指数函数及其性质的应用 学习目标:1.掌握指数函数的性质并会应用,能利用指数函数的单调性比较幂的 大小及解不等式.(重点)2通过本节内容的学习,进一步体会函数图象是研究函 数的重要工具,并能运用指数函数研究一些实际问题.(难点) [合作探究攻重难] 类型1 利用指数函数的单调性比较大小 》例1比较下列各组数的大小 (1)1.525和1.532 (2)612和0.61.5 (3)1.702和0.92; (4)n1与a0(a>0且a≠1) [解](1)l.525,1,532可看作函数y=1.5的两个函数值,由于底数1.5>1,所以函 数y=1.5在R上是增函数,因为25<3.2,所以1.525<1.532 (20.612,0.615可看作函数y=06的两个函数值, 因为函数y=06在R上是减函数, 且-12>-1.5,所以0.6-12<0.6715 (3)由指数函数性质得,1.702>1.70=1,0.921-0.90=1, 所以1702>0.92.1 (4)当∝1时,y=a2在R上是增函数,故a1>an03; 当0<a<1时,y=ar在R上是减函数,故all<ap.3 规律方法]比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数,根据其单调性比较. (2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象,当x取相 同幂指数时可观察出函数值的大小 (3)底数、指数都不相同时,取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比 较,或借助“1”与两数比较
1 指数函数及其性质的应用 学习目标：1.掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的 大小及解不等式．(重点)2.通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函 数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点) [合 作 探 究·攻 重 难] 利用指数函数的单调性比较大小 比较下列各组数的大小： (1)1.52.5 和 1.53.2； (2)0.6－1.2 和 0.6－1.5； (3)1.70.2 和 0.92.1； (4)a 1.1 与 a 0.3(a>0 且 a≠1). [解] (1)1.52.5 ,1.53.2 可看作函数 y＝1.5x 的两个函数值，由于底数 1.5>1，所以函 数 y＝1.5x 在 R 上是增函数，因为 2.5<3.2，所以 1.52.5<1.53.2 . (2)0.6－1.2 ,0.6－1.5 可看作函数 y＝0.6x 的两个函数值， 因为函数 y＝0.6x 在 R 上是减函数， 且－1.2>－1.5，所以 0.6－1.2<0.6－1.5 . (3)由指数函数性质得，1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1， 所以 1.70.2>0.92.1 . (4)当 a>1 时，y＝a x 在 R 上是增函数，故 a 1.1>a 0.3； 当 0<a<1 时，y＝a x 在 R 上是减函数，故 a 1.1<a 0.3 . [规律方法] 比较幂的大小的方法 (1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较 (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当 x 取相 同幂指数时可观察出函数值的大小 (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比 较，或借助“1”与两数比较
(4)当底数含参数时,要按底数ω1和0<α<1两种情况分类讨论. [跟踪训练] 1.比较下列各值的大小/3 ( 解]先根据幂的特征,将这4个数分类 (1)负数 (2)大于1的数 (3)大于0且小于1的数 2+.(225他色可在同一平面直角坐标系中,分别作出y=自,y=2的 图象,再分别取x3’=,比较对应函数值的大小,如图), 故 类型2 利用指数函数的单调性解不等式 例2(1)解不等 (2已知d31d6(a0,a≠1),求x的取值范围 [解](1)∵2 ∴原不等式可以转化为 ∵y=5在R上是减函数 ≥0 2
2 (4)当底数含参数时，要按底数 a>1 和 0<a<1 两种情况分类讨论 [跟踪训练] 1．比较下列各值的大小： 4 3 1 3 ，2 2 3 ， － 2 3 3 ， 3 4 1 2 . [解] 先根据幂的特征，将这 4 个数分类： (1)负数： － 2 3 3 ；(2)大于 1 的数： 4 3 1 3 ，2 2 3 ；(3)大于 0 且小于 1 的数： 3 4 1 2 . (2)中， 4 3 1 3 <2 1 3<2 2 3 (也可在同一平面直角坐标系中，分别作出 y＝ 4 3 x ，y＝2 x 的 图象，再分别取 x＝ 1 3 ，x＝ 2 3 ，比较对应函数值的大小，如图)， 故有 － 2 3 3 < 3 4 1 2 < 4 3 1 3 <2 2 3 . 利用指数函数的单调性解不等式 (1)解不等式 1 2 3x－1 ≤2； (2)已知 a x 2－3x＋1 <a x＋6 (a>0，a≠1)，求 x 的取值范围. [解] (1)∵2＝ 1 2 －1 ，∴原不等式可以转化为 1 2 3x－1 ≤ 1 2 －1 . ∵y＝ 1 2 x 在 R 上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0
故原不等式的解集是{xx≥0} (2)分情况讨论 ①当0<a<1时,函数fx)=a(a>0,a≠1)在R上是减函数, ∴x2-3x+1>x+6,∴x2-4x-5>0, 根据相应二次函数的图象可得x<-1或x>5; ②当a>1时,函数fx)=a(a>0,a≠1)在R上是增函数, ∴x2-3x+1<x+6,∴x2-4x-5<0 根据相应二次函数的图象可得-1<x<5. 综上所述,当0<a<1时,x-1或x5;当a>1时,-1<x<5 [规律方法] 1.利用指数型函数的单调性解不等式,需将不等式两边都 凑成底数相同的指数式 2解不等式a”>a(a>0,a≠1)的依据是指数型函数 的单调性,要养成判断底数取值范围的习惯,若底数不确 定,就需进行分类讨论,即a3>a)台 f(x)>g(x),a>1, f(x)<g(x),0<a<1 [跟踪训练 2.若 (a∞0且a≠1),求x的取值范围 [解]因为a ,所以arl>a3x5 当a>1时,y=ar为增函数,可得x+1>3x-5,所以x<3 当0<a<1时,y=ar为减函数,可得x+1<3x-5,所以x3 综上,当ω>1时,x的取值范围为(-∞,3);当0<a<1时,x的取值范围为(3, 类型3 指数型函数单调性的综合应用 探究问题]
3 故原不等式的解集是{x|x≥0}． (2)分情况讨论： ①当 0<a<1 时，函数 f(x)＝a x (a>0，a≠1)在 R 上是减函数， ∴x 2－3x＋1>x＋6，∴x 2－4x－5>0， 根据相应二次函数的图象可得 x<－1 或 x>5； ②当 a>1 时，函数 f(x)＝a x (a>0，a≠1)在 R 上是增函数， ∴x 2－3x＋1<x＋6，∴x 2－4x－5<0， 根据相应二次函数的图象可得－1<x<5. 综上所述，当 0<a<1 时，x<－1 或 x>5；当 a>1 时，－1<x<5. [规律方法] [跟踪训练] 2．若 a x＋1> 1 a 5－3x (a>0 且 a≠1)，求 x 的取值范围． [解] 因为 a x＋1> 1 a 5－3x ，所以 a x＋1>a 3x－5， 当 a>1 时，y＝a x 为增函数，可得 x＋1>3x－5，所以 x<3； 当 0<a<1 时，y＝a x 为减函数，可得 x＋1<3x－5，所以 x>3. 综上，当 a>1 时，x 的取值范围为(－∞，3)；当 0<a<1 时，x 的取值范围为(3， ＋∞)． 指数型函数单调性的综合应用 [探究问题]
2 x-2x+1 1.函数x)=5 的单调区间是什么? 提示:国为画数y=5在(-,+∞)上单调遒减,函数|=2-2+1在( I)上单调递减,在(1,十∞)上单调递増,所以复合函数∫x) 在(-∞, I)上单调递增,在(1,十∞)上单调递减 2.函数y=ax(a>0,且a≠1)的单调性与y=-x2的单调性存在怎样的关系? 提示:分两类:(1)当a1时,函数y=ax的单调性与y=-x2的单调性一致; (2)当0<a<1时,函数y=a-x的单调性与y=-x2的单调性相反 例判断fx) 的单调性,并求其值域 思路探究:[令u=x2-2x_[函数u()的单调性]一函数y=()的单调性 同增异减 函数)的单调性 [解]令u=x2-2x,则原函数变为y l=x2-2x=(x-1}2-1在(一∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,又∵y= 在(一∞,+∞)上递减, y=()2在(-∞,1上递增,在,+∞)上递减 (x-1)2-1≥-1, ,u∈[-1,+∞), 04 ∴原函数的值域为(0.,3]
4 1．函数 f(x)＝ 1 2 x 2 －2x＋1 的单调区间是什么？ 提示：因为函数 y＝ 1 2 t 在(－∞，＋∞)上单调递减，函数 t＝x 2－2x＋1 在(－∞， 1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数 f(x)＝ 1 2 x 2 －2x＋1 在(－∞， 1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 2．函数 y＝a－x 2 (a>0，且 a≠1)的单调性与 y＝－x 2 的单调性存在怎样的关系？ 提示：分两类：(1)当 a>1 时，函数 y＝a－x 2 的单调性与 y＝－x 2 的单调性一致； (2)当 0<a<1 时，函数 y＝a －x 2 的单调性与 y＝－x 2 的单调性相反． 判断 f(x)＝ 1 3 x 2－2x 的单调性，并求其值域. 思路探究： 令u＝x 2－2x ―→ 函数u(x)的单调性 ―→ 函数y＝ 1 3 u 的单调性 ――――→ 同增异减 函数f(x)的单调性 [解] 令 u＝x 2－2x，则原函数变为 y＝ 1 3 u . ∵u＝x 2－2x＝(x－1)2－1 在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y＝ 1 3 u 在(－∞，＋∞)上递减， ∴y＝ 1 3 x 2 －2x 在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减． ∵u＝x 2－2x＝(x－1)2－1≥－1， ∴y＝ 1 3 u ，u∈[－1，＋∞)， ∴0< 1 3 u ≤ 1 3 －1 ＝3， ∴原函数的值域为(0,3]．
母题探究:1.把本例的函数改为“(x)=2 ,求其单调区间. 解]函数y=2的定义域是R u x2+2x,则y=2 当x∈(一∞,1]时,函数u=-x2十2x为增函数,函数y=2是增函数, 所以函数y=2 在(一∞,1]上是增函数 当x∈[l,十∞)时,函数l=-x2+2x为减函数,函数y=2是增函数,所以函 -x +2x 数y=2在[1,+∞)上是减函数 综上,函数y=2的单调减区间是[1,十∞),单调增区间是(-∞, 2.把本例函数改为“(x) ,且fx)有最大值9”,求a的值 [解]令g(x)=ax2-2x,则fx) 由于∫(x)的最大值为9,所以g(x)的最小值为-2 ①当a=0时,(x)= 3/,无最大值 ②当a≠0时,由题意可知 解得 所以,当∫x)的最大值为9时,a的值为 [规律方法]函数y=a(a>0,a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数y=a)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定,一是底数a1还 是0<a<1;二是x)的单调性,它由两个函数y=a",u=f(x)复合而成 (2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u), l=q(x),通过考查)和q(x)的单调性,求出y=f(x)的单调性 堂达标固双基]
5 母题探究：1.把本例的函数改为“f(x)＝2 －x 2＋2x ”，求其单调区间． [解] 函数 y＝2 －x 2＋2x 的定义域是 R. 令 u＝－x 2＋2x，则 y＝2 u . 当 x∈(－∞，1]时，函数 u＝－x 2＋2x 为增函数，函数 y＝2 u 是增函数， 所以函数 y＝2 －x 2＋2x 在(－∞，1]上是增函数． 当 x∈[1，＋∞)时，函数 u＝－x 2＋2x 为减函数，函数 y＝2 u 是增函数，所以函 数 y＝2 －x 2＋2x 在[1，＋∞)上是减函数． 综上，函数 y＝2 －x 2＋2x 的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]． 2．把本例函数改为“f(x)＝ 1 3 ax2－2x ，且 f(x)有最大值 9”，求 a 的值． [解] 令 g(x)＝ax2－2x，则 f(x)＝ 1 3 g(x) ， 由于 f(x)的最大值为 9，所以 g(x)的最小值为－2. ①当 a＝0 时，f(x)＝ 1 3 －2x ，无最大值． ②当 a≠0 时，由题意可知 a>0， －4 4a ＝－2， 解得 a＝ 1 2 ， 所以，当 f(x)的最大值为 9 时，a 的值为1 2 . [规律方法] 函数 y＝a f(x) (a>0，a≠1)的单调性的处理技巧 (1)关于指数型函数 y＝a f(x) (a>0，且 a≠1)的单调性由两点决定，一是底数 a>1 还 是 0<a<1；二是 f(x)的单调性，它由两个函数 y＝a u，u＝f(x)复合而成. (2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成 y＝f(u)， u＝φ(x)，通过考查 f(u)和 φ(x)的单调性，求出 y＝f(φ(x))的单调性. [当 堂 达 标·固 双 基]