9 0 t t − − = ，解得 t = 9 或 1 9 t =− （舍去），∴ 3 9 x = ，∴ x = 2 ，经检验原方程の 解是 x = 2． 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例 6 为了得到函数 9 3 5 x y = + の图象，可以把函数 3 x y = の图象（ ）． A．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 B．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 C．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度
实用标准文案 D.向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度 分析:注意先将函数y=9×3+5转化为t=32+5,再利用图象0平移规律进 行判断 解:∵y=9×3+5=3+5,∴把函数y=30图象向左平移2个单位长度, 再向上平移5个单位长度,可得到函数y=9×3+50图象,故选(C) 评注:用函数图象解决问题是中学数学0重要方法,利用其直观性实现数形 结合解题,所以要熟悉基本函数0图象,并掌握图象0变化规律,比如:平移、 伸缩、对称等 习题 1、比较下列各组数O大小 1)若a>b>c>1,比较a)与 (2)若a>b>0,C>0,比较a与; (3)若>b>0,C<0,比较a与b; (4)若4,∈(.+),x>y>0,且a2=b”,比较a与b; (5)若ab∈(0,x<y<0,且a'=b,比较a与b ∈(0,1 解:(1)由a>1,故a ,此时函数 为减函数.由b>c 故 >b>0 (2)由b(b 1 故b.又>0,故 从而a2>b >1 (3)由 b b 因a>b>0,故 又C<0,故 从 而a<b ≥1 (4)应有a<b.因若a2b,则b 又 故 ,这样 ≥b2.又因x>yb1,故b>b.从而a2>b”,这与已知=b”矛盾 < (5)应有a>b.因若asb,则 又x<0,故 ,这样有 a≥b.又因x<),且b∈1),故2>b3.从而a2>b,这与已知a2=b 矛盾 小结:比较通常借助相应函数⑩单调性、奇偶性、图象来求解 精彩文档
实用标准文案 精彩文档 D．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 分析：注意先将函数 9 3 5 x y = + 转化为 2 3 5 x t + = + ，再利用图象の平移规律进 行判断． 解：∵ 2 9 3 5 3 5 x x y + = + = + ，∴把函数 3 x y = の图象向左平移 2 个单位长度， 再向上平移 5 个单位长度，可得到函数 9 3 5 x y = + の图象，故选（C）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学の重要方法，利用其直观性实现数形 结合解题，所以要熟悉基本函数の图象，并掌握图象の变化规律，比如：平移、 伸缩、对称等． 习题 1、比较下列各组数の大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较 与 ； （4）若 ，且 ，比较 a 与 b； （5）若 ，且 ，比较 a 与 b． 解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ， 故 ． （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ． （3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从 而 ． （4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． （5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． 小结：比较通常借助相应函数の单调性、奇偶性、图象来求解．
实用标准文案 2,曲线1,C2,C3C4分别是指数函数y=a2,y=b,y=c和y=dO图象 则abCd与10大小关系是() (A)a<b<1<c<d (B)a<b<1<d<c b<a<l<c<d D)bka<1<d 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 >1a>10<a<1.0<b<1,在y轴右侧令x=1,对应0函数值 由小到大依次为ad,故应选(D) 小结这种类型题目是比较典型O数形结合O题目,第(1)题是 由数到形0转化第(2)题则是由图到数O翻译,它①主要目是提 高学生识图,用图0意识 求最值 3,求下列函数0定义域与值域 (1)y=2 2)y=4+2+1 解:(1)∵x-3≠0,∴y=2x30定义域为{x|x∈R且x≠3}.又 0,∴2x3≠1, ∴y=2x-30值域为{yy>0且y≠1} (2)y=4+2+10定义域为R.2>0,y=4+2+1=(2)2+2·2+1 (2+1)2>1 y=4+2+10值域为{y|y>1} 4,已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3-90最大值和最小值 解:设t3,因为-1≤x≤2,所以≤1≤9,且f(x)=g(t)=-(t-3)+12,故当t=3 即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9即x=2时f(x)取最小值-24。 精彩文档
实用标准文案 精彩文档 2，曲线 分别是指数函数 , 和 の图象, 则 与 1 の大小关系是 ( ). ( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应の函数值 由小到大依次为 ,故应选 . 小结:这种类型题目是比较典型の数形结合の题目,第(1)题是 由数到形の转化,第(2)题则是由图到数の翻译,它の主要目の是提 高学生识图,用图の意识. 求最值 3，求下列函数の定义域与值域. (1)y＝2 3 1 x− ; (2)y＝4 x +2x+1+1. 解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2 3 1 x− の定义域为｛x｜x∈R 且 x≠3｝.又∵ 3 1 x − ≠ 0，∴2 3 1 x− ≠1， ∴y＝2 3 1 x− の值域为｛y｜y>0 且 y≠1｝. (2)y＝4 x +2x+1+1 の定义域为 R.∵2 x >0,∴y＝4 x +2x+1+1＝(2x ) 2 +2·2 x +1＝ (2x +1)2 >1. ∴y＝4 x +2x+1+1 の值域为｛y｜y>1｝. 4，已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3 x+1 -9 xの最大值和最小值 解：设 t=3x ,因为-1≤x≤2，所以 9 3 1 t ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2 +12,故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24