指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数,有关指数函数的图象与性质的题目类型较多,同时也是学习后续数学 内容的基础和高考考查的重点,本文对此部分题目类型作了初步总结,与大家共同探讨 1.比较大小 例1已知函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(b2)与f(c)的大小关系是 分析:先求b,c的值再比较大小,要注意b,c的取值是否在同一单调区间内 解:∵f(1+x)=f(1-x) ∴函数f(x)的对称轴是x=1. 故b=2,又∫(0)=3,∴c=3 函数f(x)在(-∞1]上递减,在[+∞)上递增 若x≥0,则32≥2≥1,∴f(3)≥f(2) 若x<0,则32<2<1,∴f(3)>f(22) 综上可得f(3)≥f(2),即f(c2)≥f(b 评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问 题,有时需要对参数进行讨论 2.求解有关指数不等式 例2已知(a2+2a+5)>(a2+2a+5)x,则x的取值范围是 分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围 解:∵a2+2a+5=(a+1)2+4≥4>1 函数y=(a2+2a+5)在(-∞,+∞)上是增函数 3x>1-x,解得x> x的取值范围是 注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于 含有参数的要注意对参数进行讨论 3.求定义域及值域问题 例3求函数y=√1-62的定义域和值域 解:由题意可得1-6-2≥0,即6-2≤1
1 指数函数 指数函数是高中数学中的一个基本初等函数，有关指数函数的图象与性质的题目类型较多，同时也是学习后续数学 内容的基础和高考考查的重点，本文对此部分题目类型作了初步总结，与大家共同探讨． 1．比较大小 例 1 已知函数 2 f x x bx c ( ) = − + 满足 f x f x (1 ) (1 ) + = − ，且 f (0) 3 = ，则 ( )x f b 与 ( )x f c 的大小关系是 _____． 分析：先求 b c ， 的值再比较大小，要注意 x x b c ， 的取值是否在同一单调区间内． 解：∵ f x f x (1 ) (1 ) + = − ， ∴函数 f x( ) 的对称轴是 x = 1． 故 b = 2 ，又 f (0) 3 = ，∴ c = 3 ． ∴函数 f x( ) 在 (−∞，1 上递减，在 1，+∞) 上递增． 若 x≥0 ，则 3 2 1 x x ≥ ≥ ，∴ (3 ) (2 ) x x f f ≥ ； 若 x 0 ，则 3 2 1 x x ，∴ (3 ) (2 ) x x f f ． 综上可得 (3 ) (2 ) x x f f ≥ ，即 ( ) ( ) x x f c f b ≥ ． 评注：①比较大小的常用方法有：作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等．②对于含有参数的大小比较问 题，有时需要对参数进行讨论． 2．求解有关指数不等式 例 2 已知 2 3 2 1 ( 2 5) ( 2 5) x x a a a a − + + + + ，则 x 的取值范围是___________． 分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围． 解：∵ 2 2 a a a + + = + + 2 5 ( 1) 4 4 1 ≥ ， ∴函数 2 ( 2 5)x y a a = + + 在 ( ) − + ∞， ∞ 上是增函数， ∴ 3 1 x x − ，解得 1 4 x ．∴x 的取值范围是 1 4 + ， ∞ ． 评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小，对于 含有参数的要注意对参数进行讨论． 3．求定义域及值域问题 例 3 求函数 2 1 6x y − = − 的定义域和值域． 解：由题意可得 2 1 6 0 x− − ≥ ，即 2 6 1 x− ≤
x-2≤0,故x≤2.∴函数f(x)的定义域是(-∞,2] 令1=6-2,则y=√h-1 又∵x≤2,∴x-2≤0.∴0<6-2≤1,即0<t≤1. 0≤1-1<1,即0≤y<1 函数的值域是[o) 评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响 4.最值问题 例4函数y=a2+2a2-1(a>0且a≠1)在区间[-1上有最大值14,则a的值是 分析:令【=a可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后t的取值范围 解:令1=a2,则1>0,函数y=a2+2a2-1可化为y=(t+1)2-2,其对称轴为t=-1 a>1 ≤a≤a,即1≤t≤a 当t=a时,ynm=(a+1)2-2=14 解得a=3或a=-5(舍去) 当0<a<1时,∵x∈「-1 a≤a≤1,即a≤≤1 解得a=一或a=--(舍去),∴a的值是3或 评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等 5.解指数方程 例5解方程3*+2-32-x=80 解:原方程可化为9×(32)2-80×32-9=0,令t=3(>0),上述方程可化为92-80-9=0,解得t=9或 1s、\(舍去),∴3=9,∴x=2,经检验原方程的解是x=2
2 ∴ x − 2 0 ≤ ，故 x≤2 ． ∴函数 f x( ) 的定义域是 (−∞，2 ． 令 2 6 x t − = ，则 y t = −1 ， 又∵ x≤2 ，∴ x − 2 0 ≤ ． ∴ 2 0 6 1 x− ≤ ，即 0 1 t≤ ． ∴ 0 1 1 ≤ − t ，即 0 1 ≤y ． ∴函数的值域是 01，) ． 评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响． 4．最值问题 例 4 函数 2 2 1( 0 1) x x y a a a a = + − 且 在区间 [ 11] − ， 上有最大值 14，则 a 的值是_______． 分析：令 x t a = 可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后 t 的取值范围． 解：令 x t a = ，则 t 0 ，函数 2 2 1 x x y a a = + − 可化为 2 y t = + − ( 1) 2 ，其对称轴为 t =−1 ． ∴当 a 1 时，∵ x − 11， ， ∴ 1 x a a a ≤ ≤ ，即 1 t a a ≤ ≤ ． ∴当 t a = 时， 2 max y a = + − = ( 1) 2 14． 解得 a = 3 或 a =−5 （舍去）； 当 0 1 a 时，∵ x − 11， ， ∴ x 1 a a a ≤ ≤ ，即 1 a t a ≤ ≤ ， ∴ 1 t a = 时， 2 max 1 y 1 2 14 a = + − = ， 解得 1 3 a = 或 1 5 a = − （舍去），∴a 的值是 3 或 1 3 ． 评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等． 5．解指数方程 例 5 解方程 2 2 3 3 80 x x + − − = ． 解：原方程可化为 2 9 (3 ) 80 3 9 0 x x − − = ，令 3 ( 0) x t t = ，上述方程可化为 2 9 80 9 0 t t − − = ，解得 t = 9 或 1 9 t =− （舍去），∴ 3 9 x = ，∴ x = 2 ，经检验原方程的解是 x = 2 ．
评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根 6.图象变换及应用问题 例6为了得到函数y=9×32+5的图象,可以把函数y=3的图象() A.向左平移9个单位长度,再向上平移5个单位长度 B.向右平移9个单位长度,再向下平移5个单位长度 C.向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度 D.向右平移2个单位长度,再向下平移5个单位长度 分析:注意先将函数y=9×32+5转化为t=322+5,再利用图象的平移规律进行判断 解:∵:y=9×32+5=32+5,∴把函数y=3的图象向左平移2个单位长度,再向上平移5个单位长度,可 得到函数y=9×32+5的图象,故选(C) 评注:用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉基本函数的图象 并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 习题 l、比较下列各组数的大小 (1)若a>b>C>1,比较 (2)若a>b>0,c>0 比较a与 (3)若a>b>0.C<0,比较a“与b a,b∈(1,+0),x>y>0日a2=b,比较a与b a,b∈(0,1),x<y<0 b> ,比较a与b 分析b均为正数,>1,m比校两个正数的大小比空的的大小 数函数的图象规律,还要掌握底的变化对图象形状的影响.这主要有两方面:其一是对x>0,ax>b2台以含 对不<0,a>b分a<b 用语言叙述即在y轴右侧,底越大其图象越远离x轴:在y轴左侧,底越大,其图 象越接近x轴.这部分内容即本题(2),(3)所说的内容.其二是当底均大于1时,底越大,其图象越接近y轴:当 底均小于1时,底越小,其图象越接近y轴.一个便于记忆的方法是:若以离1远者为底,则其图象接近y轴.当然这 是指底数均大于1或均小于1.这部分内容即本题(4)与(5) ∈(0,1) 解:(1)由a>1,故a ,此时函数 为减函数.由b>C,故 2)由2(b/,a>b>0 b c>0 b 从而>b° >1 >a-b 因a>b>0,故b 又C<0
3 评注：解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解，要注意验根． 6．图象变换及应用问题 例 6 为了得到函数 9 3 5 x y = + 的图象，可以把函数 3 x y = 的图象（ ）． A．向左平移 9 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 B．向右平移 9 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 C．向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度 D．向右平移 2 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度 分析：注意先将函数 9 3 5 x y = + 转化为 2 3 5 x t + = + ，再利用图象的平移规律进行判断． 解：∵ 2 9 3 5 3 5 x x y + = + = + ，∴把函数 3 x y = 的图象向左平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，可 得到函数 9 3 5 x y = + 的图象，故选（C）． 评注：用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象， 并掌握图象的变化规律，比如：平移、伸缩、对称等． 习题 1、比较下列各组数的大小： （1）若 ，比较 与 ； （2）若 ，比较 与 ； （3）若 ，比较 与 ； （4）若 ，且 ，比较 a 与 b； （5）若 ，且 ，比较 a 与 b． 分析：设 均为正数，则 ，即比较两个正数的大小，可比较它们的商与 1 的大小．掌握指 数函数的图象规律，还要掌握底的变化对图象形状的影响．这主要有两方面：其一是对 ； 对 ．用语言叙述即在 y 轴右侧，底越大其图象越远离 x 轴；在 y 轴左侧，底越大，其图 象越接近 x 轴．这部分内容即本题（2），（3）所说的内容．其二是当底均大于 1 时，底越大，其图象越接近 y 轴；当 底均小于 1 时，底越小，其图象越接近 y 轴．一个便于记忆的方法是：若以离 1 远者为底，则其图象接近 y 轴．当然这 是指底数均大于 1 或均小于 1．这部分内容即本题（4）与（5）． 解：（1）由 ，故 ，此时函数 为减函数．由 ，故 ． （2）由 ，故 ．又 ，故 ．从而 ． （3）由 ，因 ，故 ．又 ，故 ．从而 ．
≥1 (4)应有a<b.因若a≥b >0 b ,这样 xa2≥b2.又因x>y,b>1,故b32>b.从而a2>b),这与已知a2=b矛盾 (5)应有a>b,因若a≤b,则b ,这样有 2≥b2.又因x<y,且b∈(041),故b2>b3.从而a2>b,这与已知a2=b矛盾 小结:比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解, (0.1) 2、()指数函数①f(x)=m②g(x)=”满足不等式1>n>m>0,则它们的图象是() (A) (B) (C) (D) 析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线 解:由0<m<<1可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是 进而再判断①②与和的 对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令x=1,①对应的函数值分别为m和,由明<n可知应选 的大,(2线C1,C2,C3C4分别是指数函数y=ay=b2,y=c2和y=d2 图象 b.c.d 小关系是() (4)a<b<1<c<d
4 （4）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样 ．又因 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． （5）应有 ．因若 ，则 ．又 ，故 ，这样有 ．又因 ，且 ，故 ．从而 ，这与已知 矛盾． 小结：比较通常借助相应函数的单调性、奇偶性、图象来求解． 2、(1)指数函数① ② 满足不等式 ,则它们的图象是 ( ). 分析:此题应首先根据底数的范围判断图象的升降性,再根据两个底数的大小比较判断对应的曲线. 解:由 可知①②应为两条递减的曲线,故只可能是 或 ,进而再判断①②与 和 的 对应关系,此时判断的方法很多,不妨选特殊点法,令 ,①②对应的函数值分别为 和 ,由 可知应选 . (2)曲线 分别是指数函数 , 和 的图象,则 与 1 的大小关系是 ( )
(B)a<b<1<d <c ()b<a<1<c<d ()b<a<l<d <c 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 c>1,d>1,0<a<1,0<b< 1在y轴右侧令x=1,对应的函 数值由小到大依次为2a,d,c 故应选(D) 心s半小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的 目的是提高学生识图,用图的意识 最值 下列函数的定义域与值域 (1)y=2x-3 (2)y=42+2+1 解:(1)∵x-3≠0,∴y=2x-3的定义域为{x|x∈R且x≠3},又 y=2x3的值域为{yy>0且y≠1 (2)y=4+2+1的定义域为R∵2>0,∴y=4+2+1=(2)2+2·2+1=(2+1)21 ∴y=4+2+1的值域为{yly>1 4已知-1≤x≤2,求函数f(x)=3+2·3-9的最大值和最小值 解:设t=3,因为-1≤x≤2,所以≤≤9,且f(x)=g(t)=(t-3)2+12,故当t=3即x=1时,f(x)取最大值12,当t=9 即x=2时f(x)取最小值-24 5、设0≤x≤2,求函数=4 3.2x+5 的最大值和最小值 分析:注意4=(2=2x=(2)2,设2=2,则原来的函数成为 利用闭区间 上二次函数的值域的求法,可求得函数的最值 2x=,由0≤x≤2知,1≤M≤4 (2)2 n2-3t=5 函数成为 t∈ 对称轴 =3∈[14 故函 32-3.3+5 数最小值为2 2,因端点=1较=4距对称轴4=3远,故函数的最大值为 +5 6(9分)已知函数y=a2+2a2-1(a>1)在区间[-1,1上的最大值是14,求a的值
5 ( 分析:首先可以根据指数函数单调性,确定 ,在 轴右侧令 ,对应的函 数值由小到大依次为 ,故应选 . 小结:这种类型题目是比较典型的数形结合的题目,第(1)题是由数到形的转化,第(2)题则是由图到数的翻译,它的 主要目的是提高学生识图,用图的意识. 求最值 3 求下列函数的定义域与值域. (1)y＝2 3 1 x− ; (2)y＝4 x +2x+1+1. 解：(1)∵x-3≠0，∴y＝2 3 1 x− 的定义域为｛x｜x∈R 且 x≠3｝.又∵ 3 1 x − ≠0，∴2 3 1 x− ≠1， ∴y＝2 3 1 x− 的值域为｛y｜y>0 且 y≠1｝. (2)y＝4 x +2x+1+1 的定义域为 R.∵2 x >0,∴y＝4 x +2x+1+1＝(2x ) 2 +2·2 x +1＝(2x +1)2 >1. ∴y＝4 x +2x+1+1 的值域为｛y｜y>1｝. 4 已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3 x+1 -9 x的最大值和最小值 解：设 t=3x ,因为-1≤x≤2，所以 9 3 1 t ，且 f(x)=g(t)=-(t-3)2 +12,故当 t=3 即 x=1 时，f(x)取最大值 12，当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24。 5、设 ，求函数 的最大值和最小值． 分析：注意到 ，设 ，则原来的函数成为 ，利用闭区间 上二次函数的值域的求法，可求得函数的最值． 解：设 ，由 知， ，函数成为 ， ，对称轴 ，故函 数最小值为 ，因端点 较 距对称轴 远，故函数的最大值为 ． 6（9 分）已知函数 2 1( 1) 2 y = a + a − a x x 在区间[－1,1]上的最大值是 14，求 a 的值