§5.3格林函数的一般求法 泊松格林函数 1、三维泊松方程的基本解 对于△G=-6(M-M0)M∈() 汪意到AC1820G ar ar aG G (Sin 0-) sin 0 a0 ar sin 802 由于是点源产生场故问题是球对称的 故原定解问题→d2dG (r2)=8(7) dr di
1、三维泊松方程的基本解 2 2 2 2 2 2 0 sin 1 (sin ) sin 1 ( ) 1 ( ) (1) q j q q q d t ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ + ¶ ¶ ¶ ¶ D = D = - - Î G r r G r r G r r r G G M M M 注意到 对于 由于是点源产生场故问 题是球对称的 ( ) ( ) 1 2 2 r dr dG r dr d r 故原定解问题 ® = d §5.3格林函数的一般求法 一、泊松格林函数
(x-x0)2+(y-y0)2+(二-20) (若r≠0即M≠M0 1 d 2dG 则 (r2)=0 dr dr d 2 dG 于是 =0→ C1→)cG=-dr dr dr →G +C,取C,=0 仍为方程的解G
2 0 2 0 2 0 0 r = MM = (x - x ) + ( y - y ) + (z - z ) ® ( ) 0 1 2 2 = dr dG r dr d r 则 ú û ù ê ë é = ® = ® = dr r C C dG dr dG r dr dG r dr d 2 1 1 2 2 于是 ( ) 0 r G C C C r G C 1 0 1 1 1 2 2 = - ® = - + = 仍为方程的解 取 0 0 (1)若r ¹ 即M ¹ M
(2)若r=0,则应考虑以M为中心任意小8为半径 的球体中情况 由(,△Gdoh 6(x-x0,y )dxdy 即im‖△Gao=-1(2 E→0
的球体中情况 (2)若r = 0，则应考虑以 M 0为中心任意小 e为半径 1 ( , , ) (1) 0 0 0 = - = - - - - D òòò òòò x x y y z z dxdydz Gdxdydz e t t d 由 ， òòò D = - ® e e t lim 1 (2) 0 即 Gdxdydz
又当≠0时 △Gav V.Gay aG VAdo d G。Or ao 2兀兀 esin dedo C14丌 对此式两边取极限
òò òò òòò òòò ¶ ¶ = Ñ = ¹ D = Ñ ×Ñ e e e e s s t t s s e d r G Gd 又当 0时 Gdv Gdv p e q j e s e pp s e 4 sin 1 1 2 0 0 2 2 1 2 1 C d d C C d = = = òò òò 对此式两边取极限 :
△G=C14兀 E→>0 代入(2)C14丌=-1C1 4兀 1、2可得(1)的解为:G(M,M0) 4丌 2、二维泊松方程的基本解 对于△G(M,M0)=-6(x-x02y-y0)
p e t e lim 14 0 òòò D = ® Gdv C 2、二维泊松方程的基本解 ( , ) ( , ) 0 0 0 对于DG M M = -d x - x y - y p p 4 1 代入(2)C14 = -1 C1 = - r G M M 4p 1 1 2 : ( , ) 、可得(1)的解为 0 =