指数函数及其性质 编稿:丁会敏审稿:王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念,了解对底数的限制条件的合理性,明确指数函数的定义域 2.掌握指数函数图象: (1)能在基本性质的指导下,用列表描点法画出指数函数的图象,能从数形两方面认识指数函数的性质: (2)掌握底数对指数函数图象的影响 (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别 3.学会利用指数函数单调性来比较大小,包括较为复杂的含字母讨论的类型 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习,培养观察、分析归纳的能力,进一步体会数形结合的思 想方法; 5.通过对指数函数的研究,要认识到数学的应用价值,更善于从现实生活中发现问题,解决问题 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念: 函数y=a'(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,a为常数,函数定义域为R. 要点诠释: (1)形式上的严格性:只有形如y=a(a>0且a≠1)的函数才是指数函数.像y=2·32,y=2x y=3+1等函数都不是指数函数 (2)为什么规定底数a大于零且不等于1 x>0时,a恒等于0, ①如果a=0,则 x≤O时,a无意义 ②如果a<0,则对于一些函数,比如y=(-4),当x 时,在实数范围内函数值不存在 ③如果a=1,则y=1=1是个常量,就没研究的必要了 要点二、指数函数的图象及性质: 0<a<1时图象 a>1时图象 图象 (1,a) ①定义域R,值域(0,+∞) ②a=1,即x=0时,y=1,图象都经过(0,1)点 性质|③a’=a,即x=1时,y等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时,a>1 ⑤x(0时,0<a3<1 x>0时,0<a<1 x>0时,a>1 ⑥既不是奇函数,也不是偶函数 要点诠释
指数函数及其性质 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的定义域； 2.掌握指数函数图象： (1)能在基本性质的指导下，用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方面认识指数函数的性质； (2)掌握底数对指数函数图象的影响； (3)从图象上体会指数增长与直线上升的区别． 3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型； 4.通过对指数函数的概念、图象、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思 想方法； 5.通过对指数函数的研究，要认识到数学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题． 【要点梳理】 要点一、指数函数的概念： 函数 y=a x (a>0 且 a≠1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，a 为常数，函数定义域为 R. 要点诠释： （1）形式上的严格性：只有形如 y=a x (a>0 且 a≠1)的函数才是指数函数．像 2 3x y = ， 1 2 x y = ， 3 1 x y = + 等函数都不是指数函数． （2）为什么规定底数 a 大于零且不等于 1： ①如果 a = 0 ，则 0 0 0 x x x x 时，a 恒等于 ， 时,a 无意义. ②如果 a 0 ，则对于一些函数，比如 ( 4)x y = − ，当 1 1 , , 2 4 x x = = 时，在实数范围内函数值不存在． ③如果 a =1 ，则 1 1 x y = = 是个常量，就没研究的必要了． 要点二、指数函数的图象及性质： y=a x 0<a<1 时图象 a>1 时图象 图象 性质 ①定义域 R，值域 （0，+∞） ②a 0 =1, 即 x=0 时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a，即 x=1 时，y 等于底数 a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0 时，a x >1 x>0 时，0<ax <1 ⑤x<0 时，0<ax <1 x>0 时，a x >1 ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 要点诠释：
(1)当底数大小不定时,必须分“a>1”和“0<a<1”两种情形讨论 (2)当0<a<1时,x→+∞,y→>0;当a>1时x→-∞,y>0。 当α>1时,a的值越大,图象越靠近y轴,递增速度越快。 当0<a<1时,a的值越小,图象越靠近y轴,递减的速度越快。 (3)指数函数y=a与y=的图象关于y轴对称 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 ② b③y=c④y=d 又即:x∈(0,+∞)时,b<a2<d2<c2(底大幂大) x∈(-∞,0)时,b2>a2>d2>c (2)特殊函数 y=2,y=3,y=(),y=()的图像 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较 (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为: ①若A-B>0A>B:A-B<0A<B;A-B=0分A=B; A A ②当两个式子均为正值的情况下,可用作商法,判断一>1,或一<1即可 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例1.函数y=(a2-3a+3)a2是指数函数,求a的值 【答案】2 【解析】由y=(a2-3a+3)a2是指数函数 3a+3 =1或a=2 可得 解得 a>0,且a≠1 >0且a≠’所以a=2 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数: (1)切入点:利用指数函数的定义来判断
（1）当底数大小不定时，必须分“ a 1 ”和“ 0 1 a ”两种情形讨论。 （2）当 0 1 a 时， x y → + →, 0 ；当 a 1 时 x y → − →, 0 。 当 a 1 时， a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增速度越快。 当 0 1 a 时， a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快。 （3）指数函数 x y a = 与 1 x y a = 的图象关于 y 轴对称。 要点三、指数函数底数变化与图像分布规律 （1） ① x y a = ② x y b = ③ x y c = ④ x y d = 则：0＜b＜a＜1＜d＜c 又即：x∈(0,+∞)时， x x x x b a d c （底大幂大） x∈(－∞,0)时， x x x x b a d c （2）特殊函数 1 1 2 , 3 , ( ) , ( ) 2 3 x x x x y y y y = = = = 的图像： 要点四、指数式大小比较方法 (1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法 比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： ①若 A B A B − 0 ； A B A B − 0 ； A B A B − = = 0 ； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断 1 A B ，或 1 A B 即可． 【典型例题】 类型一、指数函数的概念 例 1．函数 2 ( 3 3) x y a a a = − + 是指数函数，求 a 的值． 【答案】2 【解析】由 2 ( 3 3) x y a a a = − + 是指数函数， 可得 2 3 3 1, 0, 1, a a a a − + = 且 解得 1 2, 0 1, a a a a = = 或 且 ，所以 a = 2． 【总结升华】判断一个函数是否为指数函数： （1）切入点：利用指数函数的定义来判断；
(2)关键点:一个函数是指数函数要求系数为1,底数是大于0且不等于1的常数,指数必须是自变 量X 举一反三 【变式1】指出下列函数哪些是指数函数? (1)y=42:(2)y=x+;(3)y=-4;(4)y=(-4)2 (5)y=(2a-1)(a>且a≠1);(6)y=4-x. 【答案】(1)(5)(6 【解析】(1)(5)(6)为指数函数.其中(6)y=4 符合指数函数的定义,而(2)中底 数x不是常数,而4不是变数:(3)是-1与指数函数4的乘积;(4)中底数-4<0,所以不是指数函数 类型二、函数的定义域、值域 例2.求下列函数的定义域、值域. (1) 2)y=4-2+1:(3),32x (4)y= (a为大于1的常数) 【答案】(1)R,(0,1);(2)R 0.+∞);(4)(-∞,-1)U[1,+∞) 2 [1,a)U(a,+∞) 【解析】(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3≠-1) (1+3)-1 ,又∵3>0,1+33>1 0< 1+32 1+32 ∴0△/+3*51,:值域为0,1) (2)定义域为R,y=(2)2-2+1=(2-1)2+3,…2>0, 即x=-1时,y取最小 值二,同时y可以取一切大于的实数,∴值域为[ (3)要使函数有意义可得到不等式321-≥0,即321≥32,又函数y=32是增函数,所以 2x-1≥-2,即x2、l +∞|,值域是[+) (4)∵ ≥0∴.定义域为(-∞,-1)U[1,+∞)
（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为 1，底数是大于 0 且不等于 1 的常数，指数必须是自变 量 x． 举一反三： 【变式 1】指出下列函数哪些是指数函数？ （1） 4 x y = ；（2） 4 y x = ；（3） 4 x y = − ；（4） ( 4)x y = − ； （5） 1 (2 1) ( 1) 2 x y a a a = − 且 ；（6） 4 x y − = ． 【答案】（1）（5）（6） 【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6） 4 x y − = = 1 4 x ，符合指数函数的定义，而（2）中底 数 x 不是常数，而 4 不是变数；（3）是-1 与指数函数 4 x 的乘积；（4）中底数 − 4 0 ，所以不是指数函数． 类型二、函数的定义域、值域 例 2．求下列函数的定义域、值域. (1) 3 1 3 x x y = + ；(2)y=4x -2 x +1；(3) 2 1 1 3 9 x− − ；(4) 2 1 1 x x y a − + = (a 为大于 1 的常数) 【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [ ,+ 4 3 )；（3） 1 , 2 − + 0,+) ；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a，+∞) 【解析】(1)函数的定义域为 R (∵对一切 x R，3 x≠-1). ∵ (1 3 ) 1 1 1 1 3 1 3 x x x y + − = = − + + ，又∵ 3 x >0， 1+3 x >1， ∴ 1 0 1 1 3x + ， ∴ 1 1 0 1 3x − − + ， ∴ 1 0 1 1 1 3x − + ， ∴值域为(0，1). (2)定义域为 R， 4 3 ) 2 1 (2 ) 2 1 (2 2 2 = − + = − + x x x y ，∵ 2 x >0， ∴ 2 1 2 = x 即 x=-1 时，y 取最小 值 4 3 ，同时 y 可以取一切大于 4 3 的实数，∴ 值域为[ ,+ 4 3 ). (3)要使函数有意义可得到不等式 2 1 1 3 0 9 x− − ，即 2 1 2 3 3 x− − ，又函数 3 x y = 是增函数，所以 2 1 2 x− − ，即 1 2 x − ，即 1 , 2 − + ，值域是 0,+) . (4)∵ 0 1 1 1 1 2 + − − = + x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)
又 0且1-1,∴y=alx21且y=a≠a,:值域为[1,a)U(a,+∞ Vx+l 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性:第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件,第(4)小题 一-—≠1不能遗漏. 举一反三: 【变式1】求下列函数的定义域: (1)y=221 (2)y=357 (3)y=√2x-1 (4)y=√1-a(a>0,a≠1) 【答案】(1)R:(2)(-∞,3]:(3)[0+∞):(4)a1时,(∞,0]:0a1时,[0,+∞) 【解析】(1)R (2)要使原式有意义,需满足3x≥0,即x≤3,即(-,3 (3)为使得原函数有意义,需满足2-1≥0,即2≥1,故x≥0,即[0+∞0 (4)为使得原函数有意义,需满足1-a220,即a2≤1,所以a>1时,(-∞:0a1时,[o,+∞) 【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性,根据所给的同底指数幂的大小关系,结 合单调性来判断指数的大小关系 类型三、指数函数的单调性及其应用 例3.讨论函数f(x)=(3 的单调性,并求其值域 【思路点拨】对于ⅹ∈R >0恒成立,因此可以通过作商讨论函数f(x)的单调区间.此函数 是由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果 【答案】函数∫(x)在区间(一∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数(0,3] 【解析】 解法一:∵函数∫(x)的定义域为(-∞,+∞),设x、x2∈(-∞,+∞)且有x1<x2, x2-2x, ∴f(x2)= 135) ,f(x1) (x2-x1Xx2+x1-2) (1)当x1<x<1时,x1+x2<2,即有x1+x2-2<0. 又∵x2-x1>0,∴(x2-x1)(x2+x1-2)<0,则知 又对于x∈R,f(x)>0恒成立,∴f(x2)>f(x)
又∵ 1 1 1 0 1 1 + − + − x x x x 且 ，∴ y a y a a x x x x = = − + − + 1 1 2 1 1 2 1且 ， ∴值域为[1，a)∪(a，+∞). 【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉 y>0 的条件，第(4)小题 中 1 1 2 1 1 1 + = − + − x x x 不能遗漏. 举一反三： 【变式 1】求下列函数的定义域： (1) 2 -1 2 x y = (2) 3- 3 x y = (3) 2 -1 x y = (4) 1- ( 0, 1) x y a a a = 【答案】（1）R；（2） (- 3 ， ；（3） 0,+) ；（4）a>1 时， (- 0 ， ；0<a<1 时， 0 +，) 【解析】(1)R (2)要使原式有意义，需满足 3-x≥0，即 x 3 ，即 (- 3 ， ． (3) 为使得原函数有意义，需满足 2 x -1≥0，即 2 x≥1，故 x≥0，即 0,+) (4) 为使得原函数有意义，需满足 1 0 x − a ，即 1 x a ，所以 a>1 时， (- 0 ， ；0<a<1 时， 0 +，) . 【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结 合单调性来判断指数的大小关系. 类型三、指数函数的单调性及其应用 例 3．讨论函数 2 2 1 ( ) 3 x x f x − = 的单调性，并求其值域． 【思路点拨】对于 x∈R， 2 2 1 0 3 x x − 恒成立，因此可以通过作商讨论函数 f x( ) 的单调区间．此函数 是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果． 【答案】函数 f x( ) 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3] 【解析】 解法一：∵函数 f x( ) 的定义域为（－∞，+∞），设 x1、x2∈（－∞，+∞）且有 x1＜x2， ∴ 2 2 2 2 2 1 ( ) 3 x x f x − = ， 2 1 1 2 1 1 ( ) 3 x x f x − = ， 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )( 2) 2 2 1 1 ( ) 3 1 1 ( ) 3 3 1 3 x x x x x x x x x x x x f x f x − − − − − + − − = = = ． （1）当 x1＜x2＜1 时，x1+x2＜2，即有 x1+x2－2＜0． 又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＜0，则知 2 1 2 1 ( )( 2) 1 1 3 x x x x − + − ． 又对于 x∈R， f x( ) 0 恒成立，∴ 2 1 f x f x ( ) ( ) ．
函数f(x)在(一∞,1)上单调递增 (2)当1≤x1<x2时,x+x2>2,即有x1+x2-2>0. 又∵x2-x1>0,∴(x2-x1)(x2+x1-2)>0,则知 <1.∴f(x2)<f(x) 函数f(x)在[1,+∞)上单调递减 综上,函数f(x)在区间(-∞,1)上是增函数,在区间[1,+∞)上是减函数 1 ∴函数∫(x)的值域为(0,3] 解法二:∵函数f(x)的下义域为R,令u=x2-2x,则f(l)= u=x2-2x=(x-1)-1,在(-∞,1上是减函数,f()=1在其定义域内是减函数,函数f(x) 在(-∞,1内为增函数 又f(u)=在其定义域内为减函数,而u=x2-2x=(x-1)-1在[1,+∞)上是增函数,函数f(x) 在[1,+∞)上是减函数 值域的求法同解法 【总结升华】由本例可知,研究y=a1(型的复合函数的单调性用复合法,比用定义法要简便些, 般地有:即当a>1时,y=a(的单调性与y=f(x)的单调性相同:当0<a<1时,y=a1(的单调与 y=f(x)的单调性相反 举一反三: 【变式1】求函数y=3+32的单调区间及值域 【答案】x∈(-∞,]上单增,在x∈[,+∞)上单减.(0,34] 【解析】[1]复合函数一一分解为:u=x2+3x-2,y=3 [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间;[3]求值域 设u=-x2+3x-2,y=3", 其中y=3为R上的单调增函数,u=x2+3x-2在x∈(-∞,]上单增
∴函数 f x( ) 在（－∞，1）上单调递增． （2）当 1≤x1＜x2 时，x1+x2＞2，即有 x1+x2－2＞0． 又∵x2－x1＞0，∴(x2―x1)(x2+x1―2)＞0，则知 2 1 2 1 ( )( 2) 1 0 1 3 x x x x − + − ．∴ 2 1 f x f x ( ) ( ) ． ∴函数 f x( ) 在[1，+∞）上单调递减． 综上，函数 f x( ) 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数． ∵x 2―2x=(x―1)2―1≥－1， 1 0 1 3 ， 2 2 1 1 1 0 3 3 3 x x − − = ． ∴函数 f x( ) 的值域为（0，3]． 解法二：∵函数 f x( ) 的下义域为 R，令 u=x2－2x，则 1 ( ) 3 u f u = ． ∵u=x2―2x=(x―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数， 1 ( ) 3 u f u = 在其定义域内是减函数，∴函数 f x( ) 在（－∞，1]内为增函数． 又 1 ( ) 3 u f u = 在其定义域内为减函数，而 u=x2―2x=(x―1)2―1 在[1，+∞）上是增函数，∴函数 f x( ) 在[1，+∞）上是减函数． 值域的求法同解法一． 【总结升华】由本例可知，研究 f x( ) y a = 型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一 般地有：即当 a＞1 时， f x( ) y a = 的单调性与 y f x = ( ) 的单调性相同；当 0＜a＜1 时， f x( ) y a = 的单调与 y f x = ( ) 的单调性相反． 举一反三： 【变式 1】求函数 2 3 2 3 x x y − + − = 的单调区间及值域. 【答案】 3 ( , ] 2 x − 上单增，在 3 [ , ) 2 x + 上单减. 1 4 (0,3 ] 【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2 +3x-2， y=3u； [2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设 u=-x 2 +3x-2， y=3u， 其中 y=3u 为 R 上的单调增函数，u=-x 2 +3x-2 在 3 ( , ] 2 x − 上单增