1数学术语 指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的 写为e,这里的e是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于2718281828,还称为欧 拉数 当a>1时,指数函数对于x的负数值非常平坦,对于x的正数值迅速攀升,在x等于 0的时候y等于1。当0<a<1时,指数函数对于x的负数值迅速攀升,对于x的正数值非 常平坦,在x等于0的时候等于1。在ⅹ处的切线的斜率等于此处y的值乘上mna。即由导 数知识 dal a ln a 作为实数变量x的函数 y 的图像总是正的(在ⅹ轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴,尽管它可以任 意程度的靠近它(所以,x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数n(x),它定 义在所有正数x上 有时,尤其是在科学中,术语指数函数更一般性的用于形如 的 a>1 指数函数 函数,这里的a叫做“底数”,是不等于1的任何正实数。本文最初集中于带有底数为 欧拉数e的指数函数 指数函数的一般形式为 y (a>0且≠1)(X∈R),从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道,要想使得ⅹ能够取整 个实数集合为定义域,则只有使得a>0且a≠1 如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数中可以看到
1 数学术语 指数函数是数学中重要的函数。应用到值 e 上的这个函数写为 exp(x)。还可以等价的 写为 e，这里的 e 是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于 2.718281828，还称为欧 拉数。 当 a>1 时，指数函数对于 x 的负数值非常平坦，对于 x 的正数值迅速攀升，在 x 等于 0 的时候 y 等于 1。当 0<a<1 时，指数函数对于 x 的负数值迅速攀升，对于 x 的正数值非 常平坦，在 x 等于 0 的时候等于 1。在 x 处的切线的斜率等于此处 y 的值乘上 lna。即由导 数知识： 作为实数变量 x 的函数， 的图像总是正的(在 x 轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及 x 轴，尽管它可以任 意程度的靠近它(所以，x 轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数 ln(x)，它定 义在所有正数 x 上。 有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如 的 指数函数 函数，这里的 a 叫做“底数”，是不等于 1 的任何正实数。本文最初集中于带有底数为 欧拉数 e 的指数函数。 指数函数的一般形式为 (a>0 且≠1) (x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得 x 能够取整 个实数集合为定义域，则只有使得 a>0 且 a≠1 如图所示为 a的不同大小影响函数图形的情况。 在函数中可以看到
y (1)指数函数的定义域为所有实数的集合,这里的前提是a大于0且不等于1。对 于a不大于0的情况,则必然使得函数的定义域不存在连续的区间,因此我们不予考虑, 同时a等于0函数无意义一般也不考虑。 (2)指数函数的值域为大于0的实数集合。 (3)函数图形都是下凸的 (4)a>1时,则指数函数单调递增:若0<a<1,则为单调递减的。 (5)可以看到一个显然的规律,就是当a从0趋向于无穷大的过 F=1 指数函数 程中(不等于0),函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的 位置,趋向分别接近于Y轴的正半轴与Ⅹ轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直 线y=1是从递减到递增的一个过渡位置 (6)函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。 (7)函数总是通过(0,1)这点、(若 =a+b ,则函数定过点(0,1+b) (8)指数函数无界 (9)指数函数是非奇非偶函数 (10)当指数函数中的自变量与因变量一一映射时,指数函数具有反函数。 2公式推导 e的定义:
： （1） 指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是 a大于 0 且不等于 1。对 于 a不大于 0 的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑， 同时 a等于 0 函数无意义一般也不考虑。 （2） 指数函数的值域为大于 0 的实数集合。 （3） 函数图形都是下凸的。 （4） a>1 时，则指数函数单调递增；若 0<a<1，则为单调递减的。 （5） 可以看到一个显然的规律，就是当 a从 0 趋向于无穷大的过 指数函数 程中（不等于 0），函数的曲线从分别接近于 Y 轴与 X 轴的正半轴的单调递减函数的 位置，趋向分别接近于 Y 轴的正半轴与 X 轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直 线 y=1 是从递减到递增的一个过渡位置。 （6） 函数总是在某一个方向上无限趋向于 X 轴,并且永不相交。 （7） 函数总是通过（0，1）这点,(若 ,则函数定过点(0,1+b)) （8） 指数函数无界。 （9）指数函数是非奇非偶函数 （10）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。 2 公式推导 e 的定义：
=1m(+718838 设a>0,a1 方法 lo 指数函数 lim loga(x+△x)-1ogx △x→0 △x x+△x lim=×log △x→0x△x 8 +△x Ax lim×loga”x △x→0x △xG loga lim 1+ xIna 特殊地,当a=e时,(
设 a>0,a≠1 方法一： ( )' 指数函数 = = = = = = 特殊地，当 a=e 时，(
lo )=(n×)=1/x。 方法 设 y=4 ,两边取对数ny=xna 两边对x求导:yly=na,y=ynaa^xna 特殊地,当a=e时,y=(a^x)=(e^x)=e^xhne=e^x。 3函数图像 四、指数函数 L.定义:y=a2(a>0且1) 2.图象: 指数函数 (1)由指数函数y=ax与直线x=1相交于点(1,a)可知:在y轴右侧,图像从下到 上相应的底数由小变大 (2)由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点(-1,1/a)可知:在y轴左侧,图像 从下到上相应的底数由大变小 (3)指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为:在y轴右边“底大图高;在y 轴左边底大图低”。(如右图)。 y=a
)'=(ln x)'=1/x。 方法二： 设 ，两边取对数 ln y=xln a 两边对 x 求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a 特殊地，当 a=e 时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xln e=e^x。 eº=1 3 函数图像 指数函数 （1）由指数函数 y=a^x 与直线 x=1 相交于点（1，a)可知：在 y轴右侧，图像从下到 上相应的底数由小变大。 （2）由指数函数 y=a^x 与直线 x=-1 相交于点（-1，1/a）可知：在 y轴左侧，图像 从下到上相应的底数由大变小。 （3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在 y 轴右边“底大图高”；在 y 轴左边“底大图低”。（如右图）。 (4) 与
的图像关于y轴对称。 4幂的比较 比较大小常用方法:(1)比差(商)法:(2)函数单调性法:(3)中间值法:要 比较A与B的大小,先找一个中间值C,再比较A与C、B与C的大小,由不等式的传递 性得到A与B之间的大小。 比较两个幂的大小时,除了上述一般方法之外,还应注意: (1)对于底数相同,指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来 判断。 例如: yI 22 因为3大于1所以函数单调递增(即ⅹ的值越大,对应的y值越大),因为5大于4 所以 22 大于 (2)对于底数不同,指数相同的两个幂的大小比较,可 v=log 指数函数 以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如: yI
的图像关于 y 轴对称。 4 幂的比较 比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要 比较 A 与 B 的大小，先找一个中间值 C，再比较 A 与 C、B 与 C 的大小，由不等式的传递 性得到 A 与 B 之间的大小。 比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来 判断。 例如： ， 因为 3 大于 1 所以函数单调递增（即 x 的值越大，对应的 y 值越大），因为 5 大于 4， 所以 大于 。 （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可 指数函数 以利用指数函数图像的变化规律来判断。 例如：