函数模型及其应用 【课标要求】 1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异:结合实例体会直线 上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义 2.收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函 数等)的实例,了解函数模型的广泛应用 二.【命题走向】 函数应用问题是高考的热点,高考对应用题的考察即考小题又考大题,而且分值呈上升 的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创 设情景的需要,函数试题设置问题的角度和方式也不断创新,重视函数思想的考察,加大函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度,从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。 预测2010年的高考,将再现其独特的考察作用,而函数类应用题,是考察的重点,因 而要认真准备应用题型、探索型和综合题型,加大训练力度,重视关于函数的数学建模问题, 学会用数学和方法寻求规律找出解题策略 (1)题型多以大题出现,以实际问题为背景,通过解决数学问题的过程,解释问题 (2)题目涉及的函数多以基本初等函数为载体,通过它们的性质(单调性、极值和最 值等)来解释生活现象,主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象 三.【要点精讲】 解决实际问题的解题过程 (1)对实际问题进行抽象概括:研究实际问题中量与量之间的关系,确定变量之间的 主、被动关系,并用x、y分别表示问题中的变量; (2)建立函数模型:将变量y表示为x的函数,在中学数学内,我们建立的函数模型 一般都是函数的解析式 (3)求解函数模型:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函 数知识求得函数模型的解,并还原为实际问题的解 这些步骤用框图表示: 实际问题 函数模型 际问题的解 函数模型的解 2.解决函数应用问题应着重培养下面一些能力 (1)阅读理解、整理数据的能力:通过分析、画图、列表、归类等方法,快速弄清数 据之间的关系,数据的单位等等 (2)建立函数模型的能力:关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函 数,建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式,注意不要忘记考 察函数的定义域
函数模型及其应用 一．【课标要求】 1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线 上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义； 2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函 数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。 二．【命题走向】 函数应用问题是高考的热点，高考对应用题的考察即考小题又考大题，而且分值呈上升 的趋势。高考中重视对环境保护及数学课外的的综合性应用题等的考察。出于“立意”和创 设情景的需要，函数试题设置问题的角度和方式也不断创新，重视函数思想的考察，加大函 数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度，从而使高考考题显得新颖、生动和灵活。 预测 2010 年的高考，将再现其独特的考察作用，而函数类应用题，是考察的重点，因 而要认真准备应用题型、探索型和综合题型，加大训练力度，重视关于函数的数学建模问题， 学会用数学和方法寻求规律找出解题策略。 （1）题型多以大题出现，以实际问题为背景，通过解决数学问题的过程，解释问题； （2）题目涉及的函数多以基本初等函数为载体，通过它们的性质（单调性、极值和最 值等）来解释生活现象，主要涉计经济、环保、能源、健康等社会现象 三．【要点精讲】 1．解决实际问题的解题过程 （1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的 主、被动关系，并用 x、y 分别表示问题中的变量； （2）建立函数模型：将变量 y 表示为 x 的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型 一般都是函数的解析式； （3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函 数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解. 这些步骤用框图表示： 2．解决函数应用问题应着重培养下面一些能力： （1）阅读理解、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数 据之间的关系，数据的单位等等； （2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函 数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考 察函数的定义域； 实际问题 函数模型 实际问题的解 函数模型的解 抽象概括 还原说明 运 用 函 数 性 质
(3)求解函数模型的能力:主要是研究函数的单调性,求函数的值域、最大(小)值, 计算函数的特殊值等,注意发挥函数图象的作用 四.【典例解析】 题型1:正比例、反比例和一次函数型 例(2009山东卷理)(本小题满分12分) 两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建 造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总 影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为ⅹkm,建在C处的垃圾处 理厂对城A和城B的总影响度为y统计调査表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地 点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4:对城B的影响度与所选地点到城B的距 离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在4B的中点时,对城A和城B的总影响 度为0065 (1)将y表示成x的函数 (11)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧AB上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理 厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离若不存在,说明理由。 解法一(1)如图由题意知AC⊥BC,BC2=400x,y=+,4 0<x<20) x2400 其中当x=102时,y=005所以k=9 所以y表示成x的函数为y x2400-x2 (0<x<20 (2)y x2400 Ps、89×(-2x)18x2-8(400x2).令=0得 x3(400-x2)2x(400-x2) 18x=8400-x2)2,所以x2=160,即x=40,当0<x<410时 18x4<8(400-x)2,即y3<0所以函数为单调减函数,当46<x<20时 18x>8(400-x2)2,即y>0所以函数为单调增函数所以当x=4√0时,即当C点到 城A的距离为4√10时,函数y=-×0-x20<x<20)有最小值
（3）求解函数模型的能力：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大（小）值， 计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用 四．【典例解析】 题型 1：正比例、反比例和一次函数型 例 (2009 山东卷理)（本小题满分 12 分） 两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建 造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总 影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处 理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地 点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距 离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响 度为 0.065. （1） 将 y 表示成 x 的函数； （11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理 厂对城 A 和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在，说明理由。 解法一:（1）如图,由题意知 AC⊥BC, 2 2 BC x = − 400 , 2 2 4 (0 20) 400 k y x x x = + − 其中当 x =10 2 时，y=0.065,所以 k=9 所以 y 表示成 x 的函数为 2 2 4 9 (0 20) 400 y x x x = + − （ 2 ） 2 2 4 9 400 y x x = + − , 4 2 2 3 2 2 3 2 2 8 9 ( 2 ) 18 8(400 ) ' (400 ) (400 ) x x x y x x x x − − − = − − = − − , 令 y ' 0 = 得 4 2 2 18 8(400 ) x x = − , 所 以 2 x =160 , 即 x = 4 10 , 当 0 4 10 x 时 , 4 2 2 18 8(400 ) x x − , 即 y ' 0 所以函数为单调减函数 , 当 4 6 20 x 时 , 4 2 2 18 8(400 ) x x − ,即 y ' 0 所以函数为单调增函数.所以当 x = 4 10 时, 即当 C 点到 城 A 的距离为 4 10 时, 函数 2 2 4 9 (0 20) 400 y x x x = + − 有最小值. A B C x
【命题立意】本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题 (2).某地区195年底沙漠面积为95万公顷,为了解该地区沙漠面积的变化情况,进行 了连续5年的观测,并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测 (1)如果不采取任何措施,那么到2010年底,该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷 (2)如果从2000年底后采取植树造林等措施,每年改造06万公顷沙漠,那么到哪一年年 底该地区沙漠面积减少到90万公顷? 观测时间 1996年1997年1998年199年2000年底 底 该地区沙漠比原有面积增0.20000.400006001079991001 加数(万公顷) 解析:(1)由表观察知,沙漠面积增加数y与年份数x之间的关系图象近似地为一次 函数y=kx+b的图象 将x=1,y=0.2与x=2,y=0.4,代入y=kx+b 求得k=0.2,b=0,所以y=0.2x(x∈N) 因为原有沙漠面积为95万公顷,则到2010年底沙漠面积大约为 95+05×15=98(万公顷)。 (2)设从1996年算起,第x年年底该地区沙漠面积能减少到90万公顷,由题意得 95+0.2x-0.6(x-5)=90, 解得x20(年)。 故到2015年年底,该地区沙漠面积减少到90万公顷。 点评:初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质,我们要 牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好 例.(2009湖南卷理)(本小题满分13分) 某地建一座桥,两端的桥墩己建好,这两墩相距m米,余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为(2+√x)x万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其 他因素,记余下工程的费用为y万元。 (I)试写出y关于x的函数关系式; (Ⅱ)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
【命题立意】:本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的 能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题. （2）．某地区 1995 年底沙漠面积为 95 万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行 了连续 5 年的观测，并将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测： （1）如果不采取任何措施，那么到 2010 年底，该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷； （2）如果从 2000 年底后采取植树造林等措施，每年改造 0.6 万公顷沙漠，那么到哪一年年 底该地区沙漠面积减少到 90 万公顷？ 观测时间 1996 年 底 1997 年 底 1998 年 底 1999 年 底 2000年底 该地区沙漠比原有面积增 加数（万公顷） 0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001 解析：（1）由表观察知，沙漠面积增加数 y 与年份数 x 之间的关系图象近似地为一次 函数 y=kx+b 的图象 将 x=1，y=0.2 与 x=2，y=0.4，代入 y=kx+b， 求得 k=0.2，b=0，所以 y=0.2x（x∈N）。 因为原有沙漠面积为 95 万公顷，则到 2010 年底沙漠面积大约为 95+0.5×15=98（万公顷）。 （2）设从 1996 年算起，第 x 年年底该地区沙漠面积能减少到 90 万公顷，由题意得 95+0.2x－0.6(x－5)=90， 解得 x=20（年）。 故到 2015 年年底，该地区沙漠面积减少到 90 万公顷。 点评：初中我们学习过的正比例、反比例和一元一次函数的定义和基本性质，我们要 牢固掌握。特别是题目中出现的“成正比例”、“成反比例”等条件要应用好 例 ．(2009 湖南卷理)（本小题满分 13 分） 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距 m 米，余下工程只需要建两端桥墩之间 的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为 256 万元，距离为 x 米的相邻两墩之间的 桥面工程费用为 (2 ) + x x 万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其 他因素，记余下工程的费用为 y 万元。 （Ⅰ）试写出 y 关于 x 的函数关系式； （Ⅱ）当 m =640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？
解(1)设需要新建n个桥墩,(n+1)x=m,即n=m-1 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+√x)x=256("-1)+m(2+√x)x 256x +m√x+2m-256 56m1 (Ⅱ)由(I)知,f(x)= +imx2=n2(x2-512) 3 令f(x)=0,得x2=512,所以x=64 当0<x<64时f(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数 当64<x<640时,f(x)>0.f(x)在区间(64,640)内为增函数 640 所以f(x)在x=64处取得最小值,此时,n 故需新建9个桥墩才能使y最小 题型2:二次函数型 例3.一辆中型客车的营运总利润y(单位:万元)与营运年数x(x∈N)的变化关系 如表所示,则客车的运输年数为()时该客车的年平均利润最大 (A)4 (B)5(C)6(D)7 年 y=ax2+bx+c(万元) 解析:表中已给出了二次函数模型 y=ax+bx +c 由表中数据知,二次函数的图象上存在三点(4,7),(6,11),(8,7),则 7=a·42+b4+c, 1l=a62+b6+c, 7=a·82+b·8+c.解得a=-1,b=12,c=.25 y=-x2+12x-25 y 又2=-x+12 -(x+-)+12 X ≤-10+12=2
解 （Ⅰ）设需要新建 n 个桥墩， ( 1) 1 m n x m x + = − ，即n= 所以 (2 ) m m x x x x x y=f(x)=256n+(n+1)(2+ )x=256( -1)+ + 256 2 256. x m x m x = + + − （Ⅱ） 由（Ⅰ）知， 2 3 3 2 2 2 256 1 '( ) ( 512). 2 2 m m f x mx x x x = − + = − 令 f x'( ) 0 = ，得 3 2 x = 512 ，所以 x =64 当 0< x <64 时 f x'( ) <0， f x( ) 在区间（0，64）内为减函数； 当 64 640 x 时， f x'( ) >0. f x( ) 在区间（64，640）内为增函数， 所以 f x( ) 在 x =64 处取得最小值，此时， 640 1 1 9. 64 m n x = − = − = 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 题型 2：二次函数型 例 3．一辆中型客车的营运总利润 y（单位：万元）与营运年数 x（x∈N）的变化关系 如表所示，则客车的运输年数为（）时该客车的年平均利润最大 （A）4 （B）5 （C）6 （D）7 x 年 4 6 8 … y = ax + bx + c 2 （万元） 7 11 7 … 解析：表中已给出了二次函数模型 y = ax + bx + c 2 ， 由表中数据知，二次函数的图象上存在三点（4，7），（6，11），（8，7），则 = + + = + + = + + 7 8 8 . 11 6 6 , 7 4 4 , 2 2 2 a b c a b c a b c 。解得 a=－1，b=12，c=-25， 即 12 25 2 y = −x + x −
而取“=”的条件为 即x=5,故选(B)。 点评:一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型,解决此类问题要充分利用 二次函数的结论和性质,解决好实际问题 例.(2009福州八中)某造船公司年造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为 R(x)=3700x+45×2-10x2(单位:万元),成本函数为c(x)=460×+5000(单位:万元),又 在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x) (I)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x):(提示:利润=产值成本) (Ⅱ)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大 (Ⅲ)求边际利润函数MP(x)单调递减时ⅹ的取值范围,并说明单调递减在本题中的实际意 义是什么? (I)P(x)=R(x)-c(x)=-10x3+45x2+3240x-5000,(xN’,且1≤x≤20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30×2+60x+3275,(x∈N",且1≤x≤19) (Ⅱ)P(x)=-30x2+90x+3240=-30(x-12)(x+9) ∴当0<x<12时P(x)>0,当x<12时,P(x)<0. ∴x=12,P(x)有最大值. 即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大, (Ⅲ)∵MP(x)=30×2+60×+3275=-30(x-1)2+3305, 所以,当x≥1时,M(x)单调递减,x的取值范围为[1,19],且xN MP(x)是减函数的实际意义:随着产量的增加,每艘船的利润在减少 已知函数f以1.) 例.(2008湖南理 x4+x3-2x2+cx有三个极值点 (I)证明:-27<c<5; (I)若存在实数c,使函数f(x)在区间[aa+2]上单调递减,求a的取值范围 解:(1)因为函数f(x)=x4+x3-x2+cx有三个极值点 所以f(x)=x3+3x2-9x+c=0有三个互异的实根 设g(x)=x2+3x2-9x+c,则g(x)=3x2+6x-9=3(x+3)(x-1) x<-3时,g'(x)>0,g(x)在(-∞,-3)上为增函数 当-3<x<1时,g(x)<0,g(x)在(-3,1)上为减函数; 当x>1时,g(x)>0,g(x)在(1,+∞)上为增函数 所以函数g(x)在x=-3时取极大值,在x=1时取极小值
而取“=”的条件为 x x 25 = ， 即 x=5，故选（B）。 点评：一元二次函数是高中数学函数中最重要的一个模型，解决此类问题要充分利用 二次函数的结论和性质，解决好实际问题。 例 ．（2009 福州八中）某造船公司年造船量是 20 艘，已知造船 x 艘的产值函数为 R(x)=3700x+45x 2 -10x 3（单位：万元），成本函数为 C(x)=460x+5000（单位：万元），又 在经济学中，函数 f(x)的边际函数 Mf(x)定义为 Mf(x)=f(x+1)-f(x)。 （Ⅰ）求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x)；（提示：利润=产值成本） （Ⅱ）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？ （Ⅲ）求边际利润函数 MP(x)单调递减时 x 的取值范围，并说明单调递减在本题中的实际意 义是什么？ 解 （ Ⅰ ） P(x)=R(x)-C(x)=-10x 3 +45x 2 +3240x-5000,(xN * , 且 1 ≤ x ≤ 20); MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x 2 +60x+3275，(x N * ,且 1≤x≤19) （Ⅱ） ( ) 30 90 3240 30( 12)( 9) 2 P x = − x + x+ = − x− x+ . ∴当 0＜x＜12 时 P(x) ＞0,当 x＜12 时， P(x) ＜0. ∴x=12，P（x）有最大值. 即年造船量安排 12 艘时，可使公司造船的年利润最大． （Ⅲ）∵MP（x）=-30x 2 +60x+3275=-30(x-1)2 +3305, 所以，当 x≥1 时，MP（x）单调递减，x 的取值范围为[1,19]，且 xN * MP x( ) 是减函数的实际意义：随着产量的增加，每艘船的利润在减少． 例 ．（2008 湖南理 21．） 已知函数 1 9 4 3 2 ( ) 4 2 f x x x x cx = + − + 有三个极值点 （I）证明： − 27 5 c ； （II）若存在实数 c，使函数 f (x) 在区间 a a, 2 + 上单调递减，求 a 的取值范围。 解：（I）因为函数 1 9 4 3 2 ( ) 4 2 f x x x x cx = + − + 有三个极值点, 所以 3 2 f x x x x c ( ) 3 9 0 = + − + = 有三个互异的实根. 设 3 2 g x x x x c ( ) 3 9 , = + − + 则 2 g x x x x x ( ) 3 6 9 3( 3)( 1), = + − = + − 当 x −3 时， g x ( ) 0, g x( ) 在 ( , 3) − − 上为增函数; 当 − 3 1 x 时， g x ( ) 0, g x( ) 在 ( 3,1) − 上为减函数; 当 x 1 时， g x ( ) 0, g x( ) 在 (1, ) + 上为增函数; 所以函数 g x( ) 在 x =−3 时取极大值,在 x =1 时取极小值